基于級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼方法的連續(xù)變量QKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議

周曉東,王晟,張?zhí)毂?胡宗富,馮寶,3*,肖紅

(1國(guó)網(wǎng)福建省電力有限公司信息通信分公司,福建 福州 350003;2南京南瑞信息通信科技有限公司,江蘇 南京 211000;3南京南瑞國(guó)盾量子技術(shù)有限公司,江蘇 南京 211000;4南京郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院,江蘇 南京 210003)

0 引言

在量子密鑰分發(fā)(QKD)[1-9]協(xié)議中,發(fā)送方Alice和接收方Bob最終能獲得一串二進(jìn)制隨機(jī)數(shù)作為密鑰。但是,由于量子信道中不可避免地存在噪聲,或者存在竊聽干擾,導(dǎo)致通信雙方獲得的密鑰會(huì)存在一定的誤碼。所以在實(shí)際應(yīng)用中需要引入數(shù)據(jù)協(xié)商(DR)和秘密放大(PA)等技術(shù)手段,以此保證在由于各種噪聲和竊聽而導(dǎo)致誤碼的情況下提取出完全一致的安全密鑰,使通信雙方可以共享無差錯(cuò)的密鑰。

QKD分為離散變量量子密鑰分發(fā)[3-8]和連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)[9-11](CVQKD)兩種。而數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議作為CVQKD中重要的組成部分,可以糾正CVQKD在實(shí)際信道中存在的密鑰錯(cuò)誤。數(shù)據(jù)協(xié)商的過程是:通信的一方先將數(shù)據(jù)進(jìn)行信道編碼,然后將協(xié)商信息[如校驗(yàn)子(Syndrome)或校驗(yàn)位(Parity)等信道編碼中的校驗(yàn)序列]傳遞給另一方,另一方將接收到的協(xié)商信息和已知的邊信息結(jié)合起來,進(jìn)行聯(lián)合譯碼,從而更正密鑰錯(cuò)誤。數(shù)據(jù)協(xié)商的譯碼過程具有邊信息參與譯碼這一特點(diǎn),因此數(shù)據(jù)協(xié)商的譯碼過程可被認(rèn)為是一種特殊的分布式信源編碼模型(DSC)。但由于數(shù)據(jù)協(xié)商過程是在經(jīng)典公共信道上進(jìn)行的,所有的協(xié)商數(shù)據(jù)存在著被Eve竊聽的可能,因此常常使用一個(gè)高效的信道編碼對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行糾錯(cuò)來提高CVQKD的數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議的安全性。目前已被應(yīng)用于CVQKD的數(shù)據(jù)協(xié)商的信道編碼有LDPC碼、漢明碼、BCH碼和Turbo碼等[12-14]。

在CVQKD的數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議中,分層錯(cuò)誤校正協(xié)議[15](SEC)采用了將連續(xù)變量離散化時(shí)使得互信息量最大作為協(xié)議優(yōu)化目標(biāo),實(shí)現(xiàn)了協(xié)議的最優(yōu)量化。Nguyen等[16]于2004年,在SEC協(xié)議的基礎(chǔ)上,使用Cascade協(xié)商算法對(duì)SEC量化后的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理在理論上達(dá)到了極佳的效果。隨后,Bloch等[13]使用多級(jí)編碼/多級(jí)譯碼協(xié)議和LDPC碼,實(shí)現(xiàn)了88.7%的協(xié)商效率,但是對(duì)于實(shí)際CVQKD系統(tǒng)來說,該協(xié)商效率較低。如何進(jìn)一步提升數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議的協(xié)商效率性能是一個(gè)重要的研究目標(biāo)。

