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    三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的探索

    2022-05-30 12:16:18林展祝
    文理導(dǎo)航 2022年23期
    關(guān)鍵詞:橫坐標(biāo)重合頂點(diǎn)

    林展祝

    【摘? 要】本文著重研究三角形面積與其頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系及其應(yīng)用,其關(guān)系為:S△ABC=|xy+xy+

    xy-xy-xy-xy|,其中x、x、x分別表示△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);y、y、y分別表示三個(gè)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。

    【關(guān)鍵詞】三角形頂點(diǎn)坐標(biāo);三角形面積;面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系探究;公式應(yīng)用

    在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,經(jīng)常遇到三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的問(wèn)題,這類(lèi)問(wèn)題種類(lèi)多,解法復(fù)雜多樣,給學(xué)生帶來(lái)了很多的困難,學(xué)生甚至無(wú)從下手。由此引發(fā)了筆者對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的興趣,通過(guò)不斷的探索,得到如下的結(jié)論:在△ABC中,三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(x,y),

    B(x,y),C(x,y),△ABC的面積記為S△ABC,則有

    S△ABC=|xy+xy+xy-xy-xy-xy|。

    一、公式的探索

    (一)存在兩個(gè)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不相同的情況

    不妨設(shè)x≠x,且直線(xiàn)AB的解析式為:y=kx+b(k≠0,k、b為常數(shù)),則

    kx

    +b=y

    kx

    +b=y解得:

    k=

    b=

    所以直線(xiàn)AB的解析式為:y=x+。

    過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸,交直線(xiàn)AB于點(diǎn)D(圖1),則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x,把x=x代入y=x+

    中,求得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為:,則D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,)。

    CD=|y-yD|=||

    ①當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上(不與A、B重合),不妨設(shè)A點(diǎn)在CD左側(cè),B點(diǎn)在CD的右側(cè),如圖2所示,則

    S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·(xD-xA)+CD·(xB-xD)

    =CD·(xD-xA+xB-xD)=CD·(xB-xA)

    =|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

    ②點(diǎn)D與A(或B)重合(不妨設(shè)D與A重合),如圖3所示,則AC=|y-y|。

    S△ABC=AC·|x-x|=|y-y|·|x-x|=|xy-

    xy-xy+xy|=|xy+xy-xy-xyA|

    此時(shí)x=x,把x=x代入S△ABC=|xyB+xyC+xCy-

    xyC-xy-xCyB|中,

    得S△ABC=|xyB+xyC+xAy-xyC-xy-xyB|=

    |xyC+xAy-xyC-xy|

    所以,當(dāng)點(diǎn)D與A(或B)重合時(shí),△ABC的面積仍滿(mǎn)足:

    S△ABC=|xyB+xyC+xAy-xyC-xy-xCyB|。

    ③點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,如圖4所示,則

    S△ABC=S△BCD-S△ACD=CD·(xB-xD)-CD·(xA-xD)

    =CD·(xB-xD-xA+xD)=CD·(xB-xA)

    =|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

    ④點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,如圖5所示,則

    S△ABC=S△ACD-S△BCD=CD·(xD-xA)-CD·(xD-xB)

    =CD·(xD-xA-xD+xB)=CD·(xB-xA)

    =|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|

    由此得知:當(dāng)有兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不相同時(shí),△ABC的面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為:

    S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|。

    (二)存在兩個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同的情況

    不妨設(shè)x=x,如圖6所示,則

    AB=|y-yB|,S△ABC=AB·|xC-xA|=|y-yB|·|xC-xA|

    =|xCy-xAy-xCyB+xAyB|

    =|xyB+xyA-xByA-xyB|

    把x=x代入S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|中,得到S△ABC=|xyB+xCy-xy-xCyB|,由此得知:當(dāng)有兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同時(shí)仍然滿(mǎn)足:S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|。

    由上述兩種情況可知,當(dāng)△ABC的三個(gè)頂坐標(biāo)為A(x,y),B(x,y),C(x,y)時(shí),面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系為:S△ABC=|xyB+xyC+xCy-xyC-xy-xCyB|.

