齒面干涉測量系統(tǒng)的成像畸變分析與光路優(yōu)化

王兆輝 楊鵬程 徐 晉 梁蒲佳 朱新棟

1.西安工程大學(xué)機電工程學(xué)院，西安，7100482.西安交通大學(xué)制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安，710049

0 引言

齒面微米級形狀偏差直接影響接觸面應(yīng)力[1]、傳動平穩(wěn)度[2]、機械設(shè)備的振動特性[3]等多個指標(biāo)，不僅決定設(shè)備整體性能的優(yōu)劣，而且關(guān)乎使用壽命的長短。激光干涉法具有測量效率高、精度高、無損傷且信息量大等優(yōu)點，已經(jīng)成為三維表面形狀測量的一個發(fā)展方向[4]。在改進(jìn)的Mach-Zehnder激光干涉儀上，國內(nèi)外學(xué)者先后采用激光斜入射的方法來測量齒輪齒面的形狀誤差：拍攝一組被測齒面的移項干涉條紋圖像，進(jìn)行一系列處理，包括齒面域分割、相位解包裹和配準(zhǔn)等，最終得到齒輪齒面微米級精度的形狀誤差。SASAKI等[5]就齒輪齒面形狀誤差測量技術(shù)，提出了利用激光移相的測量方法，并設(shè)計了相關(guān)的實驗裝置[6]。CHEN等[7]研制了使用兩個相對激光三角測量傳感器進(jìn)行齒輪相關(guān)測量的設(shè)備，以及通過幾何誤差補償來重建輪廓的關(guān)鍵幾何模型。ZHU等[8]在現(xiàn)有激光干涉物體光路的基礎(chǔ)上提出了虛擬基準(zhǔn)面的構(gòu)建方法，進(jìn)一步提高了干涉測量系統(tǒng)的準(zhǔn)確性和實用性。

近年來，學(xué)者們在提高干涉圖像質(zhì)量方面開展了大量研究工作。高瑩瑩等[9]研究了Fourier-Mellin算法的特性，構(gòu)造了一種基于歸一化相關(guān)系數(shù)的亞像素配準(zhǔn)方法，有效地減小了原始實測干涉圖像對圖像處理過程的影響，使得配準(zhǔn)精度大大提高。FANG等[10]在干涉測量光路中插入特定參數(shù)的透鏡調(diào)制條紋寬度，有效改善了干涉圖像質(zhì)量。TAHARA等[11]提出了利用等步距的移相方法，來抵消移相過程產(chǎn)生的步距系統(tǒng)誤差。YANG等[12]提出了齒面干涉圖像的拼接方法，實現(xiàn)了干涉圖像模糊區(qū)域的自動剔除和清晰區(qū)域的自動拼接。WRIGHT[13]提出了一種干涉圖像之間的仿射變換方法來進(jìn)行圖像的配準(zhǔn)。針對成像鏡頭畸變引起的干涉圖像失真問題，YANG等[14]提出了一種鏡頭成像畸變的標(biāo)定方法，矯正了干涉成像的鏡頭幾何畸變。雖然上述研究有效地提高了干涉條紋圖像的處理質(zhì)量和精度，但對物體光路中各元件位置誤差導(dǎo)致的干涉圖像外形輪廓畸變的相關(guān)研究尚顯不足。

在理想物體光路中，被測齒面成像在齒高方向上沿不同角度發(fā)散，沿主光軸方向均勻壓縮，但是在實際測量中，由于物體光路中非成像透鏡存在位置誤差，齒面成像常常出現(xiàn)齒頂、齒根部分壓縮程度不一致，且伴隨一定旋轉(zhuǎn)的現(xiàn)象，稱為齒面成像的形狀畸變。這些形狀畸變不僅大大增加了測量系統(tǒng)中物體光路和參考光路共光路的難度，導(dǎo)致采集到的干涉圖像條紋對比度大大降低，而且由于各齒面區(qū)域壓縮程度不同，更容易造成條紋黏連、局部離焦等圖像瑕疵，導(dǎo)致后續(xù)相位解包裹、齒面配準(zhǔn)等圖像處理步驟的錯誤。因此，采集到齒面成像形狀標(biāo)準(zhǔn)的干涉圖像對保證測量結(jié)果精度具有重要意義。但截至目前，尚未找到能夠準(zhǔn)確描述形狀畸變與光路誤差間的映射關(guān)系的方法，也缺乏基于齒面成像形狀畸變進(jìn)行物體光路矯正的方法。

