文科的面孔 理科的難度

謝飛燕

[摘? 要] 文章對2021年新高考全國Ⅰ卷立體幾何解答題進行了評析，指出其“文科的面孔，理科的難度”特點，針對考生的典型錯誤，提出了相關(guān)的教學(xué)啟示.

[關(guān)鍵詞] 立體幾何;核心素養(yǎng);教學(xué)啟示

2021年新高考全國Ⅰ卷的數(shù)學(xué)卷沒了文理之別，往年立體幾何解答題一般以棱柱或棱錐為載體分步設(shè)問：第一步，常以平行、垂直證明為主;第二步，文科主要考查幾何體的表面積和體積的計算等，理科主要考查線線角、線面角和二面角的計算.以往理科難度比文科大，那么如今新高考的立體幾何解答題是“偏文”還是“偏理”呢？2021年新高考全國Ⅰ卷立體幾何解答題的第二步以求幾何體的體積為主，實質(zhì)是求二面角，具有“文科的面孔，理科的難度”特點. 下面筆者通過深入剖析此題的典型錯誤并提出相關(guān)的教學(xué)啟示.

原題 如圖1所示，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點.

（1）證明：OA⊥CD;

（2）若△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

[?]解法介紹

對于第（1）問：因為AB=AD，O為BD的中點，所以AO⊥BD. 又平面ABD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，因此AO⊥平面BCD. 又CD?平面BCD，所以AO⊥CD.

對于第（2）問：

1. 幾何法

作EF⊥BD于F，則EF∥AO;作FM⊥BC于M，連接EM，如圖2所示.

因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD，AO⊥CD，所以EF⊥BD，EF⊥CD. 又BD∩CD=D，BD?平面BCD，CD?平面BCD，所以EF⊥平面BCD.

因為BC?平面BCD，所以EF⊥BC.又FM⊥BC，F(xiàn)M∩EF=F，F(xiàn)M?平面EFM，EF?平面EFM，所以BC⊥平面EFM. 又ME?平面EFM，所以BC⊥EM，則∠EMF為二面角E-BC-D的平面角，所以∠EMF=.

因為BO=OD，△OCD為正三角形，所以BO=OC，則∠OBC=∠OCB=30°.

因為DE=2EA，所以在Rt△FMB中，F(xiàn)M=BF·sin∠OBC=×

因為AO⊥平面BCD，所以三棱錐A-BCD的體積V=AO·S=×1××1×=.

2. 坐標(biāo)法

取OD的中點F，因為△OCD是正三角形，所以CF⊥OD，過O作OM∥CF與BC相交于點M，則OM⊥OD，所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直.

以點O為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)M，OD，OA為x軸、y軸、z軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，-1，0），C

[?]試題分析

1. 題目設(shè)置順序

2021年新高考破例把立體幾何解答題放在后三題中，可見其難度有所加強，令許多考生措手不及，但也是預(yù)料之中. 因為新高考取消了往年的解答選做題，所以立體幾何題往后移了一個位置，位于解答題第四題，所以難度較往年有所增加，相對于往年的理科立體幾何解答題的難度也是略有提升的.新高考立體幾何解答題放在大題的后三道將會成為常態(tài)，說明新高考對數(shù)學(xué)六大主干知識里的立體幾何的要求有所提升.

2. 題目考查內(nèi)容

本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的定義、線線垂直的證明及三棱錐體積的求解;考查了考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. 典型錯誤

（1）空間圖形的位置關(guān)系混亂，缺乏直觀想象核心素養(yǎng).

在第（1）問中，有不少考生憑感覺由平面ABD⊥平面BCD直接得出OA⊥平面BCD，可能是受到“平面與平面平行則其中一個平面內(nèi)的任一直線都與另一個平面平行”的影響，究其原因，主要是考生對空間圖形位置關(guān)系的理解混亂，缺乏直觀想象能力而造成了錯誤. 同樣，在第（2）問中，不少考生也會犯這樣的錯誤：由平面ABD⊥平面BCD得出OC⊥平面ABD，接著錯誤地認(rèn)為OA，OB和OC是兩兩垂直的直線并以它們分別為坐標(biāo)軸建立錯誤的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)然最后就是“一錯全錯”.

