攻克高中數(shù)學(xué)中幾種易錯(cuò)代數(shù)運(yùn)算

謝秋鳳

【摘? 要】代數(shù)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)的拉墻筋，滲透高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié)，更強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)運(yùn)算的應(yīng)用。針對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力較差的現(xiàn)實(shí)情況，教師需要弄清各種基礎(chǔ)運(yùn)算的作用，分析學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò)的原因，幫助學(xué)生攻克運(yùn)算難關(guān)，提高學(xué)生解題能力。

【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué);代數(shù)運(yùn)算

初中數(shù)學(xué)在小學(xué)整式運(yùn)算基礎(chǔ)上，增加了代數(shù)式的運(yùn)算，從了解到強(qiáng)化這些運(yùn)算，為高中數(shù)學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)主要應(yīng)用到哪些代數(shù)運(yùn)算呢？整式乘法及合并同類項(xiàng)、通分因式分解、配方、通分逆運(yùn)算及繁分式的化簡(jiǎn)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用較廣、出錯(cuò)率較高的基本代數(shù)運(yùn)算。下面就來(lái)看看這些基本運(yùn)算在各章節(jié)中的應(yīng)用，它們的作用和出錯(cuò)情況，抓住運(yùn)算的作用和目的，用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。

一、整式乘法及合并同類項(xiàng)

整式乘法及合并同類項(xiàng)的作用：將整式化簡(jiǎn)整合，適用于各種含參量運(yùn)算。

例1：已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為MN，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，|MN|=3。

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得當(dāng)l變化時(shí)，總有PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）略;（2）當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x軸上任意一點(diǎn)都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱，當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在p（t，0）滿足條件，設(shè)l的方程為y=k（x-1），M（x2，y1），N（x2，y2），聯(lián)立y=k（x-1）

3x

+4y

=12，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，x軸上任意一點(diǎn)P都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱;當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，假設(shè)存在p（t，0）滿足條件，設(shè)l的方程為y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立y=k（x-1）

3x

+4y

=12得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0;

可得x+x=，xx= ①

∵PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對(duì)稱

∴+=0 ②

∵M(jìn)N兩點(diǎn)在直線y=k（x-1）上，∴y1=k（x1-1），

y2=k（x2-1）代入②得，==0，

∴2x1x2-（t+1）（x1+x2）+2t=0 ③，將①代入③得，

==0，要使上式與k的取值無(wú)關(guān)，則t=4。

綜上所述，存在p（4，0），使得當(dāng)l變化時(shí)，總有PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱。整式乘法及合并同類項(xiàng)比較典型的是應(yīng)用于“直線與圓錐曲線”交點(diǎn)問題中，解方程組時(shí)代入消元，通過整式乘法及合并同類項(xiàng)，解出方程或設(shè)而不解。學(xué)生往往在這個(gè)過程中出錯(cuò)，導(dǎo)致本大題一分不得。在此類問題中，我們應(yīng)耐心、細(xì)心地降次排列好，關(guān)注系數(shù)有沒有遺漏錯(cuò)誤，及時(shí)糾正再往下寫。

二、通分、因式分解

通分的主要作用是將幾個(gè)異分母分式（數(shù)）化為一個(gè)分式，通過分析分子與分母兩個(gè)式子的因式求根或判號(hào)。因式分解的作用：將整式分解成幾個(gè)因式的乘積，便于求根或判號(hào)。判號(hào)在高中數(shù)學(xué)中主要用于兩個(gè)方面。

（一）比較大小“作差”

例2：已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）=x+-4。

（1）求函數(shù)f（x）在R上的解析式;（2）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（，+∞）上是增函數(shù)。

解析：（1）略;（2）證明：設(shè)

f（x2）=x1+-x2-=（x1-x2）+=（x1-x2）（1-）=（x1-x2），∵3，∴

f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）

本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，很多學(xué)生往往在“作差”之后，沒有變形到位就開始討論判號(hào)，沒有充分的依據(jù)判號(hào)。這題的變形就需要通分、因式分解，這樣通過各個(gè)因式的符號(hào)判定最后的符號(hào)，就解決問題了。只有弄清通分、因式分解的作用是判號(hào)，為什么要進(jìn)行這樣的變形，才能應(yīng)用運(yùn)算。

（二）判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，研究單調(diào)性

例3：已知函數(shù)f（x）=aln x+x2-ax（a∈R）。（1）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間;（2）求g（x）=

f（x）-2x在區(qū)間[1，e]上的最小值h（a）。

解：（1）f'（x）=+2x-a（x>0），∵x=3是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（3）=+6-a=0，解得a=9，∴f'（x）=，∴03時(shí)，f'（x）>0，

（2）g（x）=aln x+x2-ax-2x，x∈[1，e]，g'（x）=，①≤1即a≤2時(shí)，g（x）在[1，e]遞增，g（x）min=g（1）=-a-1;②1<