    二、公式的應(yīng)用

    從以上探索過(guò)程得知:△ABC中,點(diǎn)A表示三角形的第一個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)B表示第二個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)C表示第三個(gè)頂點(diǎn)。但是也可以將其中任意的一個(gè)頂點(diǎn)當(dāng)成第一個(gè)頂點(diǎn),其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別當(dāng)成第二個(gè)頂點(diǎn)及第三個(gè)頂點(diǎn),并將它們的坐標(biāo)代入上述公式中,就可求三角形的面積。

    例1:已知在△ABC中,A(-2,3)、B(3,2)、C(2,-4),求△ABC的面積。

    解析:把三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述公式中,可得

    S△ABC=|-2×2+3×(-4)+2×3-(-2)(-4)-3×3-2×2|

    =。

    例2:已知A(1,3)、B(4,2),點(diǎn)P在直線(xiàn)y=2x-3上,且△PAB的面積為8,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

    解析:因?yàn)辄c(diǎn)P在直線(xiàn)y=2x-3上,所以設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,2m-3)。由上述的面積與坐標(biāo)關(guān)系公式可得: S△PAB=|1×2+4×(2m-3)+m×3-1×(2m-3)-4×3-m×2|,化簡(jiǎn)得:S△PAB=|7m-19|,又S△PAB=8,可得|7m-19|=8。

    解得:m1=5,m2=,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,7)或(,-)。

    例3:如圖7所示,直線(xiàn)y=6x、y=x分別與雙曲線(xiàn)y=在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn),若S△OAB=8,求k的值。

    解析:因?yàn)锳點(diǎn)在直線(xiàn)y=6x上,B點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上,所以設(shè)A(a,6a)(a>0),B(b,b)(b>0),頂點(diǎn)O(0,0),

    利用上述面積公式: S△ABC=|xyB+xBy+xy-xAyC-xByA-xCyB|可得

    S△OAB=|a×b+b×0+0×6a-a×0-b×6a-0×b|=

    |ab-6ab|=|-ab|=ab

    所以ab=8,從而得ab=3,又因?yàn)閗=6a2=b2,所以b=3a;由此得ab=3

    b=3a,解得a=1

    b=3,所以k=6a2=6。

    例4:如圖8所示,點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)y=的第一象限的那一支上,AB垂直于y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸正半軸上,且OC=2AB,點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上,且AE=3EC,

    點(diǎn)D為OB的中點(diǎn),若△ADE的面積為3,求k的值。

    解析:如圖9所示,設(shè)A(m,)(m>0,k>0),過(guò)點(diǎn)A作AF⊥x軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,則AB=m,OB=,OD=OB=,AF=,OC=2AB=2m,F(xiàn)C=OC=m,由△AFC∽△EGC可得EG=,GC=FC=m,所以O(shè)G=。

    故D(0,),E(,),然后把A(m,)、D(0,)、E(,)代入上述公式可得:

    S△ADE=|m·+0·+·-m·-0·-·|=|+--|=.由題意得:=3,所以k=。

    通過(guò)以上對(duì)三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)與面積關(guān)系的探究,我們得出三角形面積與頂點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式:S△ABC=|xyB+xBy+xy-xAyC-xByA-xCyB|。將此關(guān)系式運(yùn)用于教學(xué)實(shí)踐,既能讓學(xué)生得到實(shí)踐探索經(jīng)驗(yàn),又得到有效實(shí)用的結(jié)論。

    利用上述結(jié)論分析問(wèn)題,思路清晰,既簡(jiǎn)單又方便,減少學(xué)生在較復(fù)雜的問(wèn)題中產(chǎn)生的畏懼心理及負(fù)擔(dān),增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,具有很高的實(shí)用

    價(jià)值。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]玉云化.頂點(diǎn)三角形的面積[J].河北理科教學(xué)研究,2008(6):63-66.

    [2]尤炳升.坐標(biāo)系中三角形面積的求法模型例談[J].福建基礎(chǔ)教育研究,2014(2):34-36.

    [3]鐘珍玫.坐標(biāo)系中斜三角形面積求法的應(yīng)用[J].理科考試研究(初中),2012(4):88-90.

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