堆載作用下豎井圓柱殼模型受力分析

聶清文

(中鐵十二局集團(tuán)第一工程有限公司 陜西西安 710038)

1 引言

豎井作為一種聯(lián)絡(luò)上下空間的通道被廣泛用于土木工程中。豎井因其占地范圍小，開挖距離短在一些地形中具有顯著的優(yōu)勢(shì)，也因其特殊的空間走向形式，造成在施工方法和過(guò)程中遇到一些特殊的困難。

目前已有諸多學(xué)者對(duì)上述問(wèn)題展開研究，王林俊[1]通過(guò)優(yōu)化二襯和十字隔墻的支模技術(shù)提高了超大斷面超深公路隧道通風(fēng)豎井施工效率。魏福貴等[2]對(duì)短段掘砌混合作業(yè)法在硬巖施工中圍巖的受力和位移演化過(guò)程進(jìn)行了討論，分析了各個(gè)施工工序的位移變化速率。周雄華[3]、高賢[4]等人通過(guò)數(shù)值模擬，分析了豎井開挖過(guò)程中圍巖、襯砌和結(jié)構(gòu)的受力。劉健美等[5]以富水地層中的豎井開挖為研究對(duì)象，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)、數(shù)值模擬等方法對(duì)開挖后土體沉降原因進(jìn)行了分析。Liu Bo等[6]針對(duì)地鐵隧道上部開挖豎井的上浮位移問(wèn)題，建立了整體數(shù)值模型，通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了技術(shù)的合理性。陳航等[7]以反井施工下豎井的縱向變形曲線為研究對(duì)象，通過(guò)建立三維豎井開挖模型，并與傳統(tǒng)隧道的曲線進(jìn)行了驗(yàn)證。劉力源等[8]建立豎井力學(xué)分析模型，對(duì)豎井在孔隙水壓和地應(yīng)力場(chǎng)作用下圍巖損傷機(jī)制進(jìn)行研究。劉煥新等[9]建立了豎井開挖巖爆多指標(biāo)綜合危險(xiǎn)性等級(jí)預(yù)測(cè)模型，提出了相應(yīng)處理措施。戴旭等[10]通過(guò)FLAC3D建立了三維模型，并提出了降低管線位移措施。Hu Yanbo等[11]以超厚破碎帶地質(zhì)下的豎井為研究對(duì)象，對(duì)地應(yīng)力和破碎帶耦合作用下豎井的位移情況進(jìn)行了定量分析。上述研究促進(jìn)了豎井施工理論的發(fā)展，推動(dòng)了豎井施工技術(shù)的變革。

采用理論解析解與數(shù)值模擬結(jié)合分析方法，研究堆載作用下豎井井身受力與變形反應(yīng)規(guī)律。

2 豎井圓柱殼理論模型

2.1 圓柱殼殼體理論

由于豎井井壁橫截面為圓形，并且具有較大的深度，因此可以參考關(guān)于曲線地連墻的研究，將豎井井壁(初支和二襯)等效簡(jiǎn)化為圓柱殼模型進(jìn)行力學(xué)分析，如圖1所示。

圖1 豎井井壁土壓力及開挖示意

忽略井壁深度方向的位移，井壁的幾何方程為[12]:

式中，ε1、ε2分別為井壁的豎向應(yīng)變、環(huán)向應(yīng)變；α0為環(huán)向剛度修正系數(shù)；μ為泊松比；w為井壁徑向位移(m)；R為豎井的半徑(m)；z為計(jì)算位移沿z坐標(biāo)軸至墻體中心線的距離(m)；x為計(jì)算位置的豎井深度(m)。

考慮線彈性本構(gòu)關(guān)系，井壁的物理方程為:

式中，σ1、σ2分別為井壁的豎向應(yīng)力、環(huán)向應(yīng)力；E為折算后混凝土等效彈性模量(Pa)。

沿厚度方向z對(duì)式(2)進(jìn)行積分，可得井壁的豎向軸力N、彎矩M和剪力Q:

