混凝土Ⅰ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)臨界有效縫長的數(shù)值研究

鄭 軼 王向東 劉慶輝

(河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100)

混凝土是由水泥、砂、骨料、水等材料組成的復(fù)合材料，在實(shí)際工程中混凝土結(jié)構(gòu)難免會(huì)出現(xiàn)宏觀裂縫，而其損傷和斷裂特性對(duì)工程安全起著關(guān)鍵作用.因此，準(zhǔn)確把握混凝土的破壞機(jī)理，確定合理的混凝土斷裂參數(shù)，對(duì)評(píng)價(jià)混凝土結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和安全性具有重大意義，對(duì)此，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究工作[1-8].混凝土材料作為一種準(zhǔn)脆性材料，其斷裂特性區(qū)別于金屬材料，在結(jié)構(gòu)承受荷載作用后，宏觀裂縫尖端存在一個(gè)微裂紋區(qū)，即斷裂過程區(qū)，結(jié)構(gòu)失穩(wěn)斷裂時(shí)，宏觀裂縫已經(jīng)有了一定的擴(kuò)展，大量研究表明引入斷裂過程區(qū)的影響[9-10]是必要的.

文獻(xiàn)[11]對(duì)混凝土裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展臨界有效裂縫長度進(jìn)行了研究，即通過實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法對(duì)測(cè)定的F-δ(荷載-位移)曲線，采用柔度改變法測(cè)得有效裂縫縫長，該方法得到的臨界有效縫長，結(jié)果是合理的，但是斷裂過程區(qū)的存在對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響必須從斷裂和損傷力學(xué)理論的角度進(jìn)行研究，一方面使研究結(jié)果更具科學(xué)理論依據(jù)支撐，另一方面考慮損傷對(duì)裂縫擴(kuò)展的影響更符合實(shí)際情況.

本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，從斷裂與損傷耦合的角度，推導(dǎo)出計(jì)算混凝土Ⅰ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展臨界有效裂縫長度的新方法，并通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，進(jìn)一步計(jì)算失穩(wěn)斷裂韌度，與傳統(tǒng)計(jì)算方法和文獻(xiàn)[11]計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證推導(dǎo)方法的可行性并且說明考慮混凝土宏觀裂縫前端微裂紋區(qū)的斷裂與損傷對(duì)斷裂韌度的影響是有必要的.

1 基于虛擬裂縫模型和最大拉應(yīng)變斷裂判據(jù)的有效縫長

1.1 虛擬裂縫模型概述

1976年，Hillerborg等[12]在塑性力學(xué)模型的基礎(chǔ)上提出了虛擬裂縫模型(FCM).該模型認(rèn)為宏觀裂縫擴(kuò)展前，在裂縫前端已出現(xiàn)微裂縫區(qū).在此區(qū)域內(nèi)，材料剛度降低，從而削弱了該區(qū)域傳遞應(yīng)力的能力.但微裂縫區(qū)內(nèi)仍有骨料相連或基體粘結(jié)，因此微裂縫區(qū)域內(nèi)傳遞應(yīng)力能力并未完全喪失，這部分傳遞的應(yīng)力稱為黏聚力.通過分離式裂縫的表征方法將微裂縫區(qū)定義為“虛擬裂縫區(qū)”，也叫斷裂過程區(qū)(FPZ).

對(duì)于Ⅰ型裂縫，斷裂過程區(qū)可表示為黏聚力σ與裂縫張開位移w之間的關(guān)系，圖1即在斷裂過程區(qū)內(nèi)黏聚力隨著位移逐漸張開而變化的軟化本構(gòu)關(guān)系.

圖1 應(yīng)力軟化曲線

由圖1可知，當(dāng)裂縫張開位移w為0時(shí)，相應(yīng)微裂縫區(qū)域內(nèi)的黏聚力等于混凝土抗拉強(qiáng)度;當(dāng)裂縫張開位移w達(dá)到臨界值w0時(shí)，對(duì)應(yīng)微裂縫區(qū)的黏聚力降為0，此時(shí)裂縫區(qū)域的虛擬裂縫面不再傳遞應(yīng)力.

