通過“再創(chuàng)造”學習數學：“為何”與“何為”

摘要：弗賴登塔爾的《作為教育任務的數學》一書中，最基本的觀點可以概括為：通過再創(chuàng)造落實“有層次的系統化”，是學習數學的唯一正確的方法。這是由人類不同于動物的本性以及數學的特性所決定的。再創(chuàng)造包括四個層次：通過具體的案例（問題）感悟數學的性質、關系與規(guī)律（原理）;將原理應用于較復雜的情境;局部組織形成邏輯結構;整體組織形成公理體系。弗賴登塔爾的三個觀點對再創(chuàng)造的教學落實很重要：教材是教學法的顛倒;用數學化方法組織一個領域;發(fā)現和提出問題也是再創(chuàng)造。

關鍵詞：弗賴登塔爾;《作為教育任務的數學》;再創(chuàng)造;學習過程層次

荷蘭著名數學家和數學教育家弗賴登塔爾的數學教育思想集中體現在《作為教育任務的數學》一書中。該書中最有影響力的兩個觀點是：數學是系統化了的常識（數學觀）;學習數學的唯一正確的方法是實行“再創(chuàng)造”（數學教學觀）。前文已經談了“數學是系統化了的常識”的內涵及教育意義。①落實“有層次的系統化”的根本途徑是再創(chuàng)造，它為何是“學習數學的唯一正確的方法”？它的內涵與具體表現是什么？它在數學教學中如何落實？本文通過梳理、解讀《作為教育任務的數學》一書中比較零散和晦澀的論述來回答。

一、倡導“再創(chuàng)造”是人類以及數學的特性所決定的

人類歷史上，真正的創(chuàng)造與創(chuàng)新都非常困難，因為“自古以來，傳統是人類社會的凝

①劉加霞.“數學是系統化了的常識”的內涵及教育意義——《作為教育任務的數學》一書觀點評述之一[J].教育研究與評論，2022（3）：105-109.

固劑，法律、階級、風俗、習慣都凌駕于人類之上。實際上對抗傳統是危險的”①。但是，“將文化遺產作為現成的材料原封不動地傳授給青年人，這種做法太危險了。我們的教育應當為青年人創(chuàng)造機會，讓他們通過自己的活動獲得文化遺產，同時，應該讓他們學會自信，相信自己在學習過程中可以充分地施展自己的才能”②。學習數學也是這樣，必須通過數學活動（做數學）或者再創(chuàng)造。這是由人類不同于動物的本性以及數學的特性所決定的。

（一）人類必須且有能力進行主動學習

不像其他生物那樣具有比較完備的天賦本能（例如，出生不久即可行走、覓食），人類一生下來非常孤立無助?！按笞匀毁n給動物以即刻必需的本能，賜給人類的卻是一個機會與任務：獲得遺產并且占有它。”③人類因為沒有這種本能而需要學習許多體力與智力活動，這是人的本性：在接受與拒絕之間進行自由的選擇，選擇之后就能有目的、積極主動地學習。人類的學習是一個緩慢的過程，是能動地進行建構的過程，不能采用任何方法來強迫它。通過再創(chuàng)造來學習是人的本性使然。

（二）信息源的廣泛性打破了教師的權威歷史上，印刷術的出現防止了再一次自我封閉的惡性循環(huán)（手寫本永遠不能像印刷品那樣方便地傳播知識與科學），使書籍等材料接替了教師的權威。④而在互聯網、信息技術時代，信息源的廣泛性更是打破了教師的“知識霸主”地位，教師不再擁有不可侵犯的教條，學生也不再是仰師傅鼻息的徒弟。在一個小組中，沒有天生的權威，只有自然涌現出來的最成熟者，成為首席?？茖W不是教出來的，也不是學出來的，而是創(chuàng)造出來的。⑤學習不再是單一地接受教師的講解，數學學習的內容與方式必須轉變。

（三）數學的“模式化”比“模式”更重要

數學是關于算法、模式、策略的科學。較低層次的算法通過再創(chuàng)造而獲得是最有效的，其他較高層次的內容更應該通過再創(chuàng)造來獲得。程式化（模式化），即制造模式，比模式（本身）更為重要?！翱上覀儧]有有意識地去了解我們大多數的模式，看來這對教學是不利的，其實這也有有利的一面。因為我們沒有有意識地去了解，所以我們就不能將模式作為現成的東西有意識地教給學生，模式只能隱含在我們的程式化中?？梢悦鞔_教授的只有程式化，而不是模式?！雹?/p>