2009年,Arikan[17]首次提出了信道極化的概念,同時(shí)基于信道極化給出了一種編碼方式,即Polar碼(Polar codes)。Polar碼的構(gòu)造方法是確定性的,并且是目前唯一一種可嚴(yán)格證明“達(dá)到”信道容量的信道編碼方法。在完成合并信道以及分割信道的操作后,2n個(gè)獨(dú)立的二進(jìn)制輸入信道會(huì)變?yōu)?n個(gè)前后依賴的極化信道。相比于操作前的信道,信道出現(xiàn)了極化現(xiàn)象:一部分信道的容量減小,另外一部分信道的容量增大。而且,在極化接近無窮多個(gè)信道后(即n趨于無窮大),將會(huì)有一部分信道的容量趨近于0,意味著在信道上可靠地傳輸信息沒有可能性,而其余的信道容量將會(huì)趨于1,也就是說接收端從該信道接收的信息接近百分百正確,同時(shí),原來二進(jìn)制輸入離散信道的容量恰好是信道容量趨于1的信道在總信道數(shù)中所占的比例,以上內(nèi)容在理論上已得到證明。

本文提出一種基于級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼方法的CVQKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議。該數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議在多級(jí)編碼調(diào)制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,利用糾錯(cuò)性能更好的級(jí)聯(lián)Polar碼作為分量碼應(yīng)用到多級(jí)編碼和多級(jí)譯碼中。通過仿真分析協(xié)議的性能,結(jié)果表明所提協(xié)議的協(xié)商效率被極大地提高,同時(shí)密鑰的比特錯(cuò)誤率也極大地降低。該數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議對(duì)CV-QKD的應(yīng)用具有一定的價(jià)值。

1 方案描述和理論分析

作為CVQKD協(xié)議的一種數(shù)據(jù)協(xié)商模型,多級(jí)編碼/多級(jí)譯碼協(xié)議的結(jié)構(gòu)如圖1所示。由圖1可見一個(gè)多級(jí)譯碼器和多級(jí)的編碼器是該模型的主要構(gòu)成部分。由于某一級(jí)譯碼產(chǎn)生了錯(cuò)誤,接著該錯(cuò)誤在其他各級(jí)之間的傳播而導(dǎo)致最終誤比特率增加的現(xiàn)象在該模型中不會(huì)出現(xiàn),原因是在模型中可以靈活地設(shè)計(jì)各級(jí)編碼器,且這些編碼器使用的分量碼的信息比特塊不同,而干擾并不存在于這K個(gè)比特塊之間。針對(duì)多級(jí)編碼的一種準(zhǔn)最佳的譯碼算法是多級(jí)譯碼(MSD)。

在多級(jí)譯碼中,最低一級(jí)最先譯碼,下一級(jí)譯碼器譯碼時(shí)使用的先驗(yàn)信息是上一級(jí)得到的譯碼結(jié)果,而且上一級(jí)譯碼器譯碼時(shí)也會(huì)使用下一級(jí)譯碼器獲得的結(jié)果。這樣可降低譯碼復(fù)雜度,且使系統(tǒng)信道容量逼近基于最大似然概率譯碼時(shí)的值,這就是使用多級(jí)譯碼算法的優(yōu)勢(shì)。

由于CVQKD分發(fā)協(xié)議得到的密鑰是連續(xù)的,所以這些連續(xù)密鑰序列需要被量化,量化后的密鑰序列需用二進(jìn)制比特串表示,可通過二進(jìn)制比特編碼函數(shù)實(shí)現(xiàn)。逆向協(xié)商協(xié)議是此處使用的協(xié)議,在接收端進(jìn)行量化以及二進(jìn)制比特編碼后將會(huì)獲得一串多級(jí)且各級(jí)間存在一定相關(guān)性的二進(jìn)制比特序列。此處根據(jù)各級(jí)等價(jià)信道,對(duì)各級(jí)二進(jìn)制序列進(jìn)行合適碼率的信道編碼從而轉(zhuǎn)化為校驗(yàn)子序列,將其發(fā)送給Alice,接著Alice進(jìn)行多級(jí)譯碼。由于兩端密鑰之間存在關(guān)聯(lián),可根據(jù)兩端密鑰之間的相關(guān)性進(jìn)行級(jí)間信息的迭代譯碼。各級(jí)譯碼采用的是邊信息聯(lián)合譯碼結(jié)構(gòu),而聯(lián)合譯碼的輔助信息使用的是接收到的校驗(yàn)子信息,邊信息使用的則是結(jié)合自身的密鑰得到的信息。