1.2 有效裂縫縫長a c的計(jì)算

依據(jù)斷裂力學(xué)，可得Ⅰ型裂縫尖端應(yīng)力場(chǎng)公式:

式中:σx、σy、σz為裂縫尖端區(qū)域的應(yīng)力;KⅠ為應(yīng)力強(qiáng)度因子;r、θ為極坐標(biāo).

當(dāng)混凝土處于失穩(wěn)擴(kuò)展臨界狀態(tài)時(shí)，依據(jù)虛擬裂縫模型，在靠近裂縫端部區(qū)域內(nèi)的混凝土沿著裂縫線方向，有一部分微裂縫區(qū)域內(nèi)黏聚力為零，裂縫張開位移w≥w0，因此可將這一區(qū)域等效為混凝土的軟化開裂區(qū)域，如圖2所示，r0即為軟化區(qū)域，該區(qū)域的長度即可等效為混凝土臨界有效縫長的增加量Δac.

圖2 裂縫尖端區(qū)域應(yīng)力變化情況

由于混凝土是準(zhǔn)脆性材料，依據(jù)最大拉應(yīng)變斷裂判據(jù)，當(dāng)裂縫尖端最大拉應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變時(shí)，裂縫將開始擴(kuò)展，由胡克定律可得到相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式:

式中:σr為相當(dāng)應(yīng)力;σb為極限應(yīng)力，σ1、σ2、σ3為主應(yīng)力;v是泊松比.

根據(jù)主應(yīng)力公式，由式(1)可得縫端的主應(yīng)力為:

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，將式(3)代入式(2)，對(duì)于混凝土Ⅰ型裂縫，取混凝土的極限應(yīng)力σb軸向抗拉強(qiáng)度為ft，并代入(2)，在裂縫線上(θ=0)，則有

式中:軟化區(qū)域r0由于不再傳遞應(yīng)力，因此可以將其等效成宏觀裂縫有效擴(kuò)展長度Δac，臨界有效縫長為ac=a0+Δac=a0+r0.

2 基于Loland損傷模型和最大拉應(yīng)變斷裂判據(jù)的有效縫長

2.1 Loland損傷模型

Loland[13]在對(duì)混凝土試驗(yàn)進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力即將達(dá)到峰值應(yīng)力前，應(yīng)力-應(yīng)變不再是直線關(guān)系，這表明當(dāng)應(yīng)變小于峰值應(yīng)變?chǔ)舊時(shí)，材料的內(nèi)部存在著損傷區(qū)，當(dāng)應(yīng)變大于εf時(shí)，材料已經(jīng)發(fā)生嚴(yán)重劣化，應(yīng)力迅速跌落，損傷不斷增大，本文只考慮峰值之前的裂縫尖端混凝土的損傷演化.

常用的混凝土損傷演變方程為:

式中:D為損傷;D0為初始損傷;C1、C2和β為材料參數(shù);εf為峰值應(yīng)力對(duì)應(yīng)的應(yīng)變;εu為極限應(yīng)變，ε=εf時(shí)，σ=σf，dσ/dε=0，考慮到ε=εu時(shí)D=1，得到:

根據(jù)文獻(xiàn)[11]取混凝土材料的初始損傷變量D0為0.05，根據(jù)文獻(xiàn)中數(shù)據(jù)計(jì)算得到材料參數(shù)β=4.4、C1=7×1016、C2=1935，將求出的材料常數(shù)代入損傷演化方程(5)可以得到:

由公式(6)可以得到在峰值前應(yīng)變與損傷變量之間的關(guān)系曲線，如圖3所示，隨著應(yīng)變的不斷增大，損傷曲線是上升的.

圖3 峰值前的應(yīng)變與損傷變量之間的關(guān)系曲線

2.2 雙D損傷發(fā)展判據(jù)

文獻(xiàn)[14]中提出了基于損傷和斷裂力學(xué)耦合的雙D發(fā)展判據(jù):當(dāng)裂縫尖端的損傷小于起裂損傷Dini時(shí)，縫端損傷處于產(chǎn)生階段，微裂縫區(qū)形成;當(dāng)裂縫尖端的損傷介于起裂損傷Dini和失穩(wěn)損傷Dun之間時(shí)，縫端損傷處于穩(wěn)定積累階段，微裂縫區(qū)穩(wěn)定發(fā)展;當(dāng)裂縫尖端損傷大于Dun時(shí)，縫端損傷處于快速失穩(wěn)發(fā)展階段，微裂縫區(qū)發(fā)展為宏觀裂縫.

