“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

劉懷權(quán)

【摘要】在初中數(shù)學(xué)解題中，學(xué)生們經(jīng)常會(huì)遇到復(fù)雜的問題，無法將問題準(zhǔn)確解答得出.“圓”作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要知識(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建適當(dāng)輔助圓使得數(shù)學(xué)問題簡單化，促使學(xué)生們能夠快速解決復(fù)雜的問題.本文將從“求線段長度問題”、“求三角形度數(shù)問題”、“求三角形相似性問題”三個(gè)方面談一談“構(gòu)造輔助圓”在初中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用，期望初中生們能夠在數(shù)學(xué)解題過程中巧妙構(gòu)建輔助圓進(jìn)行解題.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題;構(gòu)造輔助圓;圓

1 在求線段長度問題中構(gòu)建輔助圓

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師們還可以引導(dǎo)學(xué)生在求解線段長度的數(shù)學(xué)問題中運(yùn)用構(gòu)建輔助圓的方式對(duì)問題進(jìn)行簡化，其構(gòu)造輔助圓的方法主要是利用共同端點(diǎn)的幾條線段相等的條件，以端點(diǎn)為圓心、等線段的長作為半徑.最后，再利用圓形的性質(zhì)對(duì)線段長度的問題進(jìn)行求解.

例1 如圖1所示，已知四邊形ABCD中AB∥CD，AB=AC=AD=5，且BC= 19，求線段BD的長度.

解析 根據(jù)題意可知A點(diǎn)為公共點(diǎn)，教師們可以引導(dǎo)學(xué)生在本例題中將A點(diǎn)作為圓心，又因?yàn)锳B=AC=AD，所以可以將AB、AC、AD作為圓的半徑，使得B、C、D都在圓A上.然后再延長BA交圓與AE，連接ED.

已知AB∥CD，所以∠BDC≡∠DBE，

根據(jù)同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)應(yīng)的弧是相等的，

因此可以知道ED與BC的弧長是相等的，

從而得到ED=BC= 19.

又根據(jù)作圖可得：EB為圓A的直徑，所以可以知道∠EDB=90°，

又因?yàn)锽E=2AB=10，

所以可以得到BD= BE2-DE2

= 102- 192=9.

所以，通過解析過程可以明確線段BD的長度為9.

2 在求三角形度數(shù)問題中構(gòu)建輔助圓

除了求解線段長度的問題以外，在求解三角形度數(shù)的問題中也可以通過構(gòu)建輔助圓的方式進(jìn)行解題.

在這個(gè)問題的解答過程中，教師們需要引導(dǎo)學(xué)生將公共頂點(diǎn)作為頂點(diǎn)，然后作三角形的外接圓，在這個(gè)過程中需要使得等角與輔助圓中有關(guān)角之間建立聯(lián)系，從而有效對(duì)問題進(jìn)行解決.

例2 如圖2所示，已知△ABC中AB=AC，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D.已知BD+AD=BC，求∠A的度數(shù).

解析 由題目已知BD為∠ABC的角平分線，因此可以得到∠ABD=∠DBC=12∠ABC.

作ABD的外接圓，其中圓與BC相交于點(diǎn)E，連接DE.

因?yàn)楣潭ㄏ嗟鹊膱A周角所對(duì)應(yīng)的弧相等這一特性可以得到與所對(duì)應(yīng)的弧長AD=DE相等.

如圖所示，可以知道輔助圓為四邊形ABDE的外接圓，因此，可以明確∠ABC、∠EDC和∠C三個(gè)角度是相等的，從而得到2∠C=∠DEB.

又由題可知BD+AD=BC=BE+EC，

因?yàn)锳D=DE=EC，

所以可以得到BE=BD.

所以∠DEB=∠BDE=2∠C.

在△BDE中，∠DEB+∠BDE+∠DBE=180°.

所以可以得到4∠C+12∠C=180°，

因此，可以得到∠C=40°，

即∠ABC=∠C=40°.

在△ABC中，∠ABC+∠C+∠A=180°，

因此，可以得到∠A=100°.

所以，該例題中需要求解的∠A度數(shù)為100°.

3 在求三角形相似性問題中構(gòu)建輔助圓

三角形的相關(guān)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的占比是比較大的，是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).

對(duì)于一些較為復(fù)雜的三角形相似性的求證問題中，很難用常規(guī)的方法將其證明.

構(gòu)造輔助圓的方法可以使得學(xué)生們借助圓的相關(guān)特性提供一些證明條件，促使學(xué)生們能夠準(zhǔn)確對(duì)三角形的相似性問題進(jìn)行證明，這有利于提高學(xué)生解題的能力.

例3 如圖3所示，已知在△ABC中AB=AC=BC，且AD=AB=BC，同時(shí)AH⊥CD，PC⊥BC.交AH與點(diǎn)P.

求證△ABC的面積為 34AP·BD.

解析 如圖3所示，以△ABC中的點(diǎn)A為圓心、AB為半徑作圓，點(diǎn)B、C、D都在圓A上，因此可以得到∠BDC=12∠BAC，

因?yàn)椤鰽BC中AB=AC=BC，

所以∠BDC=12∠BAC=30°.

又因?yàn)椤螦CP=∠BCP-∠ACB=30°，

所以∠PCA=∠CDB.

因?yàn)椤螩BD=12∠CAD=∠PAC.

所以可以得到△BDC與△ACP為相似三角形，從而可以得到BC∶AP=BD∶AC.

又因?yàn)锽C=AC，

因此可以得到BC2=AP·BD，

所以△ABC的面積為 34AP·BD.

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師們應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生解題思路，“圓”作為數(shù)學(xué)知識(shí)中最為基本的平面圖形，在數(shù)學(xué)解題過程中具有重要意義.

構(gòu)建輔助圓的方式能夠很好地簡化復(fù)雜的問題，促使學(xué)生們能夠準(zhǔn)確抓住問題的核心，進(jìn)而有效提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率.