例如，不少小學教師對一些數學知識背后的原理、規(guī)律不清楚，反而無意地給學生探索發(fā)現原理、規(guī)律的時空，而不是“告知式”地把原理、規(guī)律作為“現成的數學”教給學生。教師對數學知識“知道得少”未必是壞事，只要有真誠、開放的心，就能夠與學生“同等待遇、公平地”去探究發(fā)現。但這需要教師有先進的學習觀，敢于給學生自主探究發(fā)現的時空與腳手架。

隨著人們思維的成熟，所占有的知識材料會愈來愈有密切的聯系，從而可以自成體系而不必硬去記住?！昂芏嘀R會被忘記，是被達到頂峰的人踢掉了梯子。”只有經歷再創(chuàng)造，學生才有可能成為“達到頂峰的人”。只有親身的經歷和感受，才是再創(chuàng)造的動力。

二、“再創(chuàng)造”的含義及層次表現

弗賴登塔爾在《作為教育任務的數學》一書中追述了蘇格拉底的“產婆術”、夸美紐斯的“大教學論”的主要觀點。雖然夸美紐斯提出“學生不僅通過語言，而且通過完整地感覺現實來學習”，但他還是強調教師“教”的重要

①②③④⑤⑥弗賴登塔爾作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：53，58，59，55，55，380。

性并提出“教的最好方法是演示”，弗賴登塔爾在此基礎上提出“學的最好方法是做”①。在弗賴登塔爾的論述中，再創(chuàng)造、數學化與做數學這三個術語的內涵基本一致。“將數學作為一種活動來進行解釋和分析，建立在這一基礎上的教學方法，我稱之為再創(chuàng)造方法，這個觀念在許多地方或遲或早地獨立形成?！雹陔m然人們普遍認可再創(chuàng)造，但在實踐中真正做到的卻不多，首先是概念理解的問題，即再創(chuàng)造到底指什么。

（一）基于學習層次理論的再創(chuàng)造

數學教育不應該把現成的數學定義、性質與規(guī)律等內容強加給學生，學習這些內容時必須含有創(chuàng)造的側面。這并非客觀意義上的創(chuàng)造，而是主觀意義上的創(chuàng)造，即從學生學習的視角看是創(chuàng)造，所以叫再創(chuàng)造。實際上，“數學家的數學結構也并非像書架上陳列的書那樣一成不變，而是每天都在變化，那為什么學生就應該學木乃伊式的數學呢”③。對學生和數學家應該同樣看待，讓他們擁有同樣的權利，那就是通過再創(chuàng)造來學習數學，而不是因襲和效仿。

弗賴登塔爾還明確指出：再創(chuàng)造不僅僅指發(fā)現或再發(fā)現。“最使我煩惱的是，對于再創(chuàng)造這個概念，大多數都作了太狹隘、太膚淺的解釋。”④他根據范·希爾夫婦提出的“學習過程的層次”理論，以完全歸納法為例，闡述了學習過程的四個層次：首先必須有例子以迫使學生發(fā)現完全歸納法，通過特殊例子，學生認識到普遍的原理;隨后又將其用于更復雜的情況;在掌握原理的基礎上，才能在教師的幫助下進行系統的闡述;最后在公理化方面有一些親身體驗的話，才能進入皮亞諾公理的軌道。⑤

學習的不同層次中都有再創(chuàng)造行為。在第一層次上，將直觀、具體的現實問題（范例）轉化為數學問題并解決，初步感悟一般的方法與原理;在第二層次上，將所獲得的原理應用于新的更復雜的情境，不只是更換或代入“數值”;在第三層次上，建立聯系，形成局部的有邏輯的結構;在第四層次上，形成嚴謹、演繹的整體性結構體系。弗賴登塔爾特別強調，“舉出新的案例”也是“再創(chuàng)造”的重要表現，例子比一般證明更能說服人，只有領會具體例子的人，才會理解一般證明。⑥

弗賴登塔爾將前兩個層次的再創(chuàng)造稱為“水平數學化（解決現實問題）”，后兩個稱為“垂直數學化（數學內部的結構化）”。

（二）高層次的再創(chuàng)造是一種“組織”