本文對影響齒面像形狀畸變的原因進(jìn)行分析，對齒面像形狀畸變進(jìn)行矯正，力圖拍攝規(guī)則且清晰的齒面干涉條紋圖，進(jìn)而保證后續(xù)一系列齒面像處理的準(zhǔn)確性，提高測量精度。

1 齒面像數(shù)學(xué)模型的建立及影響因素分析

本研究用的激光干涉測量系統(tǒng)的原理圖見圖1[15]。氦氖激光器(波長632.8 nm)發(fā)出的光經(jīng)準(zhǔn)直擴束器后變成光強均勻的線偏振光，到達(dá)第一個偏振分光棱鏡后被分為互相垂直的兩個分量：平行于入射面振動的分量成為P光，作為參考光路(有時也叫參照光路)；垂直于入射面振動的分量稱為S光，作為物體光路(有時也叫測量光路)。S光經(jīng)過半波片和準(zhǔn)直擴束器后在前光楔處發(fā)生偏轉(zhuǎn)，然后以大角度斜入射的方式照射被測齒面，經(jīng)過齒面反射后通過后光楔回到原來的方向。P光沿原來的方向首先經(jīng)過第二個偏振分光棱鏡，然后通過1/4波片，到達(dá)與壓電陶瓷(PZT)固連的反射鏡后發(fā)生反射，然后又一次經(jīng)過1/4波片變?yōu)镾偏振光。P光和S光在半反半透鏡上會合，然后一同通過成像透鏡，并在CCD相機的感光面上產(chǎn)生干涉條紋圖像。在激光器后插入半波片，通過旋轉(zhuǎn)半波片可以調(diào)整偏振光的偏振方向與偏振分光棱鏡光軸之間的夾角，從而調(diào)節(jié)P光分量和S光分量的光強，也就是通過調(diào)節(jié)參考光路和物體光路間的光強比來保證干涉條紋有好的對比度。

圖1 光學(xué)測量系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of optical measurement system

齒面像是指整個測量系統(tǒng)中只有物體光成像在CCD上時拍攝到的圖像，其外形輪廓與干涉條紋圖像完全一致，且干涉條紋圖像出現(xiàn)的條件比較苛刻，因此本文替代干涉圖像作為光路調(diào)節(jié)依據(jù)。

當(dāng)斜齒輪軸線水平時，根據(jù)文獻(xiàn)[16]建立的數(shù)學(xué)模型，斜齒輪上任意一個網(wǎng)格點的空間坐標(biāo)(x，y，z)和法線坐標(biāo)(nx，ny，nz)如下：

(1)

(2)

其中，rb為基圓半徑；α為漸開線壓力角；side代表齒面方向(右齒面取1，左齒取-1)；hel代表齒輪螺旋方向(右螺旋齒取1，左螺旋齒取-1)；γ為齒輪漸開線三維坐標(biāo)系與齒輪測量坐標(biāo)系之間的角度，由被測齒輪的參數(shù)決定；φ為螺旋展角；w為齒厚；βb為基圓上的螺旋角。

對測量系統(tǒng)進(jìn)行實測干涉條紋的拍攝時，光學(xué)系統(tǒng)的制造以及安裝誤差難以完全避免，進(jìn)而導(dǎo)致形狀畸變。整個系統(tǒng)元件眾多，導(dǎo)致齒面像畸變因素也很多，本文主要考慮以下三種因素：①激光器沒有打在斜齒輪基圓半徑所在齒面位置；②偏振分光棱鏡發(fā)生傾斜而造成的測量光入射角的變化；③齒輪的安裝誤差導(dǎo)致齒輪軸線發(fā)生傾斜。下面對三種可能導(dǎo)致齒面像形狀畸變的原因進(jìn)行分析。

1.1 激光器高度誤差的建模分析

當(dāng)拍攝實測干涉條紋圖像時，應(yīng)使激光器輸出光線的高度等于齒面直線WW′(圖2)的高度，即實驗齒輪的基圓半徑與齒輪軸線的高度(高度是指相對于光學(xué)實驗平臺的高度)之和，因為這樣拍攝的時候，物體光路與參考光路之間的相對光程差最小[15]。圖2中，用Lm(i，j)表示物體光路的光程差，在圖2中為假想平面A-A到CCD成像面上的像點的光程差；用Lr(i，j)表示參考光路的光程差，在圖2中為假想平面B-B到CCD成像面上的像點的光程差。其中，i是行號數(shù)，j是列號數(shù)。

圖2 齒輪測量系統(tǒng)的坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system for gear measuring system

