逆壓電條件下壓電懸臂梁可靠性計(jì)算

方永鋒，程正偉，張衛(wèi)華

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，貴州畢節(jié) 551700)

0 引言

壓電智能結(jié)構(gòu)由于其自身特有的正壓電與逆壓電效應(yīng)，在航空航天、汽車、建筑等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，關(guān)于壓電材料的正壓電效應(yīng)研究成果比較多[1-3]。文獻(xiàn)[4-6]研究了正壓電效應(yīng)下的壓電結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，給出了不同場(chǎng)合、不同工況下的壓電結(jié)構(gòu)的應(yīng)用原理與方法。相對(duì)來(lái)說(shuō)，關(guān)于逆壓電條件下的結(jié)構(gòu)分析研究起步較晚，成果較少，文獻(xiàn)[7]研究了空間桁架結(jié)構(gòu)自適應(yīng)控制，發(fā)現(xiàn)壓電結(jié)構(gòu)在逆壓電條件下，可以使空間桁架結(jié)構(gòu)達(dá)到自我控制、自我適應(yīng)的效果。文獻(xiàn)[8]研究了壓電驅(qū)動(dòng)裝的輸入域輸出,為月面巡視器提供了技術(shù)基礎(chǔ)。關(guān)于逆壓電條件下的結(jié)構(gòu)可靠性研究的成果較少，文獻(xiàn)[9-10]研究了結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)的可靠性，給出了大數(shù)據(jù)條件下與區(qū)間條件下的結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)可靠性的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[11-12]研究了壓電桁架結(jié)構(gòu)在電載荷和機(jī)械載荷聯(lián)合作用下的可靠性分析，給出了壓電桁架結(jié)構(gòu)的失效路徑，表明在逆壓電狀態(tài)下，可以明顯的提高結(jié)構(gòu)的可靠度。文獻(xiàn)[13]研究了壓電陶瓷執(zhí)行器的力學(xué)行為，給出了其力學(xué)行為的計(jì)算模型，說(shuō)明研究壓電陶瓷的力學(xué)可靠度對(duì)于工程實(shí)踐很有意義。

本文通過(guò)對(duì)逆壓電條件下的壓電懸臂梁的力學(xué)可靠性與電學(xué)可靠性進(jìn)行研究，給出壓電懸臂梁在逆壓電狀態(tài)下的可靠度的計(jì)算方法。在此基礎(chǔ)上，對(duì)計(jì)算模型做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，用一個(gè)工程算例說(shuō)明本文方法的優(yōu)點(diǎn)。

1 逆壓電條件下壓電懸臂梁抗力與電場(chǎng)強(qiáng)度分析

根據(jù)壓電懸臂梁服役條件、服役環(huán)境等條件與相關(guān)文獻(xiàn)[1-3]，本文采用壓電材料第二邊界條件的壓電本構(gòu)方程，即機(jī)械加持，電路短路邊界條件的壓電本構(gòu)方程為：

σ=cEε-eEE

(1)

D=eε+ΞE

(2)

式中：σ為應(yīng)力向量；cE為短路彈性剛度系數(shù)矩陣；eE為短路壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；ε為應(yīng)變向量；e為壓電應(yīng)力常數(shù)矩陣；E為電場(chǎng)強(qiáng)度向量；D為電位移向量；Ξ為極化后的夾持介電常數(shù)矩陣。

一般來(lái)說(shuō)，壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)為中間是矩形鐵芯，上下兩層從內(nèi)到外依次粘上PZT，采用電學(xué)串聯(lián)與力學(xué)疊加的方式，如圖1所示。

圖1 壓電懸臂梁

對(duì)于雙面粘有壓電材料的壓電懸臂梁，考慮其沿軸向伸長(zhǎng)與縮短，則由式(1)、式(2)可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Nu、Nd分別為壓電懸臂梁上、下壓電層產(chǎn)生的抗力；c11為cE在軸向的彈性模量；Au為壓電懸臂梁上壓電薄片壓電層的截面積；Lu為壓電懸臂梁上壓電層的長(zhǎng)度；Δuu為懸臂梁上壓電層的軸向變形量；e33為e的垂直于軸向的壓電應(yīng)力常數(shù)；hu為懸臂梁上壓電薄片的厚度；ΔEu為懸臂梁上壓電薄片的電勢(shì)差；Ad為壓電懸臂梁下壓電層的截面積；Ld為壓電懸臂梁下壓電層的長(zhǎng)度；Δud為壓電懸臂梁下壓電層的軸向變形量；hd為懸臂梁下壓電薄片的厚度；ΔEd為懸臂梁下壓電薄片的電勢(shì)差；Qu、Qd分別為壓電懸臂梁上、下壓電層的電荷量；nu為壓電懸臂梁上壓電薄片層數(shù)；Ξ33為Ξ的垂直于軸向的壓電夾持常數(shù)；nd為壓電懸臂梁下壓電薄片層數(shù)。

2 逆壓電條件下壓電懸臂梁可靠度計(jì)算

逆壓電懸臂梁對(duì)于普通懸臂梁來(lái)說(shuō)，具有智能化的微調(diào)作用，當(dāng)懸臂梁的撓度超過(guò)一定范圍時(shí)，壓電層就會(huì)收到反饋，利用逆壓電效應(yīng)對(duì)懸臂梁的進(jìn)行修正，使得懸臂梁在規(guī)定的撓度范圍內(nèi)服役。

設(shè)壓電懸臂梁允許超過(guò)的向下最大撓度為wl，其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)角為θl，則壓電懸臂梁上層壓電層縮短位移為