垂直數學化是高水平的再創(chuàng)造，其重要表現是局部組織與整體組織——可以說，再創(chuàng)造主要表現為組織化、結構化。尤其是局部組織在數學學習中無處不在，經過局部組織形成更一般的數學結構是再創(chuàng)造的典型表現。整體組織的最高水平是公理化（有數學家甚至認為只有經過公理化形成演繹結構體系的內容才能稱為“數學”。不過，這樣的觀點并不適合學生的數學學習）。

例如，在自然數范圍內，加、減、乘、除是四種不同的運算，加法和乘法滿足封閉性，減法與除法則不具有封閉性。能否重新組織數學內容，使減法與除法也具有封閉性呢？于是，人們“定義”了負數、有理數，從自然數擴充到整數、有理數數域。而且，數域擴充后，減法也是加法，即減一個數等于加這個數的相反數;除法也是乘法，即除以一個數等于乘這個數的倒數?？梢?，重新組織后，加法、乘法是更基本的運算。進一步說，《義務教育數學課程標準（2022年版）》特別強調的數與運算的一致性，實際上也是一種“組織與再組織”的結果，其根

①②③④⑤⑥弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：102-103，111，122，112，113，370.

本是數學概念之間的“聯系”。

類似地，不考慮圖形的長度與角度的可比性，只考慮直線性與平行性，則得到仿射幾何;不考慮平行性，只保持直線性，就得到射影幾何;再進一步，直線性作為結構的性質也被去掉，空間就簡化成了拓撲結構。從歐氏幾何到拓撲結構，也是再創(chuàng)造過程，是在結構化數學。①

經過再創(chuàng)造的重新組織，數學知識之間的關系更為簡潔與統一。而數學體系內部的和諧統一也能夠促進數學知識的發(fā)展。

（三）再創(chuàng)造需要從低層次到高層次發(fā)展再創(chuàng)造一般都是由低層次到高層次的，不能顛倒，不能將形式化、結構化的內容作為現成的數學“教或傳遞”給學生。同時，各層次間也具有一定的不連續(xù)性，即某些學生的學習曲線具有跳躍性，不同的學生學習同樣的內容時可能處于不同的層次。

最低層次的再創(chuàng)造是不可缺少的，但一定是“暫時的”。例如，在最低層次上，借助操練以獲得算法的自動化是必要的②，但不能像過去那樣被夸大。只有到了下一個層次，學生才會進行反思，并分析最低層次中的組織方法，這時，才開始有了點數學味道，雖然也還是最微不足道的形式，但不再是“開玩笑”了。③不給學生提供進入高層次的機會，就會使數學學習停頓甚至退化。教師要設計一些教學手段，讓學生從低層次到達高層次。

進入較高層次后，較低層次的活動就成為分析的對象。在第一層次上，有具體的問題或案例支撐，便于學生做數學，感知并體驗其中蘊含的性質、關系與規(guī)律;在第二層次上，將前一個層次感悟的性質、關系與規(guī)律進行運用，運用的過程也是再認識的過程;在第三層次上，前兩個層次的問題、案例以及感悟的性質、關系與規(guī)律被有意識地“局部地組織”成一個原理;第四層次的水平最高，是將前面的性質、關系與規(guī)律從公理化角度“再組織”，以得到一般化的結論，形成公理體系。

三、有助于數學教學中落實“再創(chuàng)造”的三個觀點

再創(chuàng)造在數學教學中的落實也不容易，因為教育作為一種人類活動，是非常復雜的，是一個從理想到現實、從要求到完成的長期過程，需要循序漸進。弗賴登塔爾的下述三個觀點值得借鑒。

（一）教材是教學法的顛倒

弗賴登塔爾有一個著名的論斷：教材是教學法的顛倒。④他在本書的序言中明確寫道：“像樂章的序曲一樣，序言通常是最后寫的，把它放在本書的最前面，這是一種寫作風格的反映。數學著作或數學教科書也是這樣，先呈現數學思考的結果。特別是對一些關鍵性的定義，它們其實是結構的最終筆觸，卻總被擺在最前面?！边@也就意味著，教學不是讓學生記憶掌握教材上的結論或結果等事實性知識，而要將其“顛倒過來”，“設想你當時已經有了現在的知識，你將是怎樣發(fā)現那些成果的”，“學生怎樣才能把他要學的知識‘再創(chuàng)造出來”⑤。

例如，“兩組對邊分別平行”“兩組對邊分別相等”“一組對邊平行且相等”“對角線互相平分”“兩組對角分別相等”等關于平行四邊形的論斷，哪個作為定義？哪些作為判定定

①弗賴登塔爾.數學教育再探——在中國的講學[M].劉意竹，楊剛，等譯.上海：上海教育出版社，1999：131.

