如何求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

廖宇慧

求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程問題是一類?？碱}目，主要考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何性質(zhì)以及標(biāo)準(zhǔn)方程.此類問題對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算和推理分析能力有較高的要求.下面介紹兩種求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的方法.

一、定義法

定義法是指利用圓錐曲線的第一、第二定義來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.在利用圓錐曲線的第一定義解題時(shí)，首先要在平面上找出兩個(gè)定點(diǎn)，然后根據(jù)題意判斷在平面上是否有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的和或差為常數(shù)，據(jù)此求得圓錐曲線中的參數(shù)a、b、c，進(jìn)而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.利用圓錐曲線的第二定義解題，首先要找出一條定直線和一個(gè)定點(diǎn)，判斷該定直線到定點(diǎn)的距離與到曲線上動(dòng)點(diǎn)的距離之比是否為常數(shù)，據(jù)此求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)Ⅳ到兩定點(diǎn)A、C的距離之和為定值，由此可聯(lián)想到橢圓的第—定義，于是可斷定Ⅳ的軌跡為橢圓，再根據(jù)橢圓的第一定義求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的值，即可求得N點(diǎn)的軌跡方程.

經(jīng)觀察圖形可發(fā)現(xiàn)，定圓的圓心C（3，0）恰好與A（-3，0）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可將其視為定點(diǎn)，將P視為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，由兩圓外切可知|PC|-|PA| =2，由此可根據(jù)圓錐曲線的第一定義斷定P的軌跡為雙曲線的左支，求得a、b的值，即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

二、相關(guān)點(diǎn)法

有些問題中的動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的變化而變化，此時(shí)，可采用相關(guān)點(diǎn)法來求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.利用相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，需首先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)動(dòng)點(diǎn)與另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系建立關(guān)系式，用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來表示出另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將其代人已知曲線的方程中，通過化簡(jiǎn)就能求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.

例3.已知圓x2 +y2=1，從這個(gè)圓上的任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M的軌跡方程，

分析：分析題意可知，M點(diǎn)隨著P點(diǎn)的變化而變化，需采用相關(guān)點(diǎn)法解題.設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，求得P的坐標(biāo)，并將其代入圓的方程中，即可解題.

總之，無論運(yùn)用定義法還是相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，都要把握四點(diǎn)：（1）明確動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、其他動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系;（2）根據(jù)題意確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡;（3）建立關(guān)于動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式;（4）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的軌跡確定x的取值范圍.這樣，才能快速、正確地求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.F8567D1C-A3D2-476A-9C1A-600CC6DB9346