安全約束下的空間翻滾目標(biāo)渦流消旋穩(wěn)定控制

劉習(xí)堯，常海濤，黃攀峰，黃冰瀟，翟晨萌

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué)智能機(jī)器人研究中心，西安 710072)

0 引 言

歐洲航天局(ESA)最近的報(bào)告指出，過去60年來，人類進(jìn)行了約6110次太空發(fā)射任務(wù)，且產(chǎn)生了約29410個(gè)有記錄的空間碎片。質(zhì)量越大的碎片，碰撞危害越大，對現(xiàn)存的工作衛(wèi)星的威脅也越大。事實(shí)上，在諸多空間碎片中，失效衛(wèi)星和廢棄火箭體等大型碎片的質(zhì)量占空間在軌物體總質(zhì)量的90%以上。主動(dòng)移除這些大型碎片可以大大降低空間碰撞發(fā)生的可能性。

目前，穩(wěn)定或低速旋轉(zhuǎn)空間碎片的主動(dòng)移除方法主要有：空間機(jī)械臂、空間繩系機(jī)器人和空間繩網(wǎng)機(jī)器人等。然而，根據(jù)光學(xué)和雷達(dá)觀測結(jié)果，非受控三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期為20～430 s(即最大18 (°)/s)，廢棄運(yùn)載火箭旋轉(zhuǎn)周期為5～15 s(即最大72 (°)/s)。因此，捕獲并移除這類高速翻滾旋轉(zhuǎn)目標(biāo)前必須有效降低其旋轉(zhuǎn)角速度，即消旋。

針對消旋問題，學(xué)者們提出了多種接觸或非接觸式的消旋方法，如機(jī)械脈沖消旋、柔性毛刷消旋、庫侖力消旋、氣體沖擊消旋、渦流消旋等?？紤]到非接觸式消旋中的渦流消旋在安全性和可持續(xù)性等方面的優(yōu)勢，本文主要針對渦流消旋方法開展研究。石永康等詳細(xì)闡述了渦流消旋的基本原理及概念，并針對各種典型目標(biāo)進(jìn)行了渦流消旋動(dòng)力學(xué)仿真研究，分析了渦流消旋技術(shù)的可行性。Li等提出了一種適用于任意形狀和非均勻磁場的渦流消旋力矩計(jì)算方法，并進(jìn)行了地面實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。Liu等提出了一種基于永磁體陣列的渦流消旋方式，并在平均半徑假設(shè)下，建立了用于計(jì)算渦流消旋力和力矩的理論模型。Xie等采用雙機(jī)械臂調(diào)整永磁陣列裝置的轉(zhuǎn)速和姿態(tài)，進(jìn)行了渦流消旋仿真分析。目前國內(nèi)外空間目標(biāo)渦流消旋的研究主要集中在渦流消旋機(jī)理及地面實(shí)驗(yàn)方面，對渦流消旋任務(wù)中制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制(Guidance,navigation and control, GNC)系統(tǒng)的研究較少。

渦流消旋任務(wù)的GNC系統(tǒng)需保證任務(wù)周期內(nèi)服務(wù)星不與目標(biāo)發(fā)生碰撞，并調(diào)整星載磁體與目標(biāo)之間的相對位姿以提升消旋效率。針對渦流消旋任務(wù)的GNC系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題，Gómez等提出了控制模塊以及傳感器模塊的主要要求，并設(shè)計(jì)了兩種基本的消旋構(gòu)型(線圈磁偶極子與相對位置矢量平行的平行構(gòu)型(‖)以及兩者垂直的垂直構(gòu)型(⊥))，最終采用最優(yōu)控制方法實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的消旋。但為了保證操作過程的安全，文獻(xiàn)[16]采用了較大的相對距離(10 m)，這使得消旋效率大大降低，其仿真結(jié)果表明，消旋任務(wù)執(zhí)行周期約15天。事實(shí)上，在垂直構(gòu)型的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)抵近的空間消旋期望軌跡及其跟蹤控制器，可以大大縮短消旋時(shí)長、提高消旋效率。

