圖說數(shù)學(xué)單元教學(xué)

【摘 要】 借助圖形講解數(shù)學(xué)單元教學(xué)的幾個基本問題：單元教學(xué)的地位與價值、單元的分類、單元教學(xué)的設(shè)計(jì)流程、單元教學(xué)的實(shí)施流程，幫助讀者直觀理解數(shù)學(xué)單元教學(xué)的研究成果與操作方法，減輕理論學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，有效開展教學(xué)實(shí)踐，辯證分析教育熱潮.

【關(guān)鍵詞】 圖說;單元教學(xué);價值;流程;辯證分析

近幾十年來，教育領(lǐng)域的新理論、新概念、新熱點(diǎn)層出不窮，往往來得快、去得也快，一線教師普遍反映“苦理論久矣”.以數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域?yàn)槔陀?0世紀(jì)80年代的“問題解決”，20世紀(jì)90年代的“建構(gòu)主義”、21世紀(jì)初的PCK（教學(xué)內(nèi)容知識）和MKT（面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識）理論，以及近幾年的“核心素養(yǎng)”[1-3]“單元教學(xué)”“深度學(xué)習(xí)”“項(xiàng)目化學(xué)習(xí)”，等等.當(dāng)前，我們又迎來了“作業(yè)設(shè)計(jì)”“跨學(xué)科教學(xué)”的熱潮.

這一輪“單元教學(xué)”熱潮有五六年了，目前已取得單元教學(xué)四個層面的研究成果.一是學(xué)理層面，包括單元教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù)與策略、單元教學(xué)設(shè)計(jì)的價值指向、單元教學(xué)設(shè)計(jì)的路徑，等等.二是概念層面，何為單元？何為單元知識結(jié)構(gòu)？何為單元教學(xué)？等等，以及單元教學(xué)的等價概念，如主題教學(xué)、整體教學(xué)、結(jié)構(gòu)化教學(xué)、大概念教學(xué)、大觀念教學(xué)等.三是設(shè)計(jì)層面，包括單元教學(xué)的結(jié)構(gòu)、設(shè)計(jì)流程等.四是應(yīng)用層面，主要是針對中小學(xué)具體的教學(xué)內(nèi)容來論述單元教學(xué)的設(shè)計(jì)與操作[4].鑒于中學(xué)教師教學(xué)任務(wù)繁重，難以系統(tǒng)學(xué)習(xí)這些理論研究成果，本文摘其精要、借助圖形進(jìn)行介紹，正如本文標(biāo)題所言：圖說數(shù)學(xué)單元教學(xué).1 單元教學(xué)的地位與價值

單元教學(xué)并非全新的教學(xué)法，20世紀(jì)80年代它已廣泛出現(xiàn)在我國中小學(xué)各學(xué)科的課堂之上[5-7].最新頒布的2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，當(dāng)前推進(jìn)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)，目的是要改變過于注重以課時為單位的教學(xué)設(shè)計(jì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學(xué)習(xí)內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián)[8].也有研究者認(rèn)為，現(xiàn)在又重視單元教學(xué)的理由是為了深化以單元教學(xué)為載體的學(xué)科教學(xué)，希望將其上升到學(xué)科教研的統(tǒng)領(lǐng)地位，而不僅僅作為課堂教學(xué)的方法和手段[9].

單元教學(xué)是相對課時教學(xué)而言的，無論把單元教學(xué)的價值拔得多高，它都不可能也不應(yīng)該取代課時教學(xué).事實(shí)上，單元教學(xué)更多的是一種教學(xué)觀念與認(rèn)識，實(shí)際操作只能以課時教學(xué)的形式出現(xiàn).下面的圖1反映了單元教學(xué)、課時教學(xué)在教學(xué)鏈條（包括課前、課中、課后）中的位置與關(guān)系[10].

單元教學(xué)的地位與價值

表明，單元教學(xué)設(shè)計(jì)對課時教學(xué)設(shè)計(jì)有指導(dǎo)、統(tǒng)攝作用，但需細(xì)化、分解為若干課時教學(xué)設(shè)計(jì)，從而付諸課堂實(shí)踐;課后應(yīng)開展教師個人教學(xué)反思，必要時開展集體教學(xué)研討，從而提升認(rèn)識，改進(jìn)課前的單元教學(xué)設(shè)計(jì).這是一個良性循環(huán)，體現(xiàn)了單元教學(xué)的地位與價值.理解了這一點(diǎn)，可以避免對單元教學(xué)產(chǎn)生盲從心理或抵觸情緒.