當(dāng)激光器位置發(fā)生上下偏移時，所照射到的實驗齒面的位置就會發(fā)生變化，而且由于斜齒輪螺旋角的存在，當(dāng)照射齒輪的位置發(fā)生變化時，物體光路的光程差會發(fā)生變化，在參考光路光程差不變的情況下，物體光路與參考光路的相對光程差發(fā)生變化從而導(dǎo)致齒輪齒面干涉條紋光路位置發(fā)生改變，但是并不會影響齒面像的畸變，因此激光器的高度不是造成齒面像畸變的原因。

1.2 偏振分光棱鏡誤差的影響

進(jìn)行實測干涉條紋的拍攝時，偏振分光棱鏡1的作用是對激光器出射的光進(jìn)行分解，使之分解為P光和S光，如圖1所示。被測斜齒輪在齒輪夾持裝置(分度盤和頂針)的作用下在兩個光楔對之間固定。齒面入射角是一個至關(guān)重要的參數(shù)，此處的入射角是指測量光在直線WW′上的入射角，在圖2中用ε表示。齒面入射角不合適會導(dǎo)致被照射到的齒面面積減小或者測量分辨率降低。當(dāng)入射角較小時(圖3a)，測量光在入射齒面之前會被相鄰齒遮擋住部分光線，造成被測齒面出射側(cè)不能被照射到；同時，被測齒面入射側(cè)反射的測量光也會被相鄰齒遮擋，而無法從齒槽空間穿過，造成被測齒面出射側(cè)也不能被測量。較大的入射角(圖3b)雖然可以解決測量光線被遮擋的問題，但是會造成齒面齒厚方向上嚴(yán)重的壓縮而導(dǎo)致分辨率的降低[16]。上述情況僅僅考慮了入射角過大或者過小所造成的影響，并沒有考慮入射角偏斜而帶來的影響。

(a)入射角過小

(b)入射角過大圖3 入射角過小與過大Fig.3 The incidence angle is too small and too large

偏振分光棱鏡的原理和坐標(biāo)軸如圖4所示，通過在直角棱鏡的斜面鍍多層膜結(jié)構(gòu)，然后膠合成一個立方體結(jié)構(gòu)。當(dāng)偏振分光棱鏡水平放置時，入射光正常照射到被測齒面，偏振分光棱鏡繞X軸發(fā)生微轉(zhuǎn)傾斜，會導(dǎo)致經(jīng)過偏振分光棱鏡的S光和P光發(fā)生一定的偏斜，此時照射齒面的入射角會發(fā)生上偏或者下偏的情況。若繞圖4坐標(biāo)系X軸順時針轉(zhuǎn)動時，照射到齒面的入射光會發(fā)生上偏，當(dāng)逆時針轉(zhuǎn)動時，入射光會發(fā)生下偏，如圖5所示。

圖4 偏振分光棱鏡原理圖Fig.4 Schematic diagram of polarization splitting prism

圖5 入射光傾斜示意圖Fig.5 Diagram of incident light tilt

即使入射角發(fā)生下偏或者上偏的情況，但是由于齒輪空間位置不變，所以齒面各離散網(wǎng)格點的空間坐標(biāo)也不會發(fā)生變化，而且由光的矢量疊加原理可知，發(fā)生偏斜的光也可以分解為相互正交的兩條光，其中一束為正常光線的方向，另一束與其垂直，因此光線經(jīng)過齒面發(fā)生反射后的方向不會發(fā)生變化，所以在CCD相機上所成的齒面像不會發(fā)生畸變。

1.3 齒輪安裝軸線傾斜誤差的影響

對斜齒輪進(jìn)行實測干涉條紋的拍攝時，由于斜齒輪的制造及安裝誤差會導(dǎo)致斜齒輪軸線出現(xiàn)一定程度的傾斜(斜齒輪軸線與實驗桌面有一定的夾角)，此時，斜齒輪齒面空間網(wǎng)格點位置坐標(biāo)會發(fā)生變化，在入射光方向不變的情況下，經(jīng)過斜齒輪齒面的反射光方向和法線方向都會發(fā)生變化，然后反射經(jīng)過半反半透鏡和成像透鏡后傳入CCD相機，導(dǎo)致斜齒輪齒面像發(fā)生畸變，本文主要針對這種情況進(jìn)行建模分析并矯正。圖6a和圖6b分別為斜齒輪正常放置和軸線傾斜示意圖。定義軸線繞X軸順時針轉(zhuǎn)動角度為+θ，反之為-θ。

(a)齒輪安裝軸線水平

(b)齒輪安裝軸線傾斜圖6 斜齒輪軸線水平和傾斜示意圖Fig.6 Schematic diagram of helical gear axis horizontal and inclined

