高考數(shù)學(xué)試題研究的視角與方法

邵星峰 王欣 王昌林

[摘 要]文章以2021年新高考全國Ⅰ卷第22題為例，對(duì)試題進(jìn)行簡評(píng)與溯源、多角度分析和多方法解答，并對(duì)試題進(jìn)行推廣與變式，同時(shí)給出對(duì)研究高考數(shù)學(xué)試題的思考。

[關(guān)鍵詞]高考數(shù)學(xué)試題;研究;視角

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2022）14-0001-04

對(duì)于高考數(shù)學(xué)試題，既需要橫向的多角度研究，又需要縱向的多層次研究;既需要著眼于宏觀層面的研究，又需要著眼于微觀層面的研究。高考數(shù)學(xué)試題的主要研究內(nèi)容有試題的分析、評(píng)價(jià)與賞析，試題的“一題多解”與“多題一解”，試題的推廣與深化，試題的創(chuàng)作與改編，試題的答題技巧與應(yīng)考對(duì)策等。

一、試題呈現(xiàn)

（2021年新高考全國Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)[f（x）=x（1-ln x）]。

（1）討論[f（x）]的單調(diào)性;

（2）設(shè)[a]，[b]為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且[bln a-aln b=a-b]，證明：[2<1a+1b

簡評(píng)：文理科共用同一套數(shù)學(xué)試卷是新高考數(shù)學(xué)試卷的特點(diǎn)。此題是2021年新高考全國Ⅰ卷的壓軸題。第（1）問較為簡單，考生只要會(huì)函數(shù)求導(dǎo)和解不等式，基本上就能得到函數(shù)[f（x）]在[（0 ， 1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減。第（1）問為第（2）問的求解奠定了基礎(chǔ)。第（2）問具有一定的難度，關(guān)鍵點(diǎn)在于對(duì)[bln a-aln b=a-b]的處理，考生需認(rèn)真考慮如何建立條件與所證結(jié)論之間的關(guān)系。此題知識(shí)考查的重點(diǎn)是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明雙變量不等式;能力考查的重點(diǎn)是分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸、推理論證、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等方面的能力。

二、 試題溯源

溯源1：模擬試題背景

（2017年四川聯(lián)考模擬）設(shè)[a]，[b]是不相等的兩個(gè)正數(shù)，且[b ln a-a ln b=a-b]，給出下列結(jié)論：①[a+b-ab>1];② [a+b>2];③[1a+1b>2]，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是? ? ? ? ? ? 。

溯源2：高考試題背景

（2018年高考新課標(biāo)Ⅰ卷）已知函數(shù)[f（x）=1x-x+a ln x]。

（1）討論[f（x）]的單調(diào)性;

（2）若[f（x）]存在兩個(gè)極值點(diǎn)[x1]，[x2]。證明：[f（x1）-f（x2）x1-x2

溯源3：高等數(shù)學(xué)背景

泰勒定理： 若函數(shù)[f（x）]在[a， b]上存在直至[n]階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在[（a， b）]上存在[n+1]階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的[x]，[x0∈a， b]至少存在一點(diǎn)[ξ∈（a， b）]，使得[f（x）=f（x0）+f '（x0）（x-x0）+f ″（x0）2?。▁-x0）2+…+f（n）（x0）n！（x-x0）n+f（n+1）（ξ）（n+1）?。▁-x0）（n+1）]。

由此可知，當(dāng)[n=2]時(shí)，記[m=x1+x22]，在區(qū)間[x1， x2]內(nèi)將[f（x1）]和[f（x2）]分別在[x=m]處用泰勒定理展開，可得結(jié)論：已知函數(shù)[f（x）]在[（a， b）]內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)[x0]，且存在三階導(dǎo)函數(shù)，[f（x）]在[（a， b）]內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)[x1]，[x2]，且[x10]，則有極大值點(diǎn)向左偏移，極小值點(diǎn)向右偏移;若[f ?（x）<0]，則有極大值點(diǎn)向右偏移，極小值點(diǎn)向左偏移;若[f ?（x）=0]，則無極值點(diǎn)偏移。