描述裂縫尖端損傷發(fā)展的判據(jù)可以表示為:

當(dāng)裂縫尖端損傷為Dini時(shí)，縫尖端損傷開始穩(wěn)定積累，此時(shí)宏觀裂縫處于起裂狀態(tài)，當(dāng)裂縫尖端損傷為Dun時(shí)，縫端損傷開始快速失穩(wěn)發(fā)展，此時(shí)宏觀裂縫已經(jīng)有一定擴(kuò)展長度Δac.因此，將裂縫尖端的損傷Dini，作為宏觀裂縫起裂的標(biāo)志，即沿著裂縫線擴(kuò)展方向，縫尖端周圍的損傷大于或等于起裂損傷Dini的區(qū)域，可以認(rèn)為其為宏觀裂縫區(qū)域.

2.3 混凝土Ⅰ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展臨界有效縫長

根據(jù)最大拉應(yīng)變斷裂判據(jù)，裂縫在尖端應(yīng)變達(dá)到最大拉應(yīng)變時(shí)裂縫開始擴(kuò)展，所以微裂紋出現(xiàn)可以認(rèn)為是由ε1引起的，微裂紋即為損傷，因此認(rèn)為損傷也是由ε1引起的.

據(jù)胡克定律，由式(3)求得主應(yīng)變?chǔ)?:

將式(7)中的ε1代入式(5)，可得:

由此可得:

在式(8)中，可以發(fā)現(xiàn)，混凝土裂縫尖端的損傷隨著r的減小而不斷的增大.根據(jù)雙D判據(jù)，當(dāng)裂縫尖端損傷達(dá)到Dini時(shí)，混凝土宏觀裂縫處于起裂的臨界狀態(tài)，因此，可將Dini作為裂縫起裂的標(biāo)志，等價(jià)于此時(shí)宏觀裂縫已經(jīng)開始逐步擴(kuò)展.而隨著荷載的增加，當(dāng)混凝土裂縫達(dá)到失穩(wěn)擴(kuò)展臨界狀態(tài)時(shí)，原有的宏觀裂縫實(shí)際上有了一定的擴(kuò)展，以前述Dini作為宏觀裂縫起裂的標(biāo)志，代入式(9)，可以得到損傷不小于Dini的長度范圍，即:

當(dāng)裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)，式(8)反映了裂縫尖端區(qū)域沿著裂縫線方向的損傷變化規(guī)律.按照雙D判據(jù)，此時(shí)縫尖端的損傷為Dun，在r≤r1范圍內(nèi)，始終有D≥Dini，也就代表這一區(qū)域可以等效成有效的宏觀裂縫，當(dāng)r＞r1時(shí)，按照式(8)損傷不斷減小，且趨于穩(wěn)定的值，即接近于混凝土初始損傷值D0.對(duì)于r＞r1的情況，依據(jù)能量守恒定律，損傷總量在等效前后始終保持不變，因此將大于初始損傷的部分損傷等效成某一區(qū)域內(nèi)損傷恒定為Dini時(shí)的狀態(tài)，這一區(qū)域長度，如圖4所示，即為r2-r1.此時(shí)，整個(gè)縫尖段區(qū)域附近的損傷等效成兩部分，一部分長度定義為r2，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)損傷變量有D≥Dini，在r＞r2區(qū)域內(nèi)，損傷變量保持不變?yōu)镈0，r2即為等效后的臨界有效縫長增量Δac，如圖5所示，有效裂縫縫長ac=a0+Δac.由于等效前式(8)函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸圍成面積與等效后函數(shù)圖像圍成面積始終保持不變，如圖4所示，S1=S2，所以有:

圖4 損傷等效原理圖

等效后，混凝土Ⅰ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)縫尖端損傷示意圖，如圖5所示.