2 單元的分類

確定學(xué)習(xí)單元，是開展單元教學(xué)的前提.單元，本意是指樣本中自為一體或自成系統(tǒng)的獨(dú)立成分.單元不可再分，否則就改變了事物的性質(zhì).單元是一個相對概念，比如相對于“課時”，“節(jié)”是一個單元;相對于“節(jié)”，“章”是一個單元;相對于“章”，整本教材也是一個單元.甚至還有跨章節(jié)、貫通整個學(xué)段的所謂大單元（或主題），比如“數(shù)的運(yùn)算”就可以看作橫跨中小學(xué)數(shù)學(xué)的一個大單元（或主題）.2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正是將四個學(xué)段（第一學(xué)段“1～2年級”、第二學(xué)段“3～4年級”、第三學(xué)段“5～6年級”、第四學(xué)段“7～9年級”）、四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域（“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”）的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容劃分為若干個主題，便于分析“主題—單元—課時”的數(shù)學(xué)知識與核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，適時開展單元整體教學(xué)[8].

有研究者借鑒課程的分類法（階梯型課程、項(xiàng)目型課程），將學(xué)習(xí)單元分為階梯型、項(xiàng)目型（問題解決型）兩大類，并將階梯型劃分為知識技能類、思想方法類，如圖2所示[11].這種分類契合了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的數(shù)學(xué)“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn).

單元的分類

還顯示，知識技能類的學(xué)習(xí)單元可以較多地依據(jù)教科書的章節(jié)自然劃分成單元，而思想方法類的學(xué)習(xí)單元則需要教師較多地進(jìn)行跨章節(jié)的創(chuàng)造性重組.前者好理解（一般教科書已劃分好單元），關(guān)于后者，我們舉兩個初高中的例子.

比如，有的初中數(shù)學(xué)教材（如蘇科版）在不同年級不同分冊安排了多次有關(guān)“反證法”的拓展閱讀材料，可將它們組合成一個學(xué)習(xí)單元.

再比如，可用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法將高中范圍所有關(guān)于“距離”的知識重組成一個單元（歸結(jié)為探究“兩點(diǎn)距離的最小值”），包括點(diǎn)到直線的距離、兩條平行線之間的距離、異面直線之間的距離、點(diǎn)到平面的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離，甚至集合與集合的“距離”.

進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)之前，我們要明確學(xué)習(xí)單元是什么，哪些內(nèi)容可以構(gòu)成學(xué)習(xí)單元，以及為何要選取這樣的單元.

3 單元教學(xué)的設(shè)計(jì)流程

確定學(xué)習(xí)單元后，怎樣進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)呢？2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，一般來說，單元教學(xué)設(shè)計(jì)大致分為三個階段和五個環(huán)節(jié)（如圖3）.三個階段是指前期準(zhǔn)備、開發(fā)設(shè)計(jì)、評價修改.五個環(huán)節(jié)是指確定單元內(nèi)容、分析教學(xué)要素、編制單元教學(xué)目標(biāo)、設(shè)計(jì)單元教學(xué)流程、評價反思及修改.

其中，“分析教學(xué)要素”環(huán)節(jié)是單元教學(xué)設(shè)計(jì)前期準(zhǔn)備階段的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，也是“編制單元教學(xué)目標(biāo)”環(huán)節(jié)的前提.它又包括六個方面：教學(xué)內(nèi)容分析、課程標(biāo)準(zhǔn)分析、學(xué)情分析、教材分析、重難點(diǎn)分析、教學(xué)方式分析[12].

不難看出，單元教學(xué)的設(shè)計(jì)流程與課時教學(xué)基本相同，并沒有實(shí)質(zhì)性地增加教師的負(fù)擔(dān).

