培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)高階思維的策略

梁宏暉

摘 要：鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑，可以幫助學(xué)生有能力去分析問題的本質(zhì)，形成良好的思維習(xí)慣，帶著嚴(yán)謹(jǐn)和批判的觀點去思考問題。數(shù)學(xué)高階思維能力的培養(yǎng)需要師生協(xié)作，策略包括教師的教學(xué)設(shè)計策略和學(xué)生的學(xué)習(xí)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)高階思維;教學(xué)設(shè)計策略;學(xué)習(xí)策略

什么是數(shù)學(xué)高階思維？蘇州大學(xué)周超教授認(rèn)為，高階思維是指具有靈活性、敏捷性、獨創(chuàng)性、深刻性和批判性的思維。對高中數(shù)學(xué)而言，高階思維就是學(xué)生在已獲得的數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念和符號、數(shù)學(xué)定理和公式等內(nèi)容以及解決數(shù)學(xué)問題的過程中，所表現(xiàn)出的深刻和透徹理解知識、準(zhǔn)確和迅速提取知識、靈活和廣泛運用知識的特點。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維，能夠讓其大腦得到充分的鍛煉，越用越靈活，并能夠適應(yīng)現(xiàn)代這個節(jié)奏快、競爭激烈的社會。因此，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力已成為當(dāng)下高中數(shù)學(xué)教育工作者們關(guān)心和探討的問題。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，能夠綜合體現(xiàn)學(xué)生具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀。數(shù)學(xué)常常被喻為“思維的體操”，良好的思維能力能夠幫助學(xué)生深刻透徹地理解數(shù)學(xué)知識，迅速準(zhǔn)確地提取數(shù)學(xué)知識，靈活廣泛地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。數(shù)學(xué)教育的核心是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力。因此，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑是實施數(shù)學(xué)思維教育，這是實現(xiàn)素質(zhì)教育中人的全面發(fā)展的要求[1]。

那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力呢？

一、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)高階思維的教學(xué)設(shè)計策略

（一）促進(jìn)深刻、透徹理解知識的教學(xué)設(shè)計策略

基本的數(shù)學(xué)知識包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理和公式等。學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵是加強數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，這也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的關(guān)鍵。高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的重要組成部分是以數(shù)學(xué)概念為基礎(chǔ)來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)定理和公式的，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維的主要途徑。

1.密切聯(lián)系生活，弱化數(shù)學(xué)知識的抽象性

數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理等都具有抽象性和具體性，但是許多數(shù)學(xué)概念的形成以及數(shù)學(xué)定理的證明和公式的發(fā)現(xiàn)都是因為實際生活的需要。如三角學(xué)的內(nèi)容是由于以前計算田地面積的需要、對數(shù)的發(fā)明是由于天文學(xué)家們計算的需要等。很多數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理的原型都可以在現(xiàn)實生活中找到。在教學(xué)時，教師可以舉一些生活實例，將一些生活問題轉(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)問題來研究。教師不是直接給出概念的內(nèi)容，而是讓學(xué)生去經(jīng)歷這些數(shù)學(xué)概念形成的過程，不是被動接受概念，主動地探索概念，主動地建構(gòu)知識體系的過程有助于學(xué)生更加深刻和透徹地理解數(shù)學(xué)概念[2]。

2.貫通數(shù)學(xué)語言，強化數(shù)學(xué)知識的可感性

數(shù)學(xué)知識除了具有抽象性和具體性，還具有可感性和約定性?？筛行跃褪窃谏畋尘爸锌梢詼?zhǔn)確感知這個知識的模型，比如，表示平行四邊形、梯形、長方體有特定的圖形語言等。約定性就是這個概念是約定俗成的，大家一致認(rèn)同的。教師在上數(shù)學(xué)課時，要結(jié)合日常語言、教學(xué)語言和數(shù)學(xué)語言將抽象難懂的教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成為學(xué)生容易理解的數(shù)學(xué)教學(xué)語言[3]。

數(shù)學(xué)語言根據(jù)不同的表述形式可分為數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)文字和數(shù)學(xué)圖形這三種語言。比如，在高中數(shù)學(xué)必修二“立體幾何初步”這一章節(jié)中，學(xué)習(xí)空間圖形的基本位置關(guān)系時，包括點與線、點與面、線與線、線與面、面與面這五種，它們的位置關(guān)系可以分別用文字、圖形和符號三種語言來表示，教師要著重幫助學(xué)生理解圖形語言和符號語言，引導(dǎo)學(xué)生靈活地轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)語言[4]。