圖5 失穩(wěn)狀態(tài)時(shí)等效損傷示意圖

3 Ⅰ型裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展臨界有效縫長數(shù)值分析

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)

一般的三點(diǎn)彎曲梁試件跨高比為4，常用試件凈尺寸有100 mm×100 mm×400 mm、150 mm×150 mm×600 mm、200 mm×200 mm×800 mm等.試驗(yàn)采用河海系列試驗(yàn)采用的試件[15]，試驗(yàn)試件混凝土基本力學(xué)性能參數(shù)見表1.

表1 混凝土基本力學(xué)性能參數(shù)表

Ⅰ型裂縫試件的結(jié)構(gòu)及尺寸為圖6所示，有關(guān)數(shù)據(jù)為:初始縫長a0=50 mm，試件寬度b=100 mm，試件高度h=100 mm，試件跨度S=400 mm.

圖6 三點(diǎn)彎曲梁示意圖(單位:mm)

3.2 模擬計(jì)算

基于ANSYS軟件平臺(tái)，對(duì)三點(diǎn)彎曲梁試件進(jìn)行模擬.試件采用的建模方式為先創(chuàng)建關(guān)鍵點(diǎn)，然后關(guān)鍵點(diǎn)連成面，在面上剖分成平面等參4節(jié)點(diǎn)單元(PLANE183).再沿著Z方向拉伸成8節(jié)點(diǎn)空間等參單元SOLID186，三點(diǎn)彎曲梁的有限元建模以及網(wǎng)格劃分如圖7所示.

圖7 三點(diǎn)彎曲梁有限元網(wǎng)格劃分

由文獻(xiàn)[11]試驗(yàn)可知，Ⅰ型裂縫的起裂荷載Fini為1 732 N，失穩(wěn)荷載Fmax為1 820 N.

在起裂荷載Fini作用下，通過有限元計(jì)算得到Ⅰ型裂縫試驗(yàn)構(gòu)件裂縫尖端的應(yīng)變最大值εini=1.261×10-4，根據(jù)式(8)計(jì)算得到起裂損傷值為Dini=0.226+1 935×(2.60×10-4-10-4)=0.537.

在失穩(wěn)荷載Fmax作用下，通過有限元計(jì)算得到Ⅰ型裂縫試驗(yàn)構(gòu)件裂縫尖端的應(yīng)變最大值εun=1.382×10-4，根據(jù)式(8)計(jì)算得到失穩(wěn)損傷值為Dun=0.226+1 935×(2.86×10-4)=0.779.

表2 三點(diǎn)彎曲梁的起裂與失穩(wěn)情況比較

對(duì)于本試驗(yàn)中的Ⅰ型裂縫的損傷斷裂行為用雙D損傷發(fā)展判據(jù)可表述為:當(dāng)混凝土材料的損傷值D≤0.537時(shí)，材料是處在材料損傷階段;當(dāng)材料的損傷值0.537＜D≤0.779時(shí)，材料處于損傷穩(wěn)定發(fā)展階段;當(dāng)材料損傷值D＞0.779時(shí)，處于損傷失穩(wěn)發(fā)展階段.

ANSYS計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果比較:

根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果得到外荷載著力點(diǎn)的位移，δ=3.34×10-5m.

將模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后處理，觀察損傷圖，如圖8～9所示.損傷區(qū)形狀類似橢圓形，在裂縫兩邊具有較好對(duì)稱性，沿裂縫面方向梯度最大，說明裂縫將沿著原方向擴(kuò)展.

圖8 Ⅰ型裂縫起裂荷載下?lián)p傷等值線

圖9 Ⅰ型裂縫失穩(wěn)荷載下?lián)p傷等值線

根據(jù)ANSYS計(jì)算得到模型y方向的位移云圖，可以讀出著力點(diǎn)的y方向的位移即為施加于橫梁之上集中力的著力點(diǎn)的位移，節(jié)點(diǎn)64的位移δ′=3.14×10-5m.

則其有限元結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差為:

表明該模型的解析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合很好，進(jìn)一步驗(yàn)證了該模型的適用性.

3.3 臨界有效縫長及失穩(wěn)斷裂韌度

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(4)中計(jì)算得出Ⅰ型裂縫在失穩(wěn)臨界狀態(tài)考慮斷裂過程區(qū)的臨界有效縫長ac=a0+r0=56.850 mm.