為了進(jìn)一步減小CVQKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議的誤碼率,同時(shí)提高協(xié)商效率,在圖1模型的基礎(chǔ)上,使用級(jí)聯(lián)Polar碼作為多級(jí)編碼中的信道編碼,提出一種基于級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼的CV-QKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議,圖2給出了該協(xié)議的系統(tǒng)框圖。

圖1 多級(jí)編碼/多級(jí)譯碼協(xié)議的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the structure of multistage encoding/multistage decoding protocol

圖2 基于級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼的CVQKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議示意圖Fig.2 Schematic diagram of CVQKD data reconciliation protocol based on cascaded Polar code and multistage decoding

協(xié)議中,Bob端先對(duì)連續(xù)變量密鑰進(jìn)行量化,由于CVQKD的密鑰是連續(xù)的,且其服從高斯分布,需對(duì)其進(jìn)行量化操作,分為兩步,分別是劃分連續(xù)區(qū)間和二進(jìn)制編碼。圖2展示了層數(shù)為4的譯碼CVQKD數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議過程,在該方法中,在Bob端,一個(gè)連續(xù)變量密鑰在經(jīng)過量化后會(huì)轉(zhuǎn)化為四條長(zhǎng)度為l的序列,分別標(biāo)記為L(zhǎng)1、L2、L3和L4,代表各層的二進(jìn)制比特串。接下來,每一層的二進(jìn)制比特的編碼都會(huì)使用級(jí)聯(lián)Polar碼,然后,通過公共經(jīng)典信道Alice端會(huì)收到發(fā)送過來的校驗(yàn)子。在連續(xù)密鑰X已知的情況下,Alice端設(shè)計(jì)比特估計(jì)函數(shù),將四級(jí)序列E1、E2、E3和E4估算出來作為邊信息,最終的密鑰信息四層二進(jìn)制密鑰b1、b2、b3、b4通過邊信息與Bob端發(fā)送過來的校驗(yàn)子結(jié)合后使用聯(lián)合譯碼得到的。

1.1 MLC系統(tǒng)各級(jí)碼率的確定

在多級(jí)編碼/多級(jí)譯碼系統(tǒng)中,各級(jí)編碼器都對(duì)應(yīng)一個(gè)等效信道,所以各級(jí)編碼器的碼率可以由每個(gè)子信道的信道容量來確定。每個(gè)子信道信道容量的求解方法為:假設(shè)第i個(gè)等價(jià)信道的信道容量為Ci,那么第i級(jí)的碼率Ri最大值為由于在多級(jí)編碼協(xié)議中,并行的m路編碼器等價(jià)為m個(gè)等價(jià)子信道,因此,根據(jù)香農(nóng)信息論可以求出信道容量

式中:各級(jí)編碼器中的級(jí)聯(lián)Polar碼表示為Xi,Bob端的接收序列表示為Y。因此,每一級(jí)子信道的信道容量可表示為

由此可以確定各級(jí)分量碼的碼率。

1.2 級(jí)聯(lián)碼碼率的確定

級(jí)聯(lián)Polar碼由外碼與內(nèi)碼共同組成。通過已有的研究可以知道,現(xiàn)在存在Polar碼為內(nèi)碼、LDPC碼為外碼的LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼,在級(jí)聯(lián)Polar碼中其糾錯(cuò)性能表現(xiàn)較好。所以LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼的級(jí)聯(lián)Polar碼是本協(xié)議采用的糾錯(cuò)編碼。

