怎樣運(yùn)用二次根式的非負(fù)性解題

趙甜甜

我們把形如的式子叫做二次根式.由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以被開(kāi)方數(shù)a只能是非負(fù)數(shù)，即又因?yàn)楸硎痉秦?fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，也只能是非負(fù)數(shù)，即. 這里和是二次根式的兩個(gè)隱含條件，也是二次根式的重要性質(zhì).正確理解并靈活運(yùn)用二次根式的這兩個(gè)非負(fù)性是解答一些與二次根式相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵.

一、利用求解

由二次根式本身的非負(fù)性可得二次根式的非負(fù)性和絕對(duì)值、完全平方的非負(fù)性一樣，在解未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)的問(wèn)題中起著十分重要的作用，其依據(jù)是“若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0，則這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0”.

例1

分析：根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每個(gè)非負(fù)數(shù)均等于零，從而求出的值，即可解答所求問(wèn)題.

解：

二、利用中被開(kāi)方數(shù)a≥0求解

由于只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根和算術(shù)平方根，所以a≥0

是存在的必要前提.但在題目中，a≥0作為一個(gè)隱含條件是不會(huì)直接出現(xiàn)的，我們要充分利用這一隱含條件，結(jié)合題目的其他條件進(jìn)行分析，解答相關(guān)問(wèn)題.

例2

分析：根據(jù)被開(kāi)方數(shù)大于等于0列式求出a的取值范圍，然后去掉絕對(duì)值符號(hào)，再把兩邊平方后的式子整理即可得解.

解：

三、同時(shí)利用a≥0 和求解

式子表示非負(fù)數(shù)a的算術(shù)平方根，它是一個(gè)非負(fù)數(shù)，而a也是一個(gè)非負(fù)數(shù)，這種雙重非負(fù)性在數(shù)學(xué)解題中有著重要作用.挖掘出題目中隱含的這兩個(gè)非負(fù)性，并在解題過(guò)程中做到有機(jī)配合，可以避免用常規(guī)方法造0的復(fù)雜運(yùn)算或錯(cuò)解，從而收到事半功倍的效果.

例3

分析：根據(jù)二次根式有意義的條件求出的值，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程組，解方程組求出a、b、c的值;

解：

四、利用公式求解

二次根式的性質(zhì)是二次根式化簡(jiǎn)的依據(jù).當(dāng)a≥0 時(shí)，.因此，運(yùn)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，一定要結(jié)合具體問(wèn)題，先判斷出被開(kāi)方數(shù)a是什么數(shù)，然后再化簡(jiǎn).

例4

五、逆用公式解題

我們?cè)诨?jiǎn)某些二次根式時(shí)，有時(shí)需將根號(hào)外的式子移入根號(hào)內(nèi)，以使式子的化簡(jiǎn)更為順利.如果根號(hào)外的式子為非負(fù)值，可以將其平方后移入根號(hào)內(nèi)，根號(hào)前的符號(hào)不發(fā)生改變;如果根號(hào)外的式子為負(fù)值，那么要先將它變號(hào)，再平方后移入根號(hào)內(nèi).

例5

分析：

解：

通過(guò)上面的幾個(gè)例題我們知道，二次根式的非負(fù)性是我們尋找解題思路的突破口.因此，我們要充分挖掘二次根式問(wèn)題中隱含的非負(fù)性的條件，從而準(zhǔn)確又迅速地完成解題.