素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)設(shè)計

[摘? 要] 以人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊“3.2.2 奇偶性”教學(xué)為例，設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)思想方法解決問題. 在問題解決的過程中，理解概念的本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 問題;奇偶性;概念;核心素養(yǎng)

問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》（下文簡稱“新課標”）明確提出數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)[1]. 新課標要求在教學(xué)活動中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情境和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，用數(shù)學(xué)思想方法解決問題. 在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[2].

奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，從知識結(jié)構(gòu)來看，它既是函數(shù)概念的拓展和深化，又是后續(xù)研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的基礎(chǔ);從思想方法來看，奇偶性概念的教學(xué)過程中滲透著探索發(fā)現(xiàn)、數(shù)形結(jié)合、歸納概括、類比等數(shù)學(xué)思想方法，特別是數(shù)形結(jié)合思想將貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程;從情感價值來看，奇偶性概念的教學(xué)過程中充滿著數(shù)學(xué)的對稱美，為學(xué)生提供了良好的平衡感和充分的審美體驗;從信息技術(shù)來看，利用幾何畫板或GeoGebra繪制函數(shù)圖像，有利于提升學(xué)生運用信息技術(shù)探究函數(shù)性質(zhì)的能力.

奇偶性的教學(xué)設(shè)計

筆者認為，奇偶性的教學(xué)設(shè)計要充分挖掘教學(xué)過程中發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的教育價值，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 下面以人教A版高中數(shù)學(xué)新教材必修第一冊“3.2.2 奇偶性”教學(xué)為例，談?wù)勅绾伍_展概念的探究性教學(xué)，以促進學(xué)生深度學(xué)習(xí)，落實核心素養(yǎng).

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

問題1：觀看天安門、故宮、蝴蝶、風(fēng)車、剪紙等圖片，你能感悟到什么？

追問1：這種對稱美在我們正在學(xué)習(xí)的函數(shù)中也有所體現(xiàn)，同學(xué)們回想學(xué)過的函數(shù)，它們的圖像是否也具有這種對稱美？

追問2：函數(shù)的單調(diào)性是通過圖像中點的變化來研究的，對稱性是否也可以通過點的變化來研究呢？

設(shè)計意圖：通過欣賞生活中的對稱現(xiàn)象，使學(xué)生感受軸對稱與中心對稱在生活中的應(yīng)用，感受生活中的對稱美. 從感性認識入手，為學(xué)生認識奇偶函數(shù)的圖像特征做好準備，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造欲望，結(jié)合前面單調(diào)性的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗，啟發(fā)學(xué)生初步思考.

2. 合作探究，構(gòu)建概念

折紙實驗探究：請按照列表、描點、連線的過程，作出函數(shù)f（x）=x2的圖像.

問題2：以y軸為折痕對折紙，再將紙展開，觀察坐標系中的圖形，函數(shù)的自變量和函數(shù)值有何變化特征？

追問1：你能嘗試用函數(shù)解析式描述圖像的對稱特征嗎？

追問2：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的一種局部性質(zhì)，對稱性也是函數(shù)的局部性質(zhì)嗎？（整體性質(zhì)）

設(shè)計意圖：讓學(xué)生動手折紙，直觀操作，感受對稱，思考對稱的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的自變量和函數(shù)值的變化特征，滲透數(shù)形結(jié)合思想，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，創(chuàng)造機會讓學(xué)生思考并加以抽象，引導(dǎo)學(xué)生使用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，將對稱的圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言，使學(xué)生對圖像對稱的感性認識上升到理性認識，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

信息技術(shù)探究：請運用幾何畫板或GeoGebra作出函數(shù)f（x）=2-x的圖像.

問題3：在圖像上取點P和P′（P與P′的橫坐標互為相反數(shù)），拖動點P，觀察點P和P′的變化情況，這種變化有什么規(guī)律？

追問1：你能用函數(shù)解析式描述圖像的對稱特征嗎？

追問2：你對“任意的x”是如何認識的？

設(shè)計意圖：選擇學(xué)生熟悉的函數(shù)圖像，借助于信息技術(shù)，將靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的知識呈現(xiàn)給學(xué)生，通過圖像上點的運動，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“任意的x”及相應(yīng)函數(shù)值的變化特征，感受定義域關(guān)于原點對稱的特點，突破對“任意的x”的認知障礙，由表及里從本質(zhì)上認識函數(shù)圖像的對稱性，為偶函數(shù)的形式化定義做好認知準備，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

3. 交流展示，生成概念

問題4：什么樣的函數(shù)是偶函數(shù)呢？請用文字語言或圖形語言或符號語言進行描述.