級(jí)聯(lián)Polar碼中,將r設(shè)為L(zhǎng)DPC碼長(zhǎng),n設(shè)為Polar碼長(zhǎng)。內(nèi)碼Polar碼部分對(duì)應(yīng)的信道對(duì)于LDPC碼的碼率并沒有嚴(yán)格的要求,其原因是內(nèi)碼Polar碼的信息位長(zhǎng)度與外碼LDPC碼的碼率是相關(guān)的,而且Polar碼信息位的比特信道擁有較小的巴氏參數(shù),這就表示有很小的可能信息會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。但是凍結(jié)位部分對(duì)應(yīng)的比特信道的巴氏參數(shù)趨于1,代表信道里幾乎都是噪聲,則需要使用低碼率的LDPC碼,目的是為了糾錯(cuò)。不管如何,級(jí)聯(lián)Polar碼中每一個(gè)比特信道與其各成員碼的碼率之間都存在著相關(guān)性。若將內(nèi)碼Polar碼的信息位長(zhǎng)度設(shè)為k,則可用k/n表示出內(nèi)碼Polar碼的碼率。因?yàn)橥獯aLDPC碼的碼率與Polar碼中的比特出錯(cuò)概率是相關(guān)的,所以要先把內(nèi)碼Polar碼中每一個(gè)比特出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率Pi求出,i=1,2,···k,而其之間的關(guān)系可表示為

式中:LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼的誤碼率用Pe表示,LDPC碼的最大糾錯(cuò)個(gè)數(shù)用τi表示,利用τi能夠計(jì)算出外碼LDPC碼的碼率。

接下來對(duì)Bob端的四串二進(jìn)制序列L1、L2、L3和L4使用級(jí)聯(lián)Polar碼來編碼,并且可以在公共經(jīng)典信道給Alice傳遞校驗(yàn)信息。

1.3 多級(jí)譯碼算法的優(yōu)化

多級(jí)譯碼算法在譯碼過程中對(duì)于某一級(jí)譯碼結(jié)果的判定,不僅要有這一級(jí)的信息參與,還要對(duì)其他級(jí)的譯碼結(jié)果進(jìn)行迭代。一般來說一個(gè)m級(jí)的MLC系統(tǒng),在某一級(jí)的譯碼產(chǎn)生的錯(cuò)誤會(huì)影響其他級(jí)的譯碼,為了減少這種影響造成的錯(cuò)誤,多級(jí)譯碼過程開始于第1級(jí),得到譯碼結(jié)果后再將其傳給第2級(jí),這樣做是因?yàn)樵谧畹图?jí)的數(shù)據(jù)中含有的信息量是最少的,而且其本身譯碼器的主要依靠就是第一級(jí)傳輸給第二級(jí)的先驗(yàn)信息和第二級(jí)自身的數(shù)據(jù)。由此不斷類推,一級(jí)一級(jí)逐次傳遞譯碼結(jié)果,那么可推得前m-1級(jí)的譯碼結(jié)果應(yīng)是最后一級(jí)譯碼器的參考。通過四級(jí)譯碼結(jié)構(gòu)來理解該過程,該多級(jí)譯碼的結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 多級(jí)譯碼框圖示意圖Fig.3 Block diagram of multistage decoding

下面主要介紹接收端中譯碼器是如何在每一級(jí)之間傳送數(shù)據(jù)的,采用圖3所示的四級(jí)譯碼作為例子。首先進(jìn)行第一級(jí)譯碼,密鑰中的第k個(gè)密鑰(數(shù)據(jù))首先被譯碼,其中譯碼器的先驗(yàn)信息是對(duì)數(shù)似然比Lk,可表示為

另外對(duì)于所使用的LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼,利用內(nèi)碼Polar碼在各級(jí)對(duì)數(shù)據(jù)譯碼,在LDPC碼的譯碼器中放入譯碼之后的結(jié)果進(jìn)行操作,最終結(jié)果要在兩次譯碼后才能得出,其譯碼的計(jì)算復(fù)雜度在多出了一步譯碼步驟的情況下卻并沒有增加。對(duì)于LDPC碼和Polar碼,所采用的都是BP譯碼算法,協(xié)議的密鑰就是最終譯碼結(jié)果。