單元教學(xué)設(shè)計(jì)的流程

還有研究者給出了基于問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)模式（圖4）：研究者認(rèn)為適當(dāng)?shù)膯栴}與情境是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)的重要支點(diǎn)，以數(shù)學(xué)單元為主體的整體教學(xué)設(shè)計(jì)需重視問題驅(qū)動課堂的教學(xué)方式，整體教學(xué)觀與問題驅(qū)動理論是指導(dǎo)數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的重要理論依據(jù).教師只有圍繞數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教材內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)四個方面整體理解單元內(nèi)容，才能真正實(shí)現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)單元的整體教學(xué)設(shè)計(jì)，做到以問題驅(qū)動教學(xué)[13].

這一模式與2017年版高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)給出的單元教學(xué)設(shè)計(jì)模式并不矛盾，只是更加突出數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)——在解決問題的過程中發(fā)展.

4 單元教學(xué)的實(shí)施流程

不同類型的學(xué)習(xí)單元所對應(yīng)的單元教學(xué)流程有較大差異，因此有必要專門講講前述三種類型學(xué)習(xí)單元各自的單元教學(xué)實(shí)施流程.4.1 知識技能類單元教學(xué)

知識技能，即人們常說的“雙基”：基礎(chǔ)知識、基本技能.數(shù)學(xué)知識技能的教學(xué)以數(shù)學(xué)概念的教學(xué)最為常見.不難理解，值得開展單元教學(xué)的數(shù)學(xué)概念，往往是數(shù)學(xué)中的核心概念（也有人稱為大概念、大觀念），比如初高中的“代數(shù)式”“方程”“不等式”“函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”“三角形”“四邊形”“直線與平面的位置關(guān)系”“圓錐曲線”等.

關(guān)于核心概念的單元教學(xué)流程，可概括為圖5[4].具體來說，首先要給出核心概念生成的概念圖（也就是它的下位概念），比如中學(xué)范圍內(nèi)“函數(shù)”可以生成“正比例函數(shù)”“反比例函數(shù)”“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”“冪函數(shù)”“指數(shù)函數(shù)”“對數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“反三角函數(shù)”，以及“圖象”“單調(diào)性”“最值”“奇偶性”“周期性”“導(dǎo)數(shù)”“極值”等下位概念，共同構(gòu)成函數(shù)的概念圖.

核心概念類單元教學(xué)的流程

然后將這些概念圖劃分為不同的路徑，并分別開展相應(yīng)的性質(zhì)研究、應(yīng)用研究等.比如，可選取“正比例函數(shù)”為路徑1，研究正比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)、實(shí)際應(yīng)用等，并開展相應(yīng)的練習(xí)與小結(jié).可選取“一次函數(shù)”為路徑3，同樣研究一次函數(shù)的圖象、性質(zhì)、實(shí)際應(yīng)用等，并開展相應(yīng)的練習(xí)與小結(jié).其他路徑依此類推.

而且要注意，不同的路徑之間可以關(guān)聯(lián)起來，比如路徑1“正比例函數(shù)”可與路徑3“一次函數(shù)”關(guān)聯(lián)，合并成一個新的大單元開展后續(xù)性質(zhì)研究、應(yīng)用研究、練習(xí)與小結(jié).4.2 思想方法類單元教學(xué)

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是我國數(shù)學(xué)教育的特色與傳統(tǒng).數(shù)學(xué)思想方法既可以在數(shù)學(xué)知識技能的教學(xué)中進(jìn)行滲透，也可以通過專題式教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí). 思想方法類單元教學(xué)，其一般流程如圖6所示[4].

圖6 思想方法類單元教學(xué)的流程

首先要確定數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法本身也是極為系統(tǒng)的一門學(xué)科，其層次各異、種類繁多.教師要結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識技能、待解決的大量數(shù)學(xué)問題、精選相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法不可能脫離知識技能而單獨(dú)存在，它的適用對象也不可能只是少數(shù)問題（否則就不稱其為思想、方法了）.根據(jù)廣大教師經(jīng)驗(yàn)，中學(xué)數(shù)學(xué)最常見的思想方法類單元教學(xué)包括分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等.

然后圍繞確定的數(shù)學(xué)思想方法設(shè)計(jì)或配置相應(yīng)的題組（或稱問題串、問題鏈），開展變式教學(xué).要注意題組的典型性與層次性，既要以一當(dāng)十又要拉開梯度，防止題海戰(zhàn)術(shù)與機(jī)械重復(fù)訓(xùn)練.