2 齒面像形狀畸變數(shù)學(xué)模型的建立及矯正

2.1 齒面像形狀畸變數(shù)學(xué)模型的建立

當(dāng)齒輪軸線發(fā)生傾斜時，也就是齒輪在圖2所示的齒輪測量系統(tǒng)的坐標(biāo)系中繞X軸旋轉(zhuǎn)了一定的角度θ時，旋轉(zhuǎn)后被測齒面在物體光路中任意一網(wǎng)格點的空間坐標(biāo)和法線坐標(biāo)可表示為

(3)

(4)

若齒輪繞X軸旋轉(zhuǎn)角度為θ，假設(shè)入射光線方向不變，斜齒輪旋轉(zhuǎn)后的空間網(wǎng)格點坐標(biāo)會發(fā)生改變，導(dǎo)致旋轉(zhuǎn)后的斜齒輪網(wǎng)格點的法線方向和反射方向發(fā)生變化。齒輪繞X軸旋轉(zhuǎn)θ角后在坐標(biāo)系OXYZ中的齒面方程和法線方程可表示為

(5)

(6)

正是由于上式中旋轉(zhuǎn)傾角θ的存在，激光打到繞X軸旋轉(zhuǎn)后的齒面上，根據(jù)光路光線追跡理論，最后在CCD相機里得到畸變的齒面像。

2.2 矯正分析

不論齒輪軸線繞X軸順時針轉(zhuǎn)動還是逆時針轉(zhuǎn)動，對應(yīng)的都是齒輪安裝軸線的旋轉(zhuǎn)角度與CCD相機中齒面像的畸變角度之間的關(guān)系，所以只針對齒輪軸線繞順時針偏轉(zhuǎn)時按圖6b的情況進(jìn)行矯正。

齒輪安裝軸線水平時，根據(jù)光學(xué)系統(tǒng)原理圖，物體光路的追跡流程如圖7所示，揭示了物體光路中光線追跡到任何一個光學(xué)元件時齒面像的形狀的變化關(guān)系。

當(dāng)齒輪軸線順時針偏轉(zhuǎn)一個角度即光線入射端升高時，光線出射端降低，再加上在實際測量時物體光路中存在非成像透鏡的其他元件位置誤差，齒面成像常常出現(xiàn)齒頂、齒根部分壓縮程度不一致，實際齒面位置和CCD相機所成的齒面像形狀如圖8所示。

圖7 光線追跡流程圖齒面形狀變化Fig.7 Ray tracing flow chart tooth surface shape change

(a)順時針偏轉(zhuǎn)時實際齒面形狀 (b)CCD成像齒面形狀圖8 齒輪軸線順時針偏轉(zhuǎn)時實際齒面與CCD 成像齒面形狀Fig.8 The actual tooth surface and the shape of the tooth surface imaged by CCD with the gear axis clockwise retation

由以上分析可得，齒輪安裝軸線的傾斜角度和斜齒輪在CCD成像齒面的旋轉(zhuǎn)角度是正相關(guān)的，之所以會造成齒面像畸變，就是因為齒輪安裝軸線的傾斜，其余光學(xué)元件位置的變化只會影響到齒面像在CCD上所成的位置和大小。

2.3 矯正方法

因為齒輪安裝軸線的傾斜角度和CCD成像齒面的旋轉(zhuǎn)角度是正相關(guān)關(guān)系，所以可以直接通過觀察并檢測經(jīng)過成像透鏡后在CCD上顯示的畸變齒面像的誤差去矯正齒輪安裝軸線誤差。本研究采用的矯正方法流程如圖9所示。具體步驟如下：

圖9 矯正方法流程圖Fig.9 Flow chart of correction method

(1)通過搜索計算法找到齒根出射端部位的最后一個像素點。

(2)從齒根部位逐點向齒頂部位進(jìn)行搜索，搜索到下一個像素點時，判斷這兩個像素點之間是否為水平狀態(tài)。

(3)若兩個像素點之間是水平狀態(tài)，繼續(xù)搜索下一個像素點，再次判斷是否為水平狀態(tài)。

(4)若兩個像素點之間不是水平狀態(tài)，旋轉(zhuǎn)一個步進(jìn)角，然后判斷是否為水平狀態(tài)。若不是水平狀態(tài)，則繼續(xù)步進(jìn)一個步進(jìn)角度直至兩個像素點之間達(dá)到水平狀態(tài)。

(5)當(dāng)追跡到齒頂部位第一個像素點時，停止搜索，此時在CCD相機上成的像中整個出射端面均為水平狀態(tài)，得到最終的旋轉(zhuǎn)角度，進(jìn)而矯正齒面像畸變這一情況。