三、試題解答

視角1： 函數(shù)構(gòu)造

解法1：由[b ln a-a ln b=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[1a+1aln a=1b+1bln b]，則有[1a-1aln1a=1b-1bln1b]。令[1a=x1]，[1b=x2]，[x1≠x2]，設(shè)[x1g（x1）]，所以有[f（2-x1）>f（x1）=f（x2）]。因?yàn)閇f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，所以有[2-x12]。當(dāng)[x2

解法2：由[bln a-aln b=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[1a+1aln a=1b+1bln b]，則有[1a-1aln1a=1b-1bln1b]。令[1a=x1]，[1b=x2]，[x1≠x2]，設(shè)[x10]，所以[g（x）]在[（0， 1）]上單調(diào)遞增。因?yàn)閇g（1）=0]且由第（1）問可知[g（1）>g（x1）]，所以有[f（2-x1）>f（x1）=f（x2）]。因?yàn)閇f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，所以有[2-x12]。因?yàn)楹瘮?shù)[f（x）]在點(diǎn)[（e， 0）]處的切線方程為[y=-x+e]，則令[F（x）=f（x）-y]，[x∈（0， e）]，所以[F'（x）=1-lnx>0]恒成立，則[F（x）]在[（0， e）]上單調(diào)遞增。因?yàn)閇f（e）=0]，所以[F（x）x1]，即[x1+x2

解法3：由[b ln a-a ln b=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[ln aa-ln bb=1b-1a]①，且由第（1）問可知[f（x）≤f（x）max=f（1）=1]，設(shè)[a>b]，則[ln aa-ln bb=1b-1a>0]，所以[1a+1b>2]②，由①[×]②得[1b2-1a2>2ln aa-ln bb]，則[1b2+2ln bb>1a2+2ln aa]。令[g（x）=1x2+2ln xx]，[x>0]，則[g'（x）=2x3x（1-lnx）-1=2x3f（x）-1≤0]恒成立，所以[1a+1b>2]成立。由①式變形可得[1a+ln aa=1b+ln bb]，即[f1a=f1b]。設(shè)[1a<1b]，由第（1）問可知[1a<1<1b]，則[a>1]。因?yàn)閇1a<1a+ln aa=1b+ln bb=1bln（eb）≤1b（eb-1）=e-1b]，所以[1a+1b

視角2：比值換元

解法4：由[b ln a-a ln b=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[1+ln aa=1+ln bb]，所以[f1a=f1b]，令[1a=x1]，[1b=x2]，[x11]，所以[x1（1-ln x1）=x2（1-ln x2）]。因?yàn)閇t=x2x1>1]，所以[x2=tx1]，則[x1（1-ln x1）=tx1（1-ln tx1）]，即[ln x1=1-ln t-ln tt-1]。因?yàn)閇t=x2x1>1]，所以[ln（x1+x2）=ln（x1+tx1）=ln x1+ln（t+1）=1-ln t-ln tt-1+ln（t+1）]。令[g（t）=1-ln t-ln tt-1+ln（t+1）]，[t>1]，所以[g'（t）=2-2t+（1+t）ln t（t+1）（t-1）2]。因?yàn)閇ln1t<1t-1]，所以[ln t+1t>1]，令[h（t）=2-2t+（1+t）ln t]，[t>1]，則有[h'（t）=lnt+1t-1>0]恒成立，所以[h（t）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增，所以[h（t）>h（1）=0]，則[g'（t）>0]恒成立，所以[g（t）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞增。因?yàn)閇ln（x1+x2）=g（t）]，所以[limt→1g（t）=ln2]，∴[ln（x1+x2）>ln2]，[x1+x2>2]成立，[ln（x1+x2）

