巧借換元法，妙解代數(shù)題

陳建軍

換元法即通過引入適當(dāng)?shù)淖兞吭瑢⒎稚⒌臈l件聯(lián)系起來，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來，從而把復(fù)雜的計算和推證簡化，使問題輕松得解.利用換元法解數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵在于巧妙地選擇“新元”，靈活地進(jìn)行代換.下面就解題中常用的幾種換元方法舉例說明.

一、均值換元法

均值換元法就是對代數(shù)式中存在實質(zhì)聯(lián)系的兩部分，取它們的算術(shù)平均值，將這個算術(shù)平均值作為輔助元，由此架設(shè)解題“橋梁”，以達(dá)到解題的目的 .

例1分解因 式：①（a ?+ 3）4+（a ?+ 5） 4-706 ;

②（x ?2-9x ?+6）（x ?2-9x ?+10）+4.

分析：上述兩道因式分解題都可以采用均值換元法.①取 a ?+ 3與a ?+5的平均值作為輔助元 ，即把（a ?+ 3+a ?+5）=a ?+4作為一個整體，消去展開式中的奇次項后，很快就能分解出 因式.②本題可以看作是由x ?2-9x 重復(fù)出現(xiàn)構(gòu)成的，因此題干中的 x ?2-9x，x ?2-9x ?+6或 x ?2-9x ?+ 10都能作為輔助元，但相對而言，取 x ?2-9x ?+ 6+x ?2-9x ?+10的平均值作為輔 助?元，顯然要簡便得多.

評注：一般地，若題目能轉(zhuǎn)化為x+y=2S 形式時，常常采用均值換元法求解.

二、比值換元法

比值換元法是指在解答某些代數(shù)題時，當(dāng)題目中出現(xiàn)比例式或者經(jīng)過轉(zhuǎn)化變形可以得出比例式時，可以巧設(shè)比例式為輔助元，從而簡化運(yùn)算，順利解題.

例2

分析：上述兩道題中均含有比例式，可以借助比值換元法求值.①直接將比例式設(shè)為輔助元即可;②為了與所求目標(biāo)式x2+y2+z 相呼應(yīng)，需要對已知條件進(jìn)行變形，再將新的比例連等式設(shè)為輔助元.

解：

評注：若題目中出現(xiàn)比例等式，而按照常規(guī)方法解題有困難時，要注意結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，從比值換元入手.

三、常值換元法

常值換元法即把題目中某個已知數(shù)值用新的輔助元去替代，化已知為未知，變原來的主元為常量，從而使問題實現(xiàn)巧妙轉(zhuǎn)化，得以快速解答.

例3

分析：本題已知等式中含有 兩個未 知數(shù)，直接求值難度較大.若能轉(zhuǎn)變思路，把其中的常值2設(shè)為輔助元k，把問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的一元方程，則可以降低解題難度.

解：

評注：常值換元法體現(xiàn)了“反客為主”的思維策略，可使數(shù)字間的特征更加突出，規(guī)律更加明顯.這樣既更容易找到解題途徑，又可避免繁冗的數(shù)字運(yùn)算.

總之，常用的換元方法并非只有上述提及的三種，同學(xué)們在解題中也不能局限于一種解題方法，要注意發(fā)散思維，多方嘗試和探索，總結(jié)出行之有效的解題方法，并做到靈活遷移應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)解題能力.