設(shè)計意圖：通過觀察圖片、動手折紙、演示信息技術(shù)，完成從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解將自變量由具體數(shù)值推廣到定義域內(nèi)“任意的x”及相應(yīng)函數(shù)值的變化特征，引導(dǎo)學(xué)生使用恰當?shù)臄?shù)學(xué)語言描述問題，形成偶函數(shù)的概念，即通過圖形語言、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)換達到學(xué)生對偶函數(shù)形式化定義的理解，落實學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng).

4. 糾錯辨析，理解概念

問題5：函數(shù)f（x）=x2，x∈[-3，2]是偶函數(shù)嗎？

追問1：若函數(shù)f（x）=x2+1，x∈[a，b]是偶函數(shù)，則a，b要滿足什么關(guān)系？

5. 類比遷移，概念同構(gòu)

請類比偶函數(shù)概念的建立過程，思考并討論：

追問1：這兩個函數(shù)值對應(yīng)表是如何體現(xiàn)圖像的這個特征的？

追問2：你能嘗試用函數(shù)解析式描述圖像的這個特征嗎？

追問3：類比偶函數(shù)的定義，你能嘗試定義上述函數(shù)的特征嗎？

設(shè)計意圖：充分利用圖形的直觀性，讓學(xué)生能夠再次經(jīng)歷圖形語言、文字語言、符號語言的轉(zhuǎn)換，類比偶函數(shù)的定義說出奇函數(shù)的定義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的探索創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A

6. 應(yīng)用概念，解決問題

問題7：判斷下列函數(shù)的奇偶性.

（1）f（x）=x4+1;

（3）f（x）=x+1;

（4）f（x）=0;

（5）f（x）=x2-2x，x>0，-x2-2x，x<0.

跟蹤練習(xí)：課本第85頁練習(xí)2.

設(shè)計意圖：通過問題7幫助學(xué)生掌握本節(jié)課的基礎(chǔ)知識、基本方法、基本思想，并形成基本經(jīng)驗. 其中，題（1）與題（2）強調(diào)解題格式，教師板演解題過程，學(xué)生類比解答題（3）與題（4），得到四種不同類型的奇偶性（奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)）;題（5）判斷的是分段函數(shù)的奇偶性. 完成解答后由學(xué)生自主歸納判斷函數(shù)奇偶性的方法：①先求定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點對稱;②再判斷f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）是否恒成立. 判斷函數(shù)奇偶性的步驟如下（如圖1所示）：

問題8：已知函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖像如圖2所示，你能畫出它在y軸左邊的圖像嗎？

變式1：如果y=f（x）是奇函數(shù)，你能畫出它在y軸左邊的圖像嗎？你能求f（-2）+f（-1）的值嗎？

變式2：如果奇函數(shù)y=f（x）的定義域為[-5，5]，請寫出使f（x）<0的x取值的集合.

設(shè)計意圖：認識奇偶性的概念后，需要尋找奇偶性概念內(nèi)部各要素之間以及奇偶性與外部其他概念之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生全面認識奇偶性，將奇偶性納入學(xué)生概念網(wǎng)絡(luò)中恰當?shù)奈恢?通過問題8及變式培養(yǎng)學(xué)生讀圖、畫圖、用圖的能力，掌握奇偶性的簡單應(yīng)用，從形的角度運用數(shù)形結(jié)合思想求解奇偶性問題，加深學(xué)生對函數(shù)奇偶性概念的理解，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

問題9：若函數(shù)f（x）=ax2+2x是奇函數(shù)，求實數(shù)a.

變式：若函數(shù)f（x）=ax2+bx是[a-1，2a]上的偶函數(shù)，求a+b.

設(shè)計意圖：問題9及變式是逆向思考奇偶性的問題，設(shè)計目的是讓學(xué)生應(yīng)用奇偶性定義，通過代數(shù)式的運算與變形，解決函數(shù)奇偶性問題，加深學(xué)生對函數(shù)奇偶性概念的理解，及時鞏固所學(xué)的新知識，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生體驗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成就感.

