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    例說全概率公式理解與應(yīng)用的三個層次

    2022-05-30 04:20:35金毅
    關(guān)鍵詞:拓展概念應(yīng)用

    金毅

    摘要:本文從概念層次、應(yīng)用層次、拓展層次上對全概率公式進(jìn)行解讀.全概率公式是條件概率概念的延伸,應(yīng)用的關(guān)鍵是對樣本空間做好劃分,它還可以描述動態(tài)的概率過程.同時,列舉3道例題對公式的理解和應(yīng)用做具體說明. 逐漸建立全概率公式從概念到應(yīng)用的思路過程,拓寬全概率公式的應(yīng)用視野,并詳細(xì)說明應(yīng)用過程中的細(xì)節(jié)問題.

    關(guān)鍵詞:全概率公式;概念;應(yīng)用;拓展

    中圖分類號:G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1008-0333(2022)19-0047-04

    我們知道,“條件概率”是舊課標(biāo)教材當(dāng)中要求掌握的部分,新的課程改革在原有內(nèi)容基礎(chǔ)之上,增加了全概率公式與貝葉斯公式. 全概率公式在新版高中數(shù)學(xué)教材中被重點進(jìn)行介紹,并具備“承上啟下”的關(guān)鍵過渡作用,在表現(xiàn)形式上拓展了條件概率,同時也作為貝葉斯公式成立的理論基礎(chǔ). 所以,對全概率公式的掌握是至為重要的. 我們將由淺入深地從三個層次——概念層次、應(yīng)用層次、拓展層次上對全概率公式進(jìn)行解讀,明確其概念和應(yīng)用.

    1 概念層次:全概率公式是對條件概率概念的繼承和發(fā)展

    2 應(yīng)用層次:全概率公式應(yīng)用的關(guān)鍵是對樣本空間做好劃分

    3 拓展層次:全概率公式是描述動態(tài)概率過程的重要工具

    經(jīng)過剛才的分析,我們可以看到,全概率公式的理論基礎(chǔ)是基于條件概率,條件概率在刻畫事件之間的關(guān)系中更具備一般性.在一些數(shù)學(xué)問題中,全概率公式往往能夠與數(shù)列遞推式結(jié)合在一起,具體例子如同下面的例3. 這道題目很多同學(xué)和老師在解決以后都會存在一些疑惑:究竟題目中的遞推式是怎么推出來的,如果不給這個遞推式,根據(jù)題目中的已知信息,我們能自己推導(dǎo)出這個遞推式嗎?我們一起來看下面的分析.

    例3(2019全國Ⅰ卷)為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動物實驗,試驗方案如下:每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗,對于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥. 一輪治療的結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗. 當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時,就停止試驗,并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效. 為了方便描述問題,約定:對于每輪試驗,若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈,則甲藥得1分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈,則乙藥得1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈均得零分. 甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β,一輪試驗中甲藥的得分記為X.

    這樣題目中的表達(dá)式就被我們推導(dǎo)出來了,可以看到,本題就是基于全概率公式進(jìn)行構(gòu)造的. 同時,pi的數(shù)值構(gòu)成了一個新數(shù)列,所以,后續(xù)的處理是基于數(shù)列遞推式的處理技巧,限于篇幅,我們不做過多分析. 但是,這說明了很重要的一點,就是隨著i的變化,概率值也在發(fā)生變化,所以,這是一個動態(tài)的概率過程. 那么描述這個動態(tài)的概率過程的重要工具就是全概率公式. 所以,全概率公式在描述這樣的問題時有非常便捷的作用. 如果把甲藥的累計分?jǐn)?shù)看作數(shù)軸上的點,那么每一次試驗積分即相當(dāng)于當(dāng)前積分“向前”“向后”移動一個位置或者“不動”,這即是數(shù)軸上的“隨機(jī)游走”問題. 我們不去過多介紹具體的理論背景,但是這種類似問題的突破關(guān)鍵就是“全概率公式”,我們可以用全概率公式來描述動態(tài)的概率問題.

    4 總結(jié)與反思

    全概率公式是目前高中數(shù)學(xué)新教材的新增內(nèi)容,在新課標(biāo)和新高考中必然會居于重要地位. 在學(xué)習(xí)中,要首先明確條件概率的概念和公式,在此基礎(chǔ)上才能夠?qū)θ怕使郊由罾斫? 進(jìn)一步地,要學(xué)會劃分樣本空間,學(xué)會“執(zhí)果索因”,才能夠在一個具體問題中知道什么時候應(yīng)用全概率公式,能夠做到“理解并記憶”. 最后要明確全概率公式在一些更加復(fù)雜的問題中,可以描述動態(tài)的概率過程,明確其“工具性”,這樣能夠在實際問題中建立應(yīng)用全概率公式的基本意識. 希望大家對全概率公式不再感到陌生,要敢用,會用,掌握好統(tǒng)計與概率,為后續(xù)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)開辟道路.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 田曉蘭.全概率公式在解題中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2015(23):100.

    [2] 曹宇菁.全概率公式的推廣及其應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識,2014,44(22):305-308.

    [3] 符方健.全概率公及其應(yīng)用技巧[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011,14(02):52-55.

    [責(zé)任編輯:李璟]

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