綜上，本文面向空間翻滾目標(biāo)的消旋任務(wù)設(shè)計(jì)了近距離消旋軌跡及其軌跡跟蹤控制器，其主要研究貢獻(xiàn)在于：基于橢球包絡(luò)法給出了服務(wù)星的機(jī)動(dòng)區(qū)域安全約束，并使用直接線性化方法對安全區(qū)域約束進(jìn)行了凸化處理，確保了最優(yōu)軌跡跟蹤問題的有限時(shí)間可解性；設(shè)計(jì)了一種基于垂直消旋構(gòu)型的高效的抵近消旋軌跡，在滿足安全性的條件下有效增強(qiáng)了消旋力矩的作用強(qiáng)度，提高了消旋效率；基于反饋線性化和收縮約束方法，設(shè)計(jì)了一種指數(shù)穩(wěn)定的模型預(yù)測控制算法，并嚴(yán)格保證了受約束被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 問題提出

本文的主要目的是在保證安全的情況下提高渦流消旋的效率。本文的任務(wù)情景與Gómez等一致，即通過一個(gè)攜帶超導(dǎo)磁體的服務(wù)衛(wèi)星(簡稱服務(wù)星)抵至目標(biāo)附近，并對目標(biāo)進(jìn)行消旋，其場景和坐標(biāo)系定義如圖1所示。坐標(biāo)系定義如下：

圖1 任務(wù)場景和坐標(biāo)系定義Fig.1 Task scenario and definition of coordinate frames

此外，為區(qū)分各個(gè)空間矢量在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示，對矢量標(biāo)記做如下定義：對于任一矢量,為矢量在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示；空間矢量在,,系下的坐標(biāo)表示同理。

2 模型和約束

2.1 相對位置動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)坐標(biāo)系的選擇不同，描述航天器之間相對運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)坐標(biāo)系有許多種，如局部垂直局部地平線(LVLH)系，視線(LOS)坐標(biāo)系，服務(wù)星本體坐標(biāo)系，目標(biāo)本體坐標(biāo)系等?？紤]到消旋作用力和力矩在上述坐標(biāo)系下不便于描述，因此相對位置坐標(biāo)系選為系，此時(shí)位置動(dòng)力學(xué)模型為：

(1)

(2)

(3)

(4)

2.2 姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

由于本文中服務(wù)星和目標(biāo)都存在大角度變化，因此采用四元數(shù)描述兩者的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型。本體姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為

(5)

目標(biāo)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型為

(6)

(7)

(8)

式中：是從系到系的方向余弦矩陣。

2.3 安全約束與期望軌跡

橢球包絡(luò)是一種典型的航天器安全約束形式。然而，橢球包絡(luò)安全約束是非凸的，這使得優(yōu)化問題難以求解。因此需對安全約束進(jìn)行凸化處理，以保證問題有限時(shí)間內(nèi)可解?？紤]到目標(biāo)是翻滾的，直接線性化的方法更適用于安全約束的凸化。圖2描述了安全約束的構(gòu)造及其直接線性凸化處理。

圖2 安全約束及其凸化處理示意圖Fig.2 Schematic diagram of safety constraints and their convexity processing

(9)

(10)

(11)

(12)

由上文可知，期望軌跡需要滿足兩個(gè)條件：① 滿足安全約束的條件；② 保證垂直構(gòu)型的條件。

對于條件 ①，取期望位置為

(13)

式中：=+,為正數(shù)。>保證了期望位置處于安全約束內(nèi)。

(14)

則方向余弦矩陣為

(15)

為了保證控制器跟蹤軌跡的連續(xù)性和簡易性，期望軌跡的高階導(dǎo)數(shù)由下列二階動(dòng)態(tài)系統(tǒng)計(jì)算:

(16)

2.4 狀態(tài)模型和總約束

為了便于控制器的設(shè)計(jì)，將軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為鎮(zhèn)定問題。

定義狀態(tài)變量為

(17)

式中：

(18)

則可以得到狀態(tài)模型為

(19)

將式(18)代入式(12)中，可得位置誤差的安全約束為

(20)