(7)

壓電懸臂梁下層壓電層伸長(zhǎng)位移為

(8)

式(7)和式(8)代入式(3)～式(6)分別計(jì)算得到在不同ΔEu和ΔEd下的壓電懸臂梁的力學(xué)輸出與電學(xué)輸出。

壓電懸臂梁中間鐵芯在外界載荷下，允許的向下最大撓度為wl，其產(chǎn)生的抗力為

(9)

式中：L為懸臂梁鐵芯的長(zhǎng)度；E為鐵芯的彈性模量；I為鐵芯的慣性矩。

由式(3)～式(6)和式(9)可得到逆壓電條件下壓電懸臂梁的極限狀態(tài)方程：

(10)

(11)

式(10)、式(11)計(jì)算所得可靠度為P(f)和P(J)，由于壓電懸臂梁既要考慮力學(xué)可靠又要考慮電學(xué)可靠，因此逆壓電條件下的壓電懸臂梁可認(rèn)為由兩者組成的串聯(lián)系統(tǒng)。因此逆壓電條件下壓電懸臂梁的最終可靠度為

P=P(f)·P(J)

(12)

式(10)和式(11)是隱式方程，為方便計(jì)算，用一次二階矩法進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化運(yùn)算。

3 逆壓電條件下壓電懸臂梁可靠度計(jì)算的簡(jiǎn)化

式(3)～式(9)中參數(shù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

表1 式(3)～式(8)中參數(shù)的均值與方差

續(xù)表

假設(shè)表1中的所有參數(shù)都是無(wú)關(guān)的，則由式(3)～式(6)可得各式的均值與方差計(jì)算公式如下：

(13)

式中：

μu1=μc11μAuμΔuu
μu2=μe31μAuμΔEu

(14)

(15)

(16)

式中：

μd1=μc11μAdμΔμd
μd2=μe31μAdμΔEd

(17)

(18)

式中：

μu11=μe31μAuμΔuu
μu22=μΞ33μAuμΔEu

(19)

(20)

式中：

μd11=μe31μAdμΔud
μd22=μΞ33μAdμΔEd

由式(9)可得Δuu的均值與方差：

(21)

(22)

式中：

由式(8)可得Δud的均值與方差：

(23)

(24)

式中：

由式(9)可得F的均值和方差：

(25)

(26)

式中：

μElw=3μEμlμwl

由式(10)和式(11)得到逆壓電條件下壓電懸臂梁的力學(xué)可靠度計(jì)算公式：

(27)

式中：

(28)

式中：μQJ、σQJ分別為QJ的均值與標(biāo)準(zhǔn)差；μQM=max{μQu，μQd}；σQM=max{σQu，σQd}。

P(f)=P-1(βf)

(29)

P(J)=P-1(βJ)

(30)

由式(27)、式(28)及式(14)也可得逆壓電條件下壓電懸臂梁的可靠度。

4 算例

壓電懸臂梁參數(shù)都服從正態(tài)分布，其均值如表2所示，變異系數(shù)為0.005[8]。

表2 壓電懸臂梁參數(shù)及其均值

在不同電壓下，由式(27)、式(28)計(jì)算所得可靠性指標(biāo)與可靠度如表3所示。

表3 不同電壓下的壓電懸臂梁的力學(xué)與電學(xué)可靠度指標(biāo)

由式(10)、式(11)，用蒙特卡洛方法(MC)分別計(jì)算106次，所得可靠度如表4所示。

表4 MC計(jì)算不同電壓下的壓電懸臂梁的力學(xué)與電學(xué)可靠度

壓電懸臂梁最終可靠度如表5所示。

表5 不同電壓下的壓電懸臂梁的可靠度

由表3可以看出，在未加電壓的情況下，壓電懸臂梁的初始設(shè)計(jì)的力學(xué)可靠度要比加電壓之后的可靠度要低，而加電壓之后，壓電懸臂梁的可靠度要明顯的提高不少，這也是設(shè)計(jì)智能壓電懸臂梁的目的。對(duì)于電學(xué)可靠度來(lái)說(shuō)，未加電壓的可靠度表中顯示是一樣的，這是由于數(shù)據(jù)精度的原因，但實(shí)際上在仿真時(shí)，未加電壓的可靠度要比加載電壓的可靠度高，這是因?yàn)閼冶哿旱膲弘妼釉诳蛰d狀態(tài)下，加載電壓后，懸臂梁的電學(xué)可靠度在使用狀態(tài)下降低。從表4可以看出，本文處理方法與極限狀態(tài)法結(jié)果一致，說(shuō)明一次二階矩法是可行的。表5根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)原理，取得最后的可靠度，顯示加載電壓后的可靠度比未加載電壓的可靠度高。

5 結(jié)論

文中給出了逆壓電條件下壓電懸臂梁的力學(xué)輸出與電學(xué)輸出數(shù)學(xué)模型；由逆壓電條件下壓電懸臂梁力學(xué)可靠性和電學(xué)可靠性計(jì)算的極限狀態(tài)方程，按照串聯(lián)系統(tǒng)可靠性計(jì)算方法，給出了逆壓電懸臂梁的可靠度計(jì)算公式；利用一次二階矩法，給出了逆壓電狀態(tài)下壓電懸臂梁的的可靠度簡(jiǎn)便計(jì)算模型，2個(gè)算例說(shuō)明，該模型簡(jiǎn)便易行，具有實(shí)用性和可行性。