3.引入數(shù)學(xué)史料，強化數(shù)學(xué)知識的可再發(fā)現(xiàn)性

數(shù)學(xué)定理和公式在人類社會中是客觀存在的，但是最開始沒有把它們表示成簡約有邏輯的形式，是很多從事數(shù)學(xué)研究的研究者們經(jīng)過嘗試、證明等得到的，所以數(shù)學(xué)定理和公式的得出都有章可循。教師要讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)定理和公式的發(fā)現(xiàn)過程，學(xué)生不是作為“旁觀者”去觀看結(jié)果的直接呈現(xiàn)，而是積極的“參與者”。學(xué)生參與的過程就是在教師的引導(dǎo)下，運用所學(xué)知識去主動建構(gòu)，而不是被動接受。這種方法相較于傳統(tǒng)的教學(xué)方法，如“填鴨式”“灌輸式”等更能激發(fā)學(xué)生的求知欲。學(xué)生從不同的角度和層面去發(fā)現(xiàn)、接受、理解所學(xué)內(nèi)容，達(dá)到對所學(xué)知識理解得深刻和透徹的程度，達(dá)到數(shù)學(xué)高階思維的初級階段。

（二）促進(jìn)準(zhǔn)確和迅速地提取知識的教學(xué)設(shè)計策略

1.構(gòu)建思維導(dǎo)圖，強化數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)性

思維導(dǎo)圖從一個數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理或者數(shù)學(xué)公式等中心詞匯出發(fā)，以學(xué)生自己的思維方式向外延伸出與這個中心詞匯相關(guān)的其他內(nèi)容，使之成為一個網(wǎng)絡(luò)圖，一個節(jié)點連著一個節(jié)點，對相關(guān)知識的回憶可以順著線、順著節(jié)點逐一回想起來。制作思維導(dǎo)圖的過程，也就是對所學(xué)知識進(jìn)行梳理和加工的過程，以此加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解程度，在解決數(shù)學(xué)問題的時候，能準(zhǔn)確和迅速地提取數(shù)學(xué)知識，這對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維發(fā)揮著很大的作用。

2.剖析典型例題，強化數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性

高階數(shù)學(xué)思維不僅僅要求正確率，對解決問題的速度也有要求。特別是在限時的練習(xí)和考試中，有些學(xué)生平時的練習(xí)題和作業(yè)等做得很不錯，正確率很高，但是在數(shù)學(xué)考試中會出現(xiàn)“平時做得出，考時沒有思路”的情況。主要原因就是在知識提取的過程中出現(xiàn)故障，考試時難免出現(xiàn)緊張情緒，如果對知識掌握不牢固，知識之間聯(lián)系不緊密，在緊張的情況下很容易想不到解題思路。當(dāng)然，在實際的教學(xué)過程中也會出現(xiàn)教師僅僅關(guān)注數(shù)學(xué)定理和公式的應(yīng)用而忽略了其發(fā)現(xiàn)和證明過程的現(xiàn)象，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)定理和公式的應(yīng)用出現(xiàn)問題。有的學(xué)生會大概記住數(shù)學(xué)定理和公式的內(nèi)容，只知其然，而不知其所以然，結(jié)果在使用定理和公式時就出現(xiàn)印象模糊和使用錯誤的現(xiàn)象，這就是弊端。

3.引導(dǎo)主動探究，弱化數(shù)學(xué)知識的邏輯性

建構(gòu)主義強調(diào)讓學(xué)生主動學(xué)習(xí)、自己建構(gòu)，并且認(rèn)為這樣獲得的知識對學(xué)生來說才是有意義的知識。因為學(xué)生自己探究發(fā)現(xiàn)的知識在頭腦中保存的時間和清晰度更加有保證，在提取時的速度和準(zhǔn)確度才會更高。學(xué)生在主動探究和交流的過程中想法、角度不同，就會出現(xiàn)碰撞，在交流和磨合的過程中加深自己對知識的理解，在頭腦中建立自己的邏輯性。如習(xí)題課的教學(xué)、定理內(nèi)容的發(fā)現(xiàn)、證明過程等都可以采用引導(dǎo)學(xué)生主動探究的策略。這樣不僅能夠保證學(xué)生上課的注意力，還能在探究討論的過程中潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生準(zhǔn)確和迅速地提取知識的能力。