在整個(gè)消旋過程中，除了安全約束外，本文還考慮了如下狀態(tài)的上下界約束：

∈={|≤≤}

(21)

所以總的狀態(tài)約束為

∈=∩

(22)

3 控制器設(shè)計(jì)

模型預(yù)測控制(Model predictive control, MPC)是一種滾動(dòng)求解有限時(shí)域最優(yōu)問題的控制算法，能夠顯式地處理約束并確保最優(yōu)性能?？紤]到安全約束和燃料消耗的要求，MPC算法非常適合于消旋任務(wù)。

由于消旋任務(wù)的動(dòng)力學(xué)模型是非線性的，如果直接使用MPC算法，需要在線求解非線性規(guī)劃問題。這將大大增加算法的計(jì)算量，不易實(shí)現(xiàn)。因此，有必要對模型進(jìn)行線性化。目前的線性化方法主要有雅可比線性化和反饋線性化。雅可比線性化在系統(tǒng)軌跡接近平衡點(diǎn)時(shí)有效。考慮到消旋任務(wù)涉及到大范圍機(jī)動(dòng)，反饋線性化方法能提供更好的控制效果。此外，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收縮約束被用于保證系統(tǒng)的指數(shù)收斂和穩(wěn)定性，同時(shí)塊優(yōu)化的策略被用于進(jìn)一步降低了MPC算法的計(jì)算量。本文采用的渦流消旋控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 渦流消旋控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Control framework of eddy current detumbling

3.1 反饋線性化

上述消旋過程的狀態(tài)模型具有相伴形式。對于這種類型的系統(tǒng)，通過下式可直接消除系統(tǒng)的非線性：

(23)

假設(shè)系統(tǒng)姿態(tài)誤差處于小范圍內(nèi)，不妨令=。因此，反饋線性化控制律和實(shí)際控制律之間的關(guān)系可化為

=+()

(24)

式中：

(25)

將式(18)代入式(12)后，可得

(26)

式中：

(27)

反饋線性化可以將系統(tǒng)狀態(tài)模型轉(zhuǎn)換為線性模型，但是系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)、控制約束也會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，從而可能變成非線性。因此需對轉(zhuǎn)換后的目標(biāo)函數(shù)、控制約束進(jìn)行處理。

Primbs等對目標(biāo)函數(shù)的非線性問題進(jìn)行了討論，給出了二次型目標(biāo)函數(shù)和原始目標(biāo)函數(shù)兩種方式，本文基于計(jì)算量的考慮，選擇時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)為：

(28)

對于控制約束非線性問題，Simon等提出了兩種處理方法：①整個(gè)時(shí)域內(nèi)采用全局內(nèi)部近似；②當(dāng)前時(shí)刻采用精確約束，未來時(shí)刻使用遞推內(nèi)部多面體近似。當(dāng)約束的非線性很強(qiáng)時(shí)，第二種方法可以大大提高系統(tǒng)的可行域。然而，第二種方法也使得算法更加復(fù)雜，增加了計(jì)算量。考慮到消旋任務(wù)的實(shí)際情況，本文采用了方法1處理控制約束。此時(shí)，控制約束集轉(zhuǎn)換為

={|+max∈(,,,)≤≤

+min∈(,,,)}

(29)

式中：和分別為實(shí)際控制約束的上下界。

3.2 收縮約束MPC

經(jīng)典MPC算法不能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前，有三種保證MPC算法穩(wěn)定性的途徑：

1)足夠長的預(yù)測時(shí)域；

2)終端域和終端懲罰；

3)收縮約束。

顯然使用足夠長的預(yù)測時(shí)域?qū)⒃黾佑?jì)算負(fù)擔(dān)，而終端域和終端懲罰在一般情況下是難以計(jì)算的。此外，在消旋任務(wù)中，狀態(tài)約束是時(shí)變的，這意味著需要在每個(gè)采樣時(shí)刻計(jì)算終端域，這將大大增加計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此，本文使用收縮約束以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

綜上所述，在時(shí)刻的優(yōu)化問題()為：

(30)