綜上h（a）=-a-1，a≤2

aln

--a，2

a（1-e）+e（e-2），a≥2e。

討論函數(shù)的單調(diào)性，本題抓住導(dǎo)函數(shù)通分、因式分解，通過判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號(hào)，研究函數(shù)的單調(diào)性。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系的理解，需要轉(zhuǎn)換到導(dǎo)函數(shù)正負(fù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系上，將原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)判號(hào)問題。

三、配方法

配方法就是將整式化成完全平方的形式，把二次多項(xiàng)式化為一個(gè)一次多項(xiàng)式的平方與一個(gè)常數(shù)的和。配方常用于“判號(hào)”，廣泛應(yīng)用于“二次函數(shù)問題”，主要作用是找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和最值。

（一）判號(hào)

例4：已知函數(shù)f（x）=x3+3x，（1）求證：函數(shù)f（x）為奇函數(shù);（2）求證：函數(shù)f（x）為增函數(shù)。

解析：（1）略;（2）證明：設(shè)x1

=（x13-x23）+3（x1-x2）=（x1-x2）（x12+x22+x1x2+3）

=（x1-x2）[（x1+x2）2+x22+3）]，又由x10，即f（x1）-

f（x2）<0，則函數(shù)為增函數(shù)。

本題中x12+x22+x1x2+3=（x1+x2）2+x22+3，運(yùn)用配方再判號(hào)。

（二）解決二次函數(shù)問題

例5：已知向量=（-3，2），=（2，1），=（3，-1），t∈R.

（1）求|+t |的最小值及相應(yīng)的t值;若-t 與共線，求實(shí)數(shù)t.

解析：因?yàn)?（-3，2），=（2，1），所以+t =

（-3，2）+t（2，1）=（-3+2t，2+t），所以|+t|===≥=。

當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào)，即|+t |的最小值為，此時(shí)t=。

（2）略。

本題中=，這樣通過配方解決了二次函數(shù)問題，而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最廣泛的函數(shù)之一。

配方時(shí)可先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)組合并提取二次項(xiàng)系數(shù)，再配出一次項(xiàng)系數(shù)的一半，最后考慮常數(shù)項(xiàng)。如ax2+bx+c=a（x2+x）+c=a（x+）2+c-，這里“”和“c-”是出錯(cuò)率較高的地方，運(yùn)算時(shí)我們應(yīng)及時(shí)驗(yàn)算是否有誤。

四、通分的逆運(yùn)算

通分的逆運(yùn)算則是將一個(gè)分式用除法的分配律，分成幾個(gè)整式或分式的和。比較典型的有分離常數(shù)，可以降低分子的次數(shù)。

例6：求下列函數(shù)的值域：（1）y=;（2）y=;（3）y=。

分析：（1）y===3-，將分子分母一次型轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)模型。（2）y==2x+-2，化為雙勾函數(shù)。分子二次分母一次的，也可用此法轉(zhuǎn)換為其他函數(shù)解決。當(dāng)然，函數(shù)y==2x--2，可以直接利用函數(shù)單調(diào)遞增來(lái)研究。（3）y===2-，這種分離常數(shù)的做法，將分子分母二次型轉(zhuǎn)換為分子一次型考慮，令3x+1=t，即可轉(zhuǎn)換為上一類題型。

這類問題，很多學(xué)生的困惑在于不知道這種運(yùn)算能降低分子的次數(shù)，從而將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為我們熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)我們熟練掌握這一技巧，遇到這樣的分式函數(shù)，就有信心順利地解決。

五、攻克運(yùn)算難關(guān)方法

以上是筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)中幾種易錯(cuò)代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用的理解，在教學(xué)過程中，我們又該如何攻克這些運(yùn)算難關(guān)呢？

（一）專題例談各種基本運(yùn)算

通過上述舉例，學(xué)生對(duì)這些基本運(yùn)算的作用有了初步了解，懂得恰當(dāng)運(yùn)用這些運(yùn)算是成功解決數(shù)學(xué)問題的首要步驟。高一、高二應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容局部舉例，高三可采取專題例談各種高中易錯(cuò)基本運(yùn)算。

（二）設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練

對(duì)高一、高二學(xué)生而言，新學(xué)內(nèi)容更需要知道這些運(yùn)算所起的作用，針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)情況，做針對(duì)性練習(xí)。對(duì)高三學(xué)生而言，提高易錯(cuò)警惕，專項(xiàng)訓(xùn)練，提高解題準(zhǔn)確性和解題速度。

（三）用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)

對(duì)高三學(xué)生增加專題例談各種基本運(yùn)算，在系統(tǒng)地了解到各種基本運(yùn)算的作用后，更能以清晰的思路將大題轉(zhuǎn)化為小題，做針對(duì)性訓(xùn)練，查漏補(bǔ)缺。用“細(xì)心” “耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張大同.高中代數(shù)解題思路與技巧[M].太原：山西教育出版社，1996.

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[3]李正興.高中數(shù)學(xué)微專題代數(shù)篇[M].上海：上海社會(huì)出版社，2020.