工程項(xiàng)目豎井隧道支護(hù)通常采取鋼筋混凝土的支護(hù)方式，在計(jì)算時(shí)采用彈性模量折算法，如式(4)。

式中，E0為素混凝土彈性模量(Pa)；sg為鋼筋截面積(m2)；Eg為鋼筋彈性模量(Pa)；sc為混凝土截面積(m2)。

2.2 井壁受力分析

豎井在開挖后會(huì)對(duì)其周圍區(qū)域的圍巖產(chǎn)生擾動(dòng)作用，迫使圍巖進(jìn)行應(yīng)力釋放，并產(chǎn)生應(yīng)力重分布。隨著開挖的進(jìn)行，圍巖進(jìn)一步釋放出的應(yīng)力作用于豎井井壁上，使得豎井產(chǎn)生變形。由于圓壁擋土墻受力具有空間特征，目前尚未形成計(jì)算豎井土壓力的統(tǒng)一方法。工程上常用計(jì)算土壓力的理論公式包括朗金土壓力理論、庫(kù)倫土壓力理論和《公路隧道設(shè)計(jì)細(xì)則》中使用的秦氏方法。

秦氏理論的計(jì)算公式為:

式中，γ為土層的重度(N/m3)；h為分層土的厚度(m)；n為分層土的數(shù)量。

朗金土壓力的計(jì)算公式為式(6)。由于豎井還受到井口周圍豎向堆載作用，假設(shè)堆載邊緣距井中心的最近距離為dl，堆載的平面長(zhǎng)度和寬度為d1和d2，那么可以按照(45°+φ)的水平線夾角將堆載投影至井壁對(duì)應(yīng)區(qū)域，進(jìn)而計(jì)算作用在豎井周圍的土壓力。

式中，Kai為主動(dòng)土壓力系數(shù)，Kai＝ tan2(45°-φi/2)；q為上部荷載(N)；c為土的粘聚力(Pa)。

秦氏理論的計(jì)算公式較為簡(jiǎn)便，但沒(méi)有直接給出考慮井口均布荷載的方法。庫(kù)倫土壓力理論無(wú)法直接考慮土層的粘聚力。朗金土壓力理論能夠較好地考慮豎井周圍堆載和堆載大小，因此比較適用于模型的計(jì)算。

2.3 平衡方程的建立和求解

采用里茲法可以較為方便地建立其平衡方程，考慮豎向和徑向變形，豎井井壁的彈性勢(shì)能可以寫為式(7):

式中，w為井身水平位移(m)；D＝Et3/[12(1-μ2)]，D為墻體抗彎剛度(N/m)；t為井壁的厚度(m)；h為豎井的高度(m)。

井后土壓力造成的勢(shì)能寫為式(8):

考慮到直接求解殼體方程的復(fù)雜性，可以把徑向位移w函數(shù)采用傅里葉級(jí)數(shù)展開，進(jìn)行逆向求解。

式中，i為傅里葉級(jí)數(shù)的階數(shù)；λi＝iπL-1；。

由于位移函數(shù)在上下兩端不為0，即w(0)≠0，w(L)≠0，下面將利用其邊界條件計(jì)算位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。假設(shè)位移函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:

式中，ai可以通過(guò)對(duì)wi進(jìn)行分步積分得到。

由里茲法可知系統(tǒng)中各個(gè)勢(shì)能的變分之和為0:

黑夜里的一切聲音都飽含了欲望，來(lái)自一團(tuán)老辣的熊熊燃燒的火焰和火焰中頓時(shí)融化的冰塊，在奇特的水火相容中，他們交出了寂寞，交出了眼淚，交出了痛和血，也交出了夜的漆黑。

對(duì)于墻體的變形勢(shì)能而言，對(duì)其廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)并通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)的正交性進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得:

式(13)可進(jìn)一步改寫為矩陣和向量形式:

式中，K中的元素，

對(duì)土壓力的勢(shì)能而言，對(duì)其廣義坐標(biāo)求偏導(dǎo)可得:

綜合上述公式可得最終的豎井受力平衡方程:

通過(guò)求解矩陣K和向量P便可得到豎井井壁的等效平衡方程組。求解該方程組后可得井壁處徑向位移w的廣義坐標(biāo)wi，將wi代入式(9)中可得豎井的徑向位移。在每步開挖時(shí)需要重新計(jì)算作用在井壁上的土壓力，然后代入平衡方程中計(jì)算其位移。

3 模型驗(yàn)證

3.1 工程概況

某隧道由一個(gè)豎井采用送排式對(duì)左右線進(jìn)行通風(fēng)，所穿過(guò)的巖層參數(shù)如表1所列，豎井布置及尺寸如圖2所示。

表1 巖層力學(xué)參數(shù)取值

圖2 某隧道豎井平縱面尺寸(單位:m)