初始條件：(),(),()；

控制器參數(shù):,,,,,,；

1)初始化,=0；

2)計(jì)算，得到，計(jì)算max∈(,,,)和min∈(,,,)，獲得；

5)將控制量()作為時(shí)間段∈[,+1]內(nèi)的控制輸入作用到服務(wù)星動(dòng)力學(xué)模型上；測得(+1),(+1),(+1)；

6)令=+1，返回執(zhí)行步驟1，直到消旋任務(wù)結(jié)束。

3.3 迭代可行性和指數(shù)穩(wěn)定

在消旋任務(wù)中，安全約束隨著目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)而不斷變化，使得每一時(shí)刻的優(yōu)化問題都不同于前一時(shí)刻的優(yōu)化問題。因此，本文結(jié)合文獻(xiàn)[28]中的假設(shè)3和文獻(xiàn)[19]中的命題1，給出了如下合理假設(shè)：

需要注意的是，在消旋任務(wù)中，安全約束隨著目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)而變化，控制約束也是時(shí)變的，這使得每次的優(yōu)化問題都與前一次不同。然而，目前觀測到的大部分失效衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)速度不超過18 (°)/s，這意味著和的變化非常緩慢，可以認(rèn)為其值在短時(shí)間內(nèi)沒有變化，則此時(shí)問題()與文獻(xiàn)[28]中的CNTMPC問題是一致的。

存在正實(shí)數(shù)∈(0, ∞)，使得對于?∈[,+1],∈,有

因?yàn)榭刂戚斎?span id="j5i0abt0b" class="emphasis_italic">是有界的，且式(26)是線性系統(tǒng)，不存在有限逃逸時(shí)間，假設(shè)2是合理的。

(32)

式中:e為自然底數(shù)，則零點(diǎn)的指數(shù)穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)()屬于，則FLC-MPC算法是迭代可行的，且閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

同理，

(33)

由于0≤<1,<，所以()∈。因此問題()也是可行的，該優(yōu)化問題迭代可行。

由式(33)及假設(shè)2可知

(34)

其中,是正整數(shù)集。又因?yàn)閑(-1)-≥0，所以

(35)

上述不等式右側(cè)并未直接與相關(guān)?？紤]到

=(-)()≥(-)(), ?∈[,]

(36)

則有

(37)

(38)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。

4 仿真校驗(yàn)

4.1 仿真參數(shù)

本文主要研究對目標(biāo)的消旋任務(wù)，因此，假設(shè)服務(wù)星在初始時(shí)刻已經(jīng)抵至目標(biāo)附近。此外，為了對比論證，本次仿真的翻滾目標(biāo)與文獻(xiàn)[16]中的案例1一致，為阿里亞娜-4火箭上面級(jí)。該上面級(jí)位于高度為700 km、傾角為0°的圓形軌道，其尺寸見文獻(xiàn)[31]，服務(wù)星的質(zhì)量見文獻(xiàn)[32]。本仿真使用的服務(wù)星-目標(biāo)系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示，且系統(tǒng)初始條件及控制器參數(shù)如表2所示。

在本文的仿真中，預(yù)測時(shí)域長度為=5,=01，采樣時(shí)間為=01 s，權(quán)重矩陣=和=001，輸入約束為=-=[1,1,1,1,1,1]，狀態(tài)上下界約束為=-，且

=[10,10,10,02,02,02,01,01,

01,01,01,01]

(39)

表1 服務(wù)星和目標(biāo)的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of servicer and target satellite

表2 初始條件及控制器參數(shù)Table 2 Initial conditions and controller parameters

4.2 仿真結(jié)果

整個(gè)消旋過程的仿真時(shí)長為6 h。MPC問題通過YALMIP工具箱進(jìn)行求解，仿真結(jié)果如下。

圖4 垂直及平行構(gòu)型下目標(biāo)角速度范數(shù)的變化圖Fig.4 Change diagram of target angular velocity’s norm in perpendicular and parallel configurations

