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    攻克高中數(shù)學(xué)中幾種易錯(cuò)代數(shù)運(yùn)算

    2022-05-30 12:16:18謝秋鳳
    文理導(dǎo)航 2022年23期
    關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué)

    謝秋鳳

    【摘? 要】代數(shù)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)的拉墻筋,滲透高中數(shù)學(xué)的每一個(gè)章節(jié),更強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)運(yùn)算的應(yīng)用。針對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力較差的現(xiàn)實(shí)情況,教師需要弄清各種基礎(chǔ)運(yùn)算的作用,分析學(xué)生運(yùn)算出錯(cuò)的原因,幫助學(xué)生攻克運(yùn)算難關(guān),提高學(xué)生解題能力。

    【關(guān)鍵詞】高中;數(shù)學(xué);代數(shù)運(yùn)算

    初中數(shù)學(xué)在小學(xué)整式運(yùn)算基礎(chǔ)上,增加了代數(shù)式的運(yùn)算,從了解到強(qiáng)化這些運(yùn)算,為高中數(shù)學(xué)夯實(shí)基礎(chǔ)。高中數(shù)學(xué)主要應(yīng)用到哪些代數(shù)運(yùn)算呢?整式乘法及合并同類項(xiàng)、通分因式分解、配方、通分逆運(yùn)算及繁分式的化簡(jiǎn)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用較廣、出錯(cuò)率較高的基本代數(shù)運(yùn)算。下面就來(lái)看看這些基本運(yùn)算在各章節(jié)中的應(yīng)用,它們的作用和出錯(cuò)情況,抓住運(yùn)算的作用和目的,用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。

    一、整式乘法及合并同類項(xiàng)

    整式乘法及合并同類項(xiàng)的作用:將整式化簡(jiǎn)整合,適用于各種含參量運(yùn)算。

    例1:已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,設(shè)過點(diǎn)F2的直線l被橢圓C截得的線段為MN,當(dāng)l⊥x軸時(shí),|MN|=3。

    (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)在x軸上是否存在一點(diǎn)P,使得當(dāng)l變化時(shí),總有PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對(duì)稱?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由。

    解析:(1)略;(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),x軸上任意一點(diǎn)都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱,當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),假設(shè)存在p(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),M(x2,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=k(x-1)

    3x

    +4y

    =12,當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),x軸上任意一點(diǎn)P都滿足PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱;當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),假設(shè)存在p(t,0)滿足條件,設(shè)l的方程為y=k(x-1),M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=k(x-1)

    3x

    +4y

    =12得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0;

    可得x+x=,xx= ①

    ∵PM與PN所在的直線關(guān)于x軸對(duì)稱

    ∴+=0 ②

    ∵M(jìn)N兩點(diǎn)在直線y=k(x-1)上,∴y1=k(x1-1),

    y2=k(x2-1)代入②得,==0,

    ∴2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0 ③,將①代入③得,

    ==0,要使上式與k的取值無(wú)關(guān),則t=4。

    綜上所述,存在p(4,0),使得當(dāng)l變化時(shí),總有PM與PN所在直線關(guān)于x軸對(duì)稱。整式乘法及合并同類項(xiàng)比較典型的是應(yīng)用于“直線與圓錐曲線”交點(diǎn)問題中,解方程組時(shí)代入消元,通過整式乘法及合并同類項(xiàng),解出方程或設(shè)而不解。學(xué)生往往在這個(gè)過程中出錯(cuò),導(dǎo)致本大題一分不得。在此類問題中,我們應(yīng)耐心、細(xì)心地降次排列好,關(guān)注系數(shù)有沒有遺漏錯(cuò)誤,及時(shí)糾正再往下寫。

    二、通分、因式分解

    通分的主要作用是將幾個(gè)異分母分式(數(shù))化為一個(gè)分式,通過分析分子與分母兩個(gè)式子的因式求根或判號(hào)。因式分解的作用:將整式分解成幾個(gè)因式的乘積,便于求根或判號(hào)。判號(hào)在高中數(shù)學(xué)中主要用于兩個(gè)方面。

    (一)比較大小“作差”

    例2:已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x+-4。

    (1)求函數(shù)f(x)在R上的解析式;(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(,+∞)上是增函數(shù)。

    解析:(1)略;(2)證明:設(shè)

    f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)=(x1-x2),∵3,∴

    f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)

    本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明,很多學(xué)生往往在“作差”之后,沒有變形到位就開始討論判號(hào),沒有充分的依據(jù)判號(hào)。這題的變形就需要通分、因式分解,這樣通過各個(gè)因式的符號(hào)判定最后的符號(hào),就解決問題了。只有弄清通分、因式分解的作用是判號(hào),為什么要進(jìn)行這樣的變形,才能應(yīng)用運(yùn)算。

    (二)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),研究單調(diào)性

    例3:已知函數(shù)f(x)=aln x+x2-ax(a∈R)。(1)若x=3是f(x)的極值點(diǎn),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求g(x)=

    f(x)-2x在區(qū)間[1,e]上的最小值h(a)。

    解:(1)f'(x)=+2x-a(x>0),∵x=3是函數(shù)f(x)的一個(gè)極值點(diǎn),∴f'(3)=+6-a=0,解得a=9,∴f'(x)=,∴03時(shí),f'(x)>0,

    (2)g(x)=aln x+x2-ax-2x,x∈[1,e],g'(x)=,①≤1即a≤2時(shí),g(x)在[1,e]遞增,g(x)min=g(1)=-a-1;②1<