接下來是師生共同解決問題的環(huán)節(jié).與其他數(shù)學(xué)課相比，思想方法類單元教學(xué)的這一環(huán)節(jié)有其獨(dú)特優(yōu)勢，因?yàn)榻鉀Q問題的“金鑰匙”已經(jīng)明確了，就是所講的數(shù)學(xué)思想方法;解決問題的“腳手架”已經(jīng)搭好了，就是所選的題組（問題串、問題鏈）.因此，這一環(huán)節(jié)可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，教師作適當(dāng)引導(dǎo)與點(diǎn)撥，讓學(xué)生充分感受“勢如破竹”“攻城奪地”的學(xué)習(xí)成就，感悟數(shù)學(xué)思想方法的威力與魅力.

最后的回顧總結(jié)環(huán)節(jié)必不可少，教師要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)發(fā)展和數(shù)學(xué)問題解決的根本力量，獲得對數(shù)學(xué)思想方法的整體理解，既包括其普適性，也包括其局限性（沒有萬能的思想、方法）.4.3 問題解決類單元教學(xué)問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)無時無刻不是在解決問題中前進(jìn).數(shù)學(xué)教學(xué)亦如此，數(shù)學(xué)教材依靠問題情境、例題和習(xí)題來演進(jìn)，數(shù)學(xué)試卷通過試題來串聯(lián).但這些問題大都是經(jīng)過加工、簡化而來的，有比較明確的解決方法（模式）和答案.事實(shí)上，仍有許多問題沒有固定的解決方法和答案，需要教師引導(dǎo)學(xué)生自主探索，往往耗時較長，所需知識、方法、工具（如信息技術(shù)）超過學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平甚至?xí)鐚W(xué)科.我們將這樣的問題稱之為綜合與實(shí)踐、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究活動等，它們是積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的重要載體[14] .

可以針對這些問題的解決開展單元教學(xué)，圖7就是問題解決類單元教學(xué)的操作流程[4].雖然其基本過程一目了然，就是提出問題、解決問題、單元總結(jié)，但我們可以從中看到許多其他數(shù)學(xué)課所沒有的環(huán)節(jié)，比如需將初始問題分解為若干個新問題，并需要學(xué)生學(xué)習(xí)若干相應(yīng)的新知識，以便解決這些新問題.這些新知識在總結(jié)環(huán)節(jié)被統(tǒng)稱為“單元外已學(xué)知識”，納入本單元知識體系后，新舊知識融為一體，形成結(jié)構(gòu)化的新知識體系.

問題解決類單元教學(xué)的流程

5 單元教學(xué)的辯證分析

關(guān)于單元教學(xué)的研究成果與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)固然可喜，但也出現(xiàn)了很多認(rèn)識誤區(qū).實(shí)施數(shù)學(xué)單元教學(xué)法，需注意以下辯證關(guān)系.

（1）防止單元概念的泛化，避免將非主干的知識技能、解題技巧當(dāng)作學(xué)習(xí)單元，過度總結(jié)解題模型、二級結(jié)論（尤其是初高中畢業(yè)班）.

（2）防止單元教學(xué)概念的泛化，避免將單元教學(xué)與傳統(tǒng)的單元教材分析、單元復(fù)習(xí)混為一談，本末倒置.

（3）單元教學(xué)目標(biāo)與課程目標(biāo)、課時目標(biāo)三者之間是中觀、宏觀、微觀的辯證關(guān)系.單元教學(xué)要與課時教學(xué)結(jié)合使用，兩者互為補(bǔ)充、相輔相成、不可偏廢，不可一窩蜂地炮制單元教學(xué)設(shè)計(jì).

（4）單元教學(xué)除了教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化、教學(xué)形式的結(jié)構(gòu)化，更需要學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化.要避免單元教學(xué)流于形式化，因?yàn)閷W(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化才是單元教學(xué)的精髓[15].還要避免單元教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化之后過于抽象，脫離社會，脫離學(xué)生實(shí)際.至此，本文完成了“圖說數(shù)學(xué)單元教學(xué)”的任務(wù)，為筆者的“圖說數(shù)學(xué)教育原理”文章系列 [3，9，16-18]增添了一個新的成員.讓我們共同努力，把數(shù)學(xué)教育理論變得更加直觀形象，把數(shù)學(xué)教育研究變得更加平易近人.

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