從圖4(a)可以看出，經(jīng)過6 h的消旋后，目標(biāo)的角速度范數(shù)從10 (°)/s衰減到2 (°)/s以下，而相應(yīng)的，文獻(xiàn)[18]用了超過10天時(shí)間才達(dá)到同樣的效果。這說明了垂直構(gòu)型下的近距離期望消旋軌跡對于提升消旋效率的作用。作為對比，圖4(b)給出了相同環(huán)境條件下使用平行構(gòu)型進(jìn)行消旋的結(jié)果。根據(jù)平行構(gòu)型的要求，期望軌跡取為

(40)

可以看到，此時(shí)目標(biāo)角速度只能衰減到8 (°)/s以上，仍有較大角速度殘余，無法完成對目標(biāo)角速度的消減。

圖5 服務(wù)星與目標(biāo)的相對位置變化圖Fig.5 Change of relative positions of the servicer and target satellite

圖5展示了消旋過程中服務(wù)星與目標(biāo)相對位置的變化情況?？梢钥吹较鄬ξ恢迷谧畛醯? h內(nèi)一直在振蕩，然后趨于穩(wěn)定。對比圖4可以發(fā)現(xiàn)，前2 h 內(nèi)，目標(biāo)角速度的軸和軸分量也一直在振蕩。因?yàn)榍? h內(nèi)目標(biāo)處于翻滾運(yùn)動(dòng)，而渦流消旋先將翻滾運(yùn)動(dòng)消減為自旋運(yùn)動(dòng)，隨后服務(wù)星只需保持固定的相對位置，即可進(jìn)一步對自旋運(yùn)動(dòng)進(jìn)行消減。這可以節(jié)省消旋任務(wù)的燃料消耗。

在控制效果方面，圖6給出了狀態(tài)變量的范數(shù)變化情況。從圖中可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)均在20 s內(nèi)指數(shù)收斂到0，且狀態(tài)變量()均處于約束集內(nèi)。這與定理1的結(jié)果一致。

圖6 位置以及四元數(shù)跟蹤誤差范數(shù)變化圖Fig.6 Change diagram of position and quaternion tracking error’s norm

圖7 控制輸出變化圖Fig.7 Change diagram of control output

圖7顯示了服務(wù)星控制量的無窮范數(shù)的變化情況。10 s后，服務(wù)星的控制量即穩(wěn)定到很小的范圍內(nèi)，但穩(wěn)定后，仍會(huì)有輕微波動(dòng)。這是因?yàn)槠谕壽E在不斷變化，因此服務(wù)星需要進(jìn)行相應(yīng)的機(jī)動(dòng)。在圖7(c)中，由于在垂直構(gòu)型中被抵消，與幾乎相等。相應(yīng)的，在圖7(d)中，由于消旋力矩無法抵消，比大得多。另外，由于MPC具有非常好的約束處理能力，控制輸出始終保持在控制約束集={|≤≤}中。

圖8 函數(shù)相對距離以及燃料消耗變化圖Fig.8 Change diagram of function relative distance and fuel consumption

(41)

綜上所述，本文提出的期望軌跡與FLC-MPC算法可提高消旋任務(wù)的效率，且能夠保證消旋任務(wù)的安全性和軌跡的實(shí)時(shí)跟蹤。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了滿足垂直構(gòu)型要求的服務(wù)星消旋期望軌跡，并凸化安全區(qū)域基礎(chǔ)上，提出了一種指數(shù)穩(wěn)定的FLC-MPC算法，在保證任務(wù)過程安全的情況下，提高了渦流消旋的效率。與以往的研究相比，消旋時(shí)間從超過10天減少至6 h左右。作為代價(jià)，該方法需要服務(wù)星在消旋過程中不斷移動(dòng)，增加了任務(wù)過程的復(fù)雜性。但是，F(xiàn)LC-MPC方法可以避免碰撞，并且保證燃料消耗最優(yōu)。為了減少計(jì)算量，本文采用反饋線性化方法對系統(tǒng)模型進(jìn)行線性化，并對目標(biāo)函數(shù)和控制約束進(jìn)行了相應(yīng)的處理，最后使用YALMIP工具箱對MPC問題進(jìn)行求解，獲得了最優(yōu)控制序列，并將其施加上系統(tǒng)模型上，保證了系統(tǒng)的安全和穩(wěn)定。