將試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式(11)中計(jì)算得出Ⅰ型裂縫在失穩(wěn)臨界狀態(tài)考慮斷裂過程區(qū)和損傷影響的臨界有效縫長ac=a0+r2=56.828 mm.

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中，即課題組之前采用的利用柔度改變法計(jì)算得到的考慮斷裂過程區(qū)的有效裂縫長度ac=57.100 mm，與上述計(jì)算所得臨界有效縫長結(jié)果對(duì)比(見表3)，結(jié)果基本吻合，驗(yàn)證了計(jì)算結(jié)果合理性.

表3 裂縫長度計(jì)算結(jié)果對(duì)比(單位:mm)

根據(jù)Tada給出計(jì)算縫端應(yīng)力強(qiáng)度因子公式[11]，

其中

式中:KⅠ為Ⅰ型裂縫應(yīng)力強(qiáng)度因子(MPa·m1/2);F為荷載(k N);S為兩支座間的跨度(m);h為試件高度(m);b為試件寬度(m);a為裂縫長度(m).

將上述計(jì)算所得有效裂縫長度代入式(12)計(jì)算，可得混凝土Ⅰ型裂縫臨界失穩(wěn)斷裂韌度，見表4.

表4 失穩(wěn)斷裂韌度計(jì)算結(jié)果對(duì)比

根據(jù)公式(12)，將初始裂縫長度代入，計(jì)算結(jié)果為0.613 MPa·m1/2.此結(jié)果為傳統(tǒng)計(jì)算斷裂韌度方法的結(jié)果，并未考慮到在裂縫失穩(wěn)擴(kuò)展時(shí)，初始裂縫已經(jīng)有一定長度的擴(kuò)展，即斷裂過程區(qū)對(duì)混凝土斷裂韌度的影響.將表4計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，不管是文獻(xiàn)[11]采用的柔度改變法，還是本文研究所采用的方法，最后計(jì)算所得失穩(wěn)斷裂韌度都比傳統(tǒng)計(jì)算方法大，說明傳統(tǒng)的判據(jù)偏于保守，對(duì)于工程材料的要求過于嚴(yán)格.而本文所采用的兩種新方法計(jì)算所得斷裂韌度大小介于傳統(tǒng)計(jì)算結(jié)果和柔度改變法之間，說明混凝土宏觀裂縫前端微裂縫區(qū)的斷裂與損傷會(huì)使混凝土失穩(wěn)斷裂韌度有所降低，同時(shí)也說明本文方法的計(jì)算結(jié)果也是偏于安全的.

4 結(jié) 論

本文在文獻(xiàn)[11]的基礎(chǔ)上，從斷裂和損傷兩個(gè)不同的理論角度，對(duì)混凝土裂縫臨界有效縫長的計(jì)算方法進(jìn)行理論研究以及數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)計(jì)算.根據(jù)臨界有效縫長的計(jì)算結(jié)果，進(jìn)一步計(jì)算失穩(wěn)斷裂韌度，得到以下結(jié)論:

1)宏觀裂縫前緣存在斷裂過程區(qū)，從損傷和斷裂的角度來計(jì)算臨界有效縫長與文獻(xiàn)[11]采用的基于F-δ(荷載-位移)曲線得到的臨界有效縫長ac幾乎一致，說明研究方法合理，為研究混凝土Ⅰ型裂縫臨界有效縫長ac提供了兩個(gè)新思路.

2)用不同計(jì)算方法所得ac計(jì)算失穩(wěn)斷裂韌度，結(jié)果表明傳統(tǒng)計(jì)算方法偏于保守，而本文采用的方法，不僅保證了工程上使用混凝土結(jié)構(gòu)的安全性問題，同時(shí)也說明宏觀裂縫前緣區(qū)域微裂紋區(qū)損傷和斷裂對(duì)混凝土力學(xué)性能是有影響的，即采用新方法所得ac計(jì)算斷裂韌度的必要性.

3)本文Ⅰ型裂縫臨界有效縫長的研究方法，可以推廣到其他單一型裂縫以及各種復(fù)合型裂縫的臨界有效縫長的研究中，進(jìn)一步研究微裂紋區(qū)斷裂和損傷對(duì)混凝土失穩(wěn)斷裂韌度的影響.