②③⑤弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：131，118，序言1。

④傳統教材確實較少呈現某些概念、原理和某些問題是如何被探究、被解決的，但我國當下的數學教材則盡可能呈現出這個“過程”。當然，由于學生的思維、經驗是多樣化的，實際教學中學生的探究發(fā)現過程遠比教材上呈現的豐富，“教材是教學法的顛倒”仍成立。

理？這些命題是否都是等價的？這些問題都可以讓學生“自由探究”。一旦確定哪個作為定義后，其他命題都可以由定義出發(fā)經由邏輯推導得到，都可以重新局部組織形成一個演繹體系。讓學生探究，自主“下定義”“推性質”，比教師“教定義”“教性質”更合適，因為前者是再創(chuàng)造。

（二）用數學化方法組織一個領域

毫無疑問，學生的再創(chuàng)造（數學化）從最低的層次開始，也就是先對非數學內容進行數學化，以保證數學的應用性。但是，不能把數學化“狹隘化”，即將其理解成最低層次的活動，而要進到下一個層次，即至少能對數學內容進行局部的組織（整體地組織則常常要求過高）。例如，最時髦的提法就是為現實中某個微小而孤立的片段——所謂的“情境”進行數學化，也即為情境建立一個數學模型①，但這只是第一層次的數學化，“建立聯系、構建結構，形成局部組織”才是更需要關注的再創(chuàng)造的手段。

例如，對事物某些屬性的度量所形成的度量體系，也經歷了組織與再組織的過程。最先學習的是一維空間的度量，即長度，然后是二維、三維空間的度量，即面積、體積。將這三者組織起來可以發(fā)現，其具有共同的結構，即度量單位、度量單位的個數;同時滿足某些共同的性質，即運動不變性、合同性、有限可加性、自反性與傳遞性等。進一步組織可以發(fā)現，角度與常見的量（時間、人民幣、質量等）也具有前述結構和性質（但限于學生的知識與思維水平，后者的學習目標要求不同）。再進一步，甚至可以得出“自然科學的本質在于‘可度量，人文科學則‘難度量”等哲學觀點。

“用數學化方法組織一個領域”是保證實現數學整體結構的廣闊途徑，并非“金字塔的塔尖”。當然，組織到何種程度，還需要討論。情境與模型、問題與求解這些活動作為必不可少的局部組織手段是重要的，但它們都應該服從于總的方法。

（三）發(fā)現和提出問題也是再創(chuàng)造

再創(chuàng)造不只體現在解決問題上，從情境中發(fā)現和提出問題也是再創(chuàng)造。發(fā)現和提出問題大致可以分為三個階段：一是分析現實情境要素的關系與結構，進行抽象概括，將現實疑問變成結構不太良好的數學疑問——這是水平數學化的主要內容;二是通過初步的數學推理和運算，將數學疑問進一步明確，提出更為一般化、結構良好的數學問題;三是隨著數學思考的持續(xù)和深入，問題中的關系結構越來越清晰、明確，于是大膽提出猜想并加以證實。發(fā)現和提出數學疑問、問題和猜想，是數學化水平越來越高的過程。在這一過程中，學生能把要學習的知識，在教師的引導和幫助下，發(fā)現并創(chuàng)造出來。

總之，正如弗賴登塔爾所說，我們無法知道今天教給兒童的題材（即內容），是否就是他們未來需要的，但是我們可以教給兒童更為寶貴的東西，不是特定的題材，而是如何去掌握題材②，也就是“授之以漁”。當下，浪漫而激進的兒童和青少年要求更為個性化的教學，我們也要更加注重培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性。因此，“要讓他們像數學家那樣閱讀文獻，自由地再創(chuàng)造，使之具備正確的態(tài)度并掌握正確的方法，會在學習過程中進行循序漸進的再創(chuàng)造”③。

①②③弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，等編譯.上海：上海教育出版社，1995：124，59，151。