2 仿真結(jié)果分析

在Matlab上進(jìn)行仿真分析。仿真中設(shè)高斯隨機(jī)變量X的方差為1,Y則是由X疊加上方差為σ2的高斯噪聲產(chǎn)生,改變?chǔ)?就可以對(duì)信噪比RSN的大小進(jìn)行改變。此外,首先對(duì)連續(xù)變量密鑰Y進(jìn)行均勻量化,其他參數(shù)設(shè)置為:信噪比RSN=4 dB,量化層數(shù)m=4,劃分區(qū)間數(shù)N=16。仿真結(jié)果表明Alice的密鑰X和Bob端量化后的密鑰Q(Y)的互信息在步長(zhǎng)Δ=0.315 dB時(shí)最大。根據(jù)以上信息可得到如圖4所示的編碼協(xié)議仿真結(jié)果。

圖4 四層量化區(qū)間編碼的仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of four-layer quantization interval coding

至此,在使用量化和比特編碼后,Bob端的密鑰會(huì)變?yōu)長(zhǎng)1、L2、L3和L4這樣的四級(jí)比特串,之后的仿真中對(duì)該比特串的編碼需采用級(jí)聯(lián)Polar碼。因此,各級(jí)中級(jí)聯(lián)Polar碼碼率的確定得先計(jì)算出四級(jí)二進(jìn)制比特串相對(duì)應(yīng)的等價(jià)信道的信道容量。

另外,分析每一級(jí)的碼率可得,前面兩級(jí)的碼率遠(yuǎn)小于后兩級(jí)的碼率,若不將其編碼而直接在傳輸?shù)男诺乐泄_,只會(huì)有0.011 bit/symbol的損耗。因此,選取使用碼率為0.3/0.9 bit/symbol的級(jí)聯(lián)Polar碼對(duì)第三級(jí)和第四級(jí)的二進(jìn)制比特串進(jìn)行編碼,然后可得校驗(yàn)子,將其發(fā)送給Alice,最后使用多級(jí)譯碼算法進(jìn)行譯碼來獲取密鑰信息。

仿真采用LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼,其中內(nèi)碼為Polar碼,外碼為L(zhǎng)DPC碼。MLC系統(tǒng)中的第三級(jí)編碼器中內(nèi)碼碼率是0.3593,而第四級(jí)編碼器中內(nèi)碼碼率設(shè)為0.9063。BP譯碼算法最大迭代次數(shù)為60。當(dāng)固定外碼LDPC的碼長(zhǎng)為60,而內(nèi)碼Polar碼的長(zhǎng)度分別為512和1024時(shí),所得協(xié)商協(xié)議的誤比特率(BER)性能仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同碼長(zhǎng)級(jí)聯(lián)Polar碼協(xié)商協(xié)議的性能比較結(jié)果Fig.5 Performance comparison results of the proposed protocol for concatenated Polar codes with different code lengths

由圖5可知,LDPC-Polar碼的多級(jí)譯碼協(xié)商協(xié)議的誤比特率與信噪比SNR成反比,分析圖5可得,碼長(zhǎng)設(shè)定為512時(shí),該協(xié)議的誤比特率在信噪比大于0.8 dB后已經(jīng)非常低了。而如果糾錯(cuò)碼是碼長(zhǎng)為1024的LDPC-Polar級(jí)聯(lián)碼,那么可以發(fā)現(xiàn)基于級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼協(xié)商協(xié)議的糾錯(cuò)能力更強(qiáng)。

3 結(jié)論

提出了一種級(jí)聯(lián)Polar碼和多級(jí)譯碼的CVQKD中的數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議。該協(xié)議在多級(jí)編碼調(diào)制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上,利用糾錯(cuò)性能更好的級(jí)聯(lián)Polar碼作為分量碼應(yīng)用到多級(jí)編碼以及多級(jí)譯碼中。通過仿真分析協(xié)議的性能表明所提協(xié)議的糾錯(cuò)性能極大提高,該數(shù)據(jù)協(xié)商協(xié)議對(duì)CV-QKD的應(yīng)用具有一定價(jià)值。