（三）促進(jìn)靈活和廣泛地應(yīng)用知識的教學(xué)設(shè)計策略

直到20世紀(jì)80年代，“問題解決”的思想才傳入我國，引起教育界廣泛關(guān)注，并成為中小學(xué)教學(xué)的重點。針對數(shù)學(xué)這個科目，學(xué)生是否擁有高階思維直接體現(xiàn)為他們在解決數(shù)學(xué)問題時是否準(zhǔn)確、高效。數(shù)學(xué)教育的最終目的就是解決問題，即利用已有的知識結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)，對抽象的形式思想材料進(jìn)行加工的過程。如果說應(yīng)試教育解決的是單純的考試題目問題，那么素質(zhì)教育解決的是包括生活、工作和學(xué)習(xí)中的問題[5]。

1.甄別問題類型，弱化數(shù)學(xué)問題的難度

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容本來就豐富又復(fù)雜，區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)問題類型的過程就是一個梳理知識的過程，哪一個知識點適合解什么樣的題目，哪一類的題目可以運用什么樣的知識點，時間久了養(yǎng)成習(xí)慣，學(xué)生就可以自覺地對知識點和數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分類。知識應(yīng)用的程度就可以得到保證。比如，在學(xué)習(xí)二面角的平面角的求法時先給學(xué)生介紹目前學(xué)習(xí)的知識能夠求二面角的三種解法：定義法、垂面法和垂線法。再分別介紹這三種方法的使用情況，那么學(xué)生在解決相關(guān)的二面角的題目時就會判斷這個題目可以根據(jù)哪個方法做出來。

2.不同角度分析，提升數(shù)學(xué)問題的思考力

一個學(xué)生擁有數(shù)學(xué)高階思維，其中重要的一個特點是能夠靈活和廣泛地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，體現(xiàn)為能夠從不同的角度去分析題目、解決問題，找出一個題目的不同解決方法。在上課時學(xué)生的思路和想法往往并不總是按照教師預(yù)設(shè)的想法發(fā)展的，有時會出現(xiàn)教師意料之外的想法。這種思路是學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知發(fā)展中的真實狀態(tài)，是思維遇到障礙的關(guān)鍵所在，能夠暴露出學(xué)生對某一個知識點的理解可能有些片面或者錯誤。這種思路無論是對學(xué)生來說還是對教師來說都是寶貴的資源。因此，教師不能一味地否定學(xué)生的想法，要抓住時機幫助學(xué)生建構(gòu)自己的知識體系。面對學(xué)生超預(yù)期的思路，由于不同學(xué)生考慮問題的方式和習(xí)慣不同，教師可以通過翻轉(zhuǎn)課堂把不同學(xué)生的想法呈現(xiàn)出來，既能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能給學(xué)生提供不同的解題思路。

二、培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)高階思維的策略

（一）端正學(xué)習(xí)態(tài)度

學(xué)生要有一個積極主動的學(xué)習(xí)態(tài)度。學(xué)生學(xué)習(xí)的深度、廣度、速度和效率很大程度上取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度。家庭環(huán)境、班主任管理、班級歸屬感和同伴關(guān)系等多種因素都會影響學(xué)習(xí)態(tài)度的好壞，所以，需要家長、學(xué)校、教師和學(xué)生共同努力去培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)態(tài)度。從學(xué)生自身的角度來講，要提高課堂的參與度，積極回答問題，跟著教師的思路走。

（二）培養(yǎng)預(yù)習(xí)習(xí)慣

為了增加聽課的針對性，能夠從一節(jié)課中迅速地抓住教師所講內(nèi)容的重難點，這就需要學(xué)生在課前養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，即提前自學(xué)教材知識，自主思考并解決問題，在遇到一些超出自己能力范圍的問題時，可將其記錄下來，以便帶著問題去聽課。比如，在高中學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時，函數(shù)的定義和初中有所不同，初中是“變量說”，高中則是“對應(yīng)說”。為什么對于同一個數(shù)學(xué)概念有不同的定義呢？兩種定義之間有何區(qū)別？為什么函數(shù)的概念可以發(fā)生變化呢？函數(shù)有哪些不可以改變的性質(zhì)呢？通過這樣的反思和思考，學(xué)生對函數(shù)概念的理解就有一個更高層次的提升，不再是僅僅記住函數(shù)這個概念的數(shù)學(xué)語言。這樣的理解記憶比機械記憶在大腦中存儲的時間更長，且準(zhǔn)確率也會提高。