    綜上h(a)=-a-1,a≤2

    aln

    --a,2

    a(1-e)+e(e-2),a≥2e。

    討論函數(shù)的單調(diào)性,本題抓住導(dǎo)函數(shù)通分、因式分解,通過判定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)符號(hào),研究函數(shù)的單調(diào)性。同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時(shí),對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)關(guān)系的理解,需要轉(zhuǎn)換到導(dǎo)函數(shù)正負(fù)符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系上,將原函數(shù)單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)判號(hào)問題。

    三、配方法

    配方法就是將整式化成完全平方的形式,把二次多項(xiàng)式化為一個(gè)一次多項(xiàng)式的平方與一個(gè)常數(shù)的和。配方常用于“判號(hào)”,廣泛應(yīng)用于“二次函數(shù)問題”,主要作用是找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸和最值。

    (一)判號(hào)

    例4:已知函數(shù)f(x)=x3+3x,(1)求證:函數(shù)f(x)為奇函數(shù);(2)求證:函數(shù)f(x)為增函數(shù)。

    解析:(1)略;(2)證明:設(shè)x1

    =(x13-x23)+3(x1-x2)=(x1-x2)(x12+x22+x1x2+3)

    =(x1-x2)[(x1+x2)2+x22+3)],又由x10,即f(x1)-

    f(x2)<0,則函數(shù)為增函數(shù)。

    本題中x12+x22+x1x2+3=(x1+x2)2+x22+3,運(yùn)用配方再判號(hào)。

    (二)解決二次函數(shù)問題

    例5:已知向量=(-3,2),=(2,1),=(3,-1),t∈R.

    (1)求|+t |的最小值及相應(yīng)的t值;若-t 與共線,求實(shí)數(shù)t.

    解析:因?yàn)?(-3,2),=(2,1),所以+t =

    (-3,2)+t(2,1)=(-3+2t,2+t),所以|+t|===≥=。

    當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào),即|+t |的最小值為,此時(shí)t=。

    (2)略。

    本題中=,這樣通過配方解決了二次函數(shù)問題,而二次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最廣泛的函數(shù)之一。

    配方時(shí)可先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)組合并提取二次項(xiàng)系數(shù),再配出一次項(xiàng)系數(shù)的一半,最后考慮常數(shù)項(xiàng)。如ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a(x+)2+c-,這里“”和“c-”是出錯(cuò)率較高的地方,運(yùn)算時(shí)我們應(yīng)及時(shí)驗(yàn)算是否有誤。

    四、通分的逆運(yùn)算

    通分的逆運(yùn)算則是將一個(gè)分式用除法的分配律,分成幾個(gè)整式或分式的和。比較典型的有分離常數(shù),可以降低分子的次數(shù)。

    例6:求下列函數(shù)的值域:(1)y=;(2)y=;(3)y=。

    分析:(1)y===3-,將分子分母一次型轉(zhuǎn)換為反比例函數(shù)模型。(2)y==2x+-2,化為雙勾函數(shù)。分子二次分母一次的,也可用此法轉(zhuǎn)換為其他函數(shù)解決。當(dāng)然,函數(shù)y==2x--2,可以直接利用函數(shù)單調(diào)遞增來(lái)研究。(3)y===2-,這種分離常數(shù)的做法,將分子分母二次型轉(zhuǎn)換為分子一次型考慮,令3x+1=t,即可轉(zhuǎn)換為上一類題型。

    這類問題,很多學(xué)生的困惑在于不知道這種運(yùn)算能降低分子的次數(shù),從而將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)換為我們熟悉的基本函數(shù)。當(dāng)我們熟練掌握這一技巧,遇到這樣的分式函數(shù),就有信心順利地解決。

    五、攻克運(yùn)算難關(guān)方法

    以上是筆者對(duì)高中數(shù)學(xué)中幾種易錯(cuò)代數(shù)運(yùn)算應(yīng)用的理解,在教學(xué)過程中,我們又該如何攻克這些運(yùn)算難關(guān)呢?

    (一)專題例談各種基本運(yùn)算

    通過上述舉例,學(xué)生對(duì)這些基本運(yùn)算的作用有了初步了解,懂得恰當(dāng)運(yùn)用這些運(yùn)算是成功解決數(shù)學(xué)問題的首要步驟。高一、高二應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容局部舉例,高三可采取專題例談各種高中易錯(cuò)基本運(yùn)算。

    (二)設(shè)計(jì)專項(xiàng)訓(xùn)練

    對(duì)高一、高二學(xué)生而言,新學(xué)內(nèi)容更需要知道這些運(yùn)算所起的作用,針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)情況,做針對(duì)性練習(xí)。對(duì)高三學(xué)生而言,提高易錯(cuò)警惕,專項(xiàng)訓(xùn)練,提高解題準(zhǔn)確性和解題速度。

    (三)用“細(xì)心”“耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)

    對(duì)高三學(xué)生增加專題例談各種基本運(yùn)算,在系統(tǒng)地了解到各種基本運(yùn)算的作用后,更能以清晰的思路將大題轉(zhuǎn)化為小題,做針對(duì)性訓(xùn)練,查漏補(bǔ)缺。用“細(xì)心” “耐心”和“信心”攻克這些運(yùn)算難關(guān)。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]張大同.高中代數(shù)解題思路與技巧[M].太原:山西教育出版社,1996.

    [2]程志國(guó).高中數(shù)學(xué)解題方法[M].北京:氣象出版社,1991.

    [3]李正興.高中數(shù)學(xué)微專題代數(shù)篇[M].上海:上海社會(huì)出版社,2020.

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