一類四 估計

靳曼莉

(北華大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文討論如下四階拋物型方程初邊值問題弱解爆破時間的上界：

(1)

四階拋物型偏微分方程在材料科學、工程學、生物數(shù)學、圖像分析中有著諸多的應用，許多作者對四階拋物型偏微分方程解的存在唯一性、正則性、爆破性等進行了深入研究[1-6].文獻[5]深入討論了如下問題：

(2)

文獻[6]研究帶有對數(shù)非線性項的一類偽拋物方程的初邊值問題

證明了該問題的弱解將在有限時間爆破.

文獻[7]利用位勢阱方法得到問題(1)全局弱解的存在唯一性以及弱解在有限時間爆破.本文將在文獻[7]的基礎上利用一種新方法得到問題(1)弱解的爆破時間的上界.

1 預備知識

為方便起見，本文中引入以下記號：

在[0，T]上幾乎處處成立.

引理2[8]設正的二階可微函數(shù)θ(t)滿足不等式

θ″(t)θ(t)-(1+β)θ′2(t)≥0，t>0，

2 主要結果

則u(x，t)在有限時間t*爆破，且

證明：問題(1)中第1個方程兩端乘u然后在Ω上積分有

即

(3)

下面我們分兩種情況討論.

(ⅰ)對任意t>0有J(u)≥0.

(4)

由Young不等式[9]有

(5)

將式(5)代入式(4)可得

故

(6)

把不等式(6)的右端記為M，則有

從而

(7)

令

則

取充分小的ε使得

(8)

取充分大的常數(shù)C使得

(9)

令

則

[φ′(t)]2=(4φ-δ)[y′(t)]2，

從而

4φ(t)[y′(t)]2=[φ′(t)]2+δ[y′(t)]2

.

(10)

即

(11)

由式(11)、Holder不等式以及Young不等式有

(12)

由式(10)知

(13)

利用式(13)、 (10)、 (7)、 (12)可得

設

由F′(λ)=0可得

注意到式(8)，我們有

從而

綜上

且u(x，t)在有限時間t*爆破.

(ⅱ)存在某個t0>0使得J(u(t0))<0.

令v=v(x，t)=u(x，t+t0).由于J(u)是不增的，所以

J(v(t))≤J(v(0))=J(u(t0))<0.

由式(3)得

(14)

從而

故

(15)

把式(15)代入式(14)得

(16)

從而ψ(t)-ψ(0)>-2qJ(v(0))t，即ψ(t)>ψ(0)-2qJ(v(0))t，于是對任意t>0有ψ(t)>0.

另一方面，由式(16)有

故

(17)

即

于是由式(17)知，存在