7. 總結(jié)歸納，深化概念

總結(jié)歸納如圖3所示.

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)、幫助學(xué)生梳理“四線”，即知識學(xué)習(xí)為主線，問題解決為明線，方法歸納為暗線，素養(yǎng)發(fā)展為隱線;落實“四基”，提高“四能”，發(fā)展素養(yǎng)，培養(yǎng)創(chuàng)新.

8. 分層作業(yè)，鞏固拓展

必做題：課本第86頁“習(xí)題3.2”復(fù)習(xí)鞏固第5題，綜合運用第11題，拓廣探索第12題.

選做題：（1）課本第87頁“習(xí)題3.2”拓廣探索第13題.

（2）已知函數(shù)f（x）為定義在（-2，2）上的奇函數(shù).①求f（0）的值;②若f（x）在定義域上單調(diào)遞增，且f（2+a）+f（1-2a）>0，求實數(shù)a的取值范圍.

設(shè)計意圖：尊重學(xué)生的差異，找準學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，布置階梯式分層作業(yè)，達到相應(yīng)單元的學(xué)業(yè)要求，實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展.

教學(xué)反思

章建躍教授在《樹立課程意識，落實核心素養(yǎng)》[3]中強調(diào)“眾所周知，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而得出概念的過程是最典型的數(shù)學(xué)抽象的過程”.數(shù)學(xué)概念教學(xué)要樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識.

1. 創(chuàng)設(shè)情境是引入概念的導(dǎo)火索

引入概念即要提供豐富的感知材料，又要創(chuàng)造性使用教材，創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，讓學(xué)生逐步學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度觀察生活，對一些生活現(xiàn)象進行數(shù)學(xué)思考，從表面上看似與數(shù)學(xué)無關(guān)的一些生活現(xiàn)象中尋找其在數(shù)量關(guān)系或者空間形式方面的某些聯(lián)系或矛盾，或在現(xiàn)實與數(shù)學(xué)的具體情境中獲得新的數(shù)學(xué)信息.

2. 探究體驗是形成概念的助推器

概念不是直接從教師那里聽到文字描述就形成的，它需要有趣生成，要通過學(xué)生的主體活動去把握，通過觀察、提問、討論、體驗、糾錯、反思、梳理、總結(jié)、表達、交流，讓學(xué)生與自己正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間建立一種緊密的靈魂聯(lián)系. 只有這樣，概念的本質(zhì)才會顯現(xiàn)，概念的形成才會生動.

3. 數(shù)學(xué)思想是理解概念的催化劑

對概念的理解是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識、技能、思想方法以及活動經(jīng)驗進行數(shù)學(xué)抽象的過程，具體與抽象、特殊與一般、代數(shù)與幾何、繁與簡、分與合、主與次、正與反、進與退、靜與動、實與虛等思想的有機結(jié)合，將抽象概念形象化，抽象符號具體化，抽象表述通俗化，感悟概念的本質(zhì)，發(fā)展思維品質(zhì).

4. 問題設(shè)計是學(xué)習(xí)概念的腳手架

概念課的問題設(shè)計要著眼于喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗，針對情境設(shè)計富有過程探索性的“問題鏈”，通過解決具有情境化、活動性、過程性的“問題鏈”，師生之間、生生之間開展和諧的對話，讓學(xué)生充分交流與展示，在交流中生成，在生成中感悟，在感悟中升華，理解概念的本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個綜合性、持續(xù)性發(fā)展的過程. 在教學(xué)實踐中，需要每位教師不斷探索和創(chuàng)新教學(xué)方式，既要重視如何教，更要重視如何學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，促進學(xué)生能自主、持續(xù)、和諧地發(fā)展.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 章建躍. 樹立課程意識，落實核心素養(yǎng)[J]. 數(shù)學(xué)通報，2016（05）：1-4+14.

基金項目：廣東省教育研究院中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究專項課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)作業(yè)的設(shè)計與優(yōu)化研究”（課題編號：GDJY-2020-A-s119）.

作者簡介：劉心華（1969—），本科學(xué)歷，正高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.49968B59-283F-4233-9207-E0F9C74F754A