（三）學(xué)會課后總結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)完新的數(shù)學(xué)知識后，無論是數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理還是數(shù)學(xué)公式等都要對其進(jìn)行整合和總結(jié)。對于數(shù)學(xué)概念來說，其前后連貫性沒有數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式那么明顯，對數(shù)學(xué)概念的深刻理解主要是在教師的引導(dǎo)下了解這個概念提出的背景，這個概念被抽象和概括出的過程，理解這個概念的內(nèi)涵和外延，理解與這個概念有關(guān)聯(lián)的其他概念的區(qū)別和聯(lián)系。比如，在高一年級學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)，最開始指數(shù)形式是正整數(shù)的形式，后面是推廣到整數(shù)，再推廣到整個實數(shù)的范圍就是一個上位學(xué)習(xí)的過程。將之前認(rèn)知系統(tǒng)中已有的知識納入新學(xué)習(xí)的范圍更廣、包括度更大的知識中，讓之前學(xué)習(xí)的知識得到升華，新學(xué)習(xí)的知識得到鞏固。

（四）建構(gòu)思維導(dǎo)圖

首先，學(xué)生要在教師的指導(dǎo)下養(yǎng)成畫思維導(dǎo)圖的習(xí)慣，畫思維導(dǎo)圖的過程就是讓大腦無限次地聯(lián)想，填充知識的空白，讓所學(xué)知識更加完整，思維更加靈活。一個好的思維導(dǎo)圖能夠把各個知識點之間的關(guān)系清晰地反映出來，能夠幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)過的知識進(jìn)行梳理，以便實現(xiàn)知識間的遷移和重組等。

其次，學(xué)生在課后做練習(xí)或者自己復(fù)習(xí)的過程中，要充分調(diào)動自己的知識去分析題目，試著探尋這個題目的不同解決方法來鞏固思維導(dǎo)圖的知識網(wǎng)絡(luò)。雖然得到的思路可能與預(yù)期的解題方法有些偏離，但是那才是對自己真正思維過程的反映，也是自身努力的成果，這個思路可能不適用這個題目，但它可能是另外一種類型題目的解題思路。

（五）養(yǎng)成反思習(xí)慣

數(shù)學(xué)思維活動的核心動力是反思。作為一種積極的探究行為，反思可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中溝通新舊知識間的聯(lián)系，深化對知識的理解。在遇到問題時，學(xué)生會出現(xiàn)“頓悟”，突然靈光一現(xiàn)想到了方法，但是由于沒有通過反思將這種方法或者思路在腦海中加以鞏固，根據(jù)艾賓浩斯的遺忘規(guī)律，時間長了就會出現(xiàn)遺忘的現(xiàn)象，影響對知識提取的準(zhǔn)確和迅速。反思的過程可以發(fā)生在課前預(yù)習(xí)中、上課進(jìn)行時、下課復(fù)習(xí)時，以及解決數(shù)學(xué)問題的過程中。如果能養(yǎng)成在學(xué)習(xí)的整個過程中經(jīng)常進(jìn)行反思的良好習(xí)慣，那么對學(xué)生的反思能力以及學(xué)習(xí)效率的提高都有很大的幫助[6]。

結(jié)束語

錢學(xué)森教授曾一語中的地指出：“教育工作的最終機制在于人腦的思維過程?！备唠A思維能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，作為一種數(shù)學(xué)思維方法，它是在不斷解決數(shù)學(xué)問題的過程中去不斷總結(jié)數(shù)學(xué)經(jīng)驗，久而久之形成的。高階思維能力一旦形成，有助于幫助學(xué)生解決不同的數(shù)學(xué)問題。高階思維能力的培養(yǎng)需要師生的共同配合。一方面，教師應(yīng)該不斷地總結(jié)、反思和改進(jìn)自己的教學(xué)，探尋開展高階思維訓(xùn)練的方法與途徑;另一方面，學(xué)生應(yīng)該培養(yǎng)積極鉆研的學(xué)習(xí)習(xí)慣，自主學(xué)習(xí)，自主探索，樂學(xué)善學(xué)，學(xué)有所得，不斷提升數(shù)學(xué)思維能力和學(xué)科素養(yǎng)。唯有如此，數(shù)學(xué)的課堂才是精彩的，學(xué)生才能走得更遠(yuǎn)更好。

參考文獻(xiàn)

[1]康文亮.高中生數(shù)學(xué)建模思維的培養(yǎng)研究[J].教學(xué)管理與教育研究，2022，7（4）：67-68.

[2]王述發(fā).培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維[J].清風(fēng)，2021（22）：58.

[3]李振國.核心素養(yǎng)視域下高中生數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)[J].教學(xué)管理與教育研究，2021（18）：66-68.

[4]陳蓓.高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價研究[D].南京：南京師范大學(xué)，2017.

[5]梁蔚.培養(yǎng)初中學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的相關(guān)思考[J].當(dāng)代家庭教育，2019（25）：89.

[6]張玲玲.設(shè)計有效問題，引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)[J].考試與評價，2021（1）：29.