3.2 數(shù)值模型建立

圖3 豎井及土層數(shù)值模型(單位:m)

3.3 數(shù)值模型對(duì)比

圖4為理論求解的值與數(shù)值模擬計(jì)算值對(duì)比圖，由圖4可知在堆載距離為5 m的情況下，豎井在堆載與開挖作用下井身位移的解析解與數(shù)值解之間的趨勢(shì)較為接近。在井體深度為9 m之前井身位移的數(shù)值解略小于解析解，在9 m之后井身位移數(shù)值解略大于解析解。這是因?yàn)閿?shù)值模擬是按照施工步驟進(jìn)行模擬的，考慮了土體的開挖卸荷，而理論公式是直接按照土壓力計(jì)算公式荷載土體對(duì)井壁的壓力(沒(méi)有去除自重的影響)，加之?dāng)?shù)值模擬采用有限差分計(jì)算，計(jì)算結(jié)果的取值存在截?cái)嗾`差。總體而言，豎井圓柱殼模型計(jì)算結(jié)果較為可靠，可用于豎井受力快速分析。

4 計(jì)算分析

4.1 堆載距離分析

將地表堆載作用換算為長(zhǎng)寬為20 m×20 m的荷載區(qū)域，荷載幅值為20 kPa，分別計(jì)算堆載與豎井襯砌距離dl＝5、10、15、20、25、30 m 作用下工況，探討開挖深度為20 m內(nèi)對(duì)豎井襯砌的水平位移和彎矩的影響。

通過(guò)圖 5 可知，dl為5、10、15、20、25、30 m 下對(duì)應(yīng)的豎井襯砌最大水平位移值分別為3.04、2.89、2.76、2.72、2.72、2.72 mm，兩值之間的遞減幅值為4.93%、4.49%、1.45%、0%與0%。

圖5 不同堆載距離下豎井水平位移曲線

由圖6可以看出井身的彎矩基本呈“S”型分布，在井口附近具有一定負(fù)向彎矩，這是因?yàn)榫谕翆泳哂幸欢ǖ恼尘哿?，在開挖卸荷后會(huì)給井身造成一定的反向張拉作用，因此該部位需要加強(qiáng)布置鋼筋，以確保結(jié)構(gòu)的安全性。

圖6 不同堆載距離下的豎井縱向彎矩曲線

4.2 堆載大小分析

為了探索豎井上方的地面堆載大小對(duì)開挖區(qū)位移的影響，選擇堆載距離為15 m，堆載大小為10、20、30、40、50、60 kPa 等 6 種工況展開數(shù)值計(jì)算，探討堆載大小對(duì)豎井襯砌水平位移和彎矩的影響。

由圖7可知，不同堆載大小下井身位移的分布較為相似，在井身下半部分位移受堆載大小的影響較大，隨堆載大小的增加井身最大位移幅值增加，并沿著土層深度方向發(fā)展。

圖7 不同堆載大小下豎井水平位移曲線

由圖8可知，不同荷載作用下豎井的彎矩曲線仍呈“S”型分布，且隨荷載幅值的增加井身彎矩隨之而增加，在堆載為60 kPa時(shí)井身彎矩最大，為7.84×103kN˙m。因此，在井口堆載較大時(shí)需要提高井身抗彎鋼筋的設(shè)置。

圖8 不同堆載作用下的豎井井身彎矩曲線

5 結(jié)論

(1)通過(guò)里茲法建立的豎井圓柱殼理論模型求解出豎井在開挖完成后的井身水平位移值，并與有限差分?jǐn)?shù)值模型解進(jìn)行對(duì)比，兩種方法得到的計(jì)算結(jié)果基本吻合。

(2)隨著地面堆載與豎井距離值增加，井身水平位移逐漸增加，堆載與豎井距離為10 m時(shí)其井身彎矩達(dá)到最大，且當(dāng)堆載距離大于20 m時(shí)，井身靜力反應(yīng)變化不再明顯。

(3)隨地面堆載值增加，井身彎矩呈線性增加，當(dāng)堆載為60 kPa時(shí)，井身彎矩達(dá)到最大。

(4)本文只考慮了堆載作用對(duì)豎井井身變形受力的影響，后續(xù)還可進(jìn)一步考慮井后水壓、井內(nèi)支撐及設(shè)備對(duì)井身受力的影響。