本文采用步進(jìn)算法的原理對斜齒輪齒面像畸變這一現(xiàn)象進(jìn)行矯正，原則上應(yīng)當(dāng)采用較小的步進(jìn)角度得到最精確的角度值，但若選用較小的步進(jìn)值則會造成數(shù)據(jù)過多而變得繁瑣，若選用較大角度的步進(jìn)值，仿真數(shù)據(jù)較少，不能很好地反映齒輪安裝軸線傾斜角度和CCD成像齒面的旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系，也有很大的概率忽略掉最佳值，因此本文取步進(jìn)值為0.3。

3 實驗和討論

本文中用于測量實驗的精密漸開線圓柱斜齒輪的主要參數(shù)見表1。

3.1 仿真實驗

首先用仿真程序驗證了實測齒面像的畸變是由于齒輪軸線的傾斜引起的。在仿真程序里，對斜齒輪進(jìn)行繞X軸旋轉(zhuǎn)，圖10a是斜齒輪繞X軸旋轉(zhuǎn)3°后齒輪軸線傾斜的實測齒面像；圖10b是旋轉(zhuǎn)前齒輪軸線水平時的實測齒面像。其中，紅色部分是可見區(qū)域，藍(lán)色部分是齒根部分的測量光線被遮擋區(qū)域。

表1 用于測量實驗的漸開線圓柱斜齒輪的主要參數(shù)Tab.1 the main parameters of the involute cylindrical helical gear are measured

(a)矯正前齒面像畸變仿真圖

(b)矯正后齒面像仿真圖

圖10 矯正前后齒面像仿真圖Fig.10 Simulation of tooth profile before and after correction

3.2 實驗

在光學(xué)實驗平臺上搭建光學(xué)成像系統(tǒng)，對仿真效果進(jìn)行實驗驗證。圖11所示為實驗中的光學(xué)成像系統(tǒng)。

圖11 實驗中的光學(xué)成像系統(tǒng)Fig.11 Experimental optical imaging system

在搭建的光學(xué)實驗平臺上對仿真結(jié)果進(jìn)行實驗分析。圖12a所示為矯正前齒面像畸變實測圖，齒面像在水平方向上有一定的畸變，光線入射端升高，光線出射端降低，從實驗方面證明了之前矯正方法部分論述是正確的；圖12b為矯正前加入了參考光路的齒面像畸變干涉圖，可以看到由于齒面像畸變這一根本原因，幾乎沒有干涉條紋的出現(xiàn)，這對后續(xù)的相位解包裹造成了直接影響，從而進(jìn)一步影響到最終的測量精度；圖12c是齒面像畸變角度為1.2°時的齒面像實測圖，齒面像在水平方向上略有傾斜；圖12d是在圖12c上加入了參照考光路后的干涉圖，可以隱約看到干涉條紋，效果不是非常明顯，因此允許的畸變角度上限設(shè)定為1.2°；圖12e是齒面像畸變角度為0.2°時的齒面像實測圖，齒面像在水平方向上已經(jīng)是水平狀態(tài)；圖12f是在圖12e上加入了參考光路后的干涉圖，可以看到干涉效果更好，條紋對比度升高，出現(xiàn)了明顯的干涉條紋。

(a)矯正前齒面像畸變實測圖

(b)矯正前齒面像畸變干涉圖

(c)矯正后齒面像實測圖1

(d)矯正后齒面像干涉圖1

(e)矯正后齒面像實測圖2

(f)矯正后齒面像干涉圖2圖12 矯正前和矯正后的齒面像實測圖和干涉圖Fig.12 The tooth profile before and after correction is measured and interferogram

圖12a中，在齒面出射端找到特征點A、B兩點，通過之前提出的矯正方法計算得到的矯正數(shù)據(jù)見表2，由表2可知實際畸變角度和計算畸變角度基本一致，誤差約為2%，在可接受范圍內(nèi)，證明本文提出的矯正方法合理可行。

4 結(jié)論

針對激光干涉測量斜齒輪齒面實驗過程中出現(xiàn)的齒面像畸變這一問題，本文利用仿真追跡算法從三個方面分別進(jìn)行論證，確定了齒輪軸線傾斜是導(dǎo)致齒面像畸變的主要原因，建立了模型，確定了齒輪軸線傾斜度數(shù)和齒面像形狀畸變之間的映射關(guān)系，提出了光路優(yōu)化方法，最后用仿真和實驗分別進(jìn)行驗證，計算得到誤差約2%，證明所提方法不僅提高了條紋對比度進(jìn)而降低了后續(xù)的相位解包裹難度，而且使齒面像形狀更加接近仿真圖像，從而提高了齒面配準(zhǔn)的精度，有利于最終測量結(jié)果精度的提升。