視角3：同構(gòu)與放縮

解法5：由[blna-alnb=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[1+lnaa=1+lnbb]，所以[f1a=f1b]，令[1a=x1]，[1b=x2]，[x11]，所以[x1（1-ln x1）=x2（1-ln x2）]。由第（1）問可知[f（x）]在[（0， 1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，且[f（x1）=f（x2）]，所以易得[02]，即證[f（x2）0]，所以[g（x）]在[（0， 1）]上單調(diào)遞增。因?yàn)閇g（1）=0]且由第（1）問可知[g（1）>g（x1）]，所以有[f（2-x1）>f（x1）=f（x2）]。因?yàn)閇f（x）]在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減，所以有[2-x12]。因?yàn)閇x1（1-lnx1）=x2（1-lnx2）]且[x2（1-lnx2）>x1]，所以令[h（x）=x（1-lnx）+x]，[10]恒成立，所以[h（x）]在[（1， e）]上單調(diào)遞增，[h（x）

視角4：泰勒定理

解法6：由[b ln a-a ln b=a-b]兩邊同時(shí)除以[ab]可得[1a+1aln a=1b+1bln b]，所以有[1a-1aln1a=1b-1bln1b]。因?yàn)榈仁絻蛇吔Y(jié)構(gòu)一致，所以可構(gòu)造函數(shù)[f（x）=x-xln x]，[x>0]，則[f '（x）=-ln x]，易得函數(shù)[f（x）]在[（0， 1）]上單調(diào)遞增，在[（1，+∞）]上單調(diào)遞減。因?yàn)閇f ″（x）=- 1x]，[f ?（x）=1x2]，且[f ?（x）=1x2>0]恒成立，所以極值點(diǎn)左移，即[x1+x2>2]。因?yàn)楫?dāng)[00]，特別的[f（x1）>x1>0] ①，在[0f（x2）] ②，則用①[+]②可得[x1+x2

四、試題變式

變式是指教師通過采用科學(xué)合理的手段，有目的、有計(jì)劃地對(duì)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)換。通過不斷變換問題中的非本質(zhì)條件，保留本質(zhì)因素，從而使學(xué)生能夠掌握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性。陳景潤先生指出：“題有千變，貴在有根?！边@揭示了試題變式的內(nèi)核。下面針對(duì)例題的本質(zhì)——極值點(diǎn)偏移以及解答例題的方法進(jìn)行以下變式。

變式1：當(dāng)[0a-b]成立。

證明：因?yàn)閇a ln b-b ln a>a-b]等價(jià)于[ba>1-ln b1-ln a]，且[01-ln b1-ln a]，只需證[1-ln aa>1-ln bb]成立。構(gòu)造函數(shù)[f（x）=1-ln xx]，[x∈（0， e）]，則[f '（x）=ln x-2x2<0]，所以易得函數(shù)[f（x）]在[（0， e）]上單調(diào)遞減。因?yàn)閇0f（b）]，故不等式[a ln b-b ln a>a-b]成立。

變式2：當(dāng)[0

證明：要證[bea+a0]時(shí)，[g'（x）>0]恒成立，則函數(shù)[g（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，所以[g（x）>g（0）=0]，即[f '（x）>0]在[（0，+∞）]上恒成立，所以函數(shù)[f（x）]在[（0，+∞）]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)[0f（a）]，即[bea+a

變式3：已知[f（x）=x1-12ln x]，若[f（x）=a]有兩個(gè)不等實(shí)根[x1]，[x2]，求證：[1x1+1x2>2e]。

證明：設(shè)[t=1x]，[t>0]，則[g（t）=1t+ln t2t=2+ln t2t]（[t>0]），所以[g（t）=a]有兩個(gè)不等實(shí)根[t1]，[t2]。設(shè)[t12e]，即證[t1+t2>2e]。因?yàn)閇g'（t）=-2（1+ln t）4t2]，所以易得[g（t）]在[0， 1e]上單調(diào)遞增，在[1e，+∞]上單調(diào)遞減，即[g（t）max=g1e=e2]。因?yàn)閇f（x）=a]有兩個(gè)不等實(shí)根，所以[02e]，[01a]，即[1x1+1x2>2e]得證。

五、研究意義

（一）基于高考數(shù)學(xué)試題研究開展教學(xué)與復(fù)習(xí)具有重要價(jià)值

基于高考數(shù)學(xué)試題研究開展的數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)，其價(jià)值不僅體現(xiàn)在能為教師的日常教學(xué)導(dǎo)向，還對(duì)于教師的能力及讓學(xué)生養(yǎng)成研究高考數(shù)學(xué)試題的習(xí)慣有著促進(jìn)作用。教師行為習(xí)慣對(duì)學(xué)生的行為習(xí)慣養(yǎng)成有著不可忽視的作用。若教師都不進(jìn)行高考數(shù)學(xué)試題研究或者不善于對(duì)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行研究，那么學(xué)生也不會(huì)有研究高考數(shù)學(xué)試題的意識(shí)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種文化傳承，教師熱愛數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)、善于分析、勇于探究、積極合作與創(chuàng)新，其品質(zhì)和精神必然能潛移默化地感染學(xué)生。

（二）有效推進(jìn)教師開展高考數(shù)學(xué)試題研究

數(shù)學(xué)教師的專業(yè)水平想要得到有效提升，研究高考數(shù)學(xué)試題是一種有效的路徑。試題研究是教師的基本功，可以幫助教師對(duì)知識(shí)與考點(diǎn)進(jìn)行精準(zhǔn)“把脈”。大多數(shù)數(shù)學(xué)教師都有在研究高考數(shù)學(xué)試題，但是有部分教師對(duì)高考數(shù)學(xué)試題的研究僅僅停留在表面，比如只做本地區(qū)的高考數(shù)學(xué)試題，“刷”一遍全國高考數(shù)學(xué)試題或?yàn)g覽一遍全國各地的高考數(shù)學(xué)試題。只有對(duì)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，研究“一題多解”與“多題一解”，并對(duì)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行推廣與深化、創(chuàng)作與改編，思考高考數(shù)學(xué)試題的答題技巧與應(yīng)考對(duì)策等，才能充分體現(xiàn)研究高考數(shù)學(xué)試題的價(jià)值。

（三）積極組織學(xué)生開展高考數(shù)學(xué)試題研究

由于受自身知識(shí)和條件的限制，學(xué)生自己對(duì)高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行研究，效果往往不盡如人意。那么，教師應(yīng)如何組織學(xué)生有效開展高考數(shù)學(xué)試題的研究呢？教師可以給學(xué)生一些與試題相關(guān)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生分析試題蘊(yùn)含的知識(shí)點(diǎn)、考點(diǎn)及其呈現(xiàn)形式、解題方法及評(píng)價(jià)方式等。學(xué)生學(xué)會(huì)研究高考數(shù)學(xué)試題，那么其解題能力必將能得到有效提升，同時(shí)可以更好地自查知識(shí)漏洞、合理評(píng)價(jià)及認(rèn)識(shí)自我。當(dāng)然，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究高考數(shù)學(xué)試題并非一朝一夕就能實(shí)現(xiàn)，教師應(yīng)該給予學(xué)生充裕的時(shí)間，提供查閱同類試題的條件及必要的鼓勵(lì)。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 黨江平.極值點(diǎn)偏移問題的高等數(shù)學(xué)背景探究[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（5）：34-36.

[2]? 張芳華. 高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)研究[J].中學(xué)教學(xué)參考，2016（2）：7.

[3]? 王昌林. 緊抓真題本質(zhì) 扎實(shí)復(fù)習(xí)備考：2021年全國甲卷試卷系統(tǒng)分析與思考[J].教學(xué)考試，2021（38）：4-7.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）