在第（2）問中，采用傳統(tǒng)的幾何法尋求二面角的平面角時，有些考生出現(xiàn)了雜亂無章的由線面垂直與線線垂直得出二面角的平面角是∠EMF，過程是錯誤的但又能寫出正確的結(jié)論，充分暴露了其對空間圖形位置關(guān)系的理解不到位.

（2）解題“對而不全”，邏輯推理不夠嚴(yán)謹(jǐn).

在第（1）問中，有些考生能夠根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理推導(dǎo)出OA⊥平面BCD，但沒有能夠把定理中的四個條件一一羅列出來，最典型的錯誤是遺漏了直線在平面內(nèi)即OA?平面ABD;也有少數(shù)考生缺少了關(guān)鍵的條件平面ABD∩平面BCD=BD，沒有說明平面與平面的相交線，可能是考生把平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理混淆了，在平時的教學(xué)中教師可以要求學(xué)生對這兩個定理進行對比記憶，應(yīng)該不難理解.

在第（2）問中，采用傳統(tǒng)的幾何法“找角與證角”的過程中，兩次用到了直線與平面垂直的判定定理，考生在平時的訓(xùn)練中應(yīng)該會很熟悉，但不夠細(xì)心，典型的錯誤就是把FM∩EF=F給丟掉了，從而丟分了，說明其對課本中立體幾何的重要定理理解得不夠透徹，未能把握其真諦，造成“對而不全”的錯誤.

（3）解題“懂而不會”，數(shù)學(xué)運算錯漏百出.

在第（2）問中，采用幾何法求解時，不少考生犯了一個典型的錯誤：不能由BF=1+=推導(dǎo)出FM=BF=而導(dǎo)致解題到此止步不前. 本來是一個簡單的平面幾何知識的應(yīng)用，但考生面對相對繁雜的多個三角形或由于對多個三角形的關(guān)系不清楚，導(dǎo)致不能正確地求出∠FBM=30°，最終無法得出FM的值，這是典型的“懂而不會”的錯誤.

在第（2）問中，采用坐標(biāo)法求解時，建立了空間直角坐標(biāo)系后，求解點E與C的坐標(biāo)，不少考生互換了兩點的橫縱坐標(biāo). 計算法向量時，由于多了字母t的干擾，部分考生認(rèn)為復(fù)雜而“望而生畏”，停滯不前;部分考生求解法向量時取了t=1，法向量中沒有了參數(shù)t，雖然最終答案是正確的，但不是正確的做法.

4. 教學(xué)啟示

（1）注重坐標(biāo)法的過程性教學(xué)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

對于立體幾何解答題，很多考生無論如何都會想盡辦法去建立空間直角坐標(biāo)系解題，但本題建立空間直角坐標(biāo)系是有一定困難的，多數(shù)考生由于對坐標(biāo)系的基本要求不太理解，最終造成了不必要的錯誤. 在平時的立體幾何教學(xué)中，教師應(yīng)該注重坐標(biāo)法的過程性教學(xué)，每個步驟都不可忽略，強調(diào)確保有兩兩垂直的三線才能建立空間直角坐標(biāo)系.

另外，坐標(biāo)法中的數(shù)學(xué)運算讓不少考生“懂而不會”，加強考生的數(shù)學(xué)運算能力迫在眉睫.部分考生對含有分?jǐn)?shù)、根號、負(fù)號的運算特別畏懼，而且運算速度慢，要想拿高分，運算能力是一道門檻.因此在平時的教學(xué)中，教師要“舍得”花時間讓學(xué)生在課堂上進行數(shù)學(xué)運算的練習(xí)，不能為了完成教學(xué)進度而匆忙.

（2）加強幾何法的教學(xué)，提升學(xué)生直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

題目用幾何法求解可能容易一些，而且是平時的教學(xué)中常用的求二面角的方法，即三垂線定理法：過二面角其中一個平面上的點A作另一個平面的垂線（垂足為B），過垂足B向二面角的棱作垂線（垂足為C），連接AC，則∠ACB為二面角的平面角. 教師應(yīng)教會學(xué)生這個尋找二面角的平面角的基本方法. 但由于教材中刪減了三垂線定理，所以證明二面角的平面角時要用到直線與平面垂直的判定定理，既能讓學(xué)生發(fā)揮其直觀想象能力，也能鍛煉其邏輯推理能力.

（3）關(guān)注新課改，加強新舊教材的比較研究.

對于實行新高考使用舊教材的省份，若能夠結(jié)合新課標(biāo)在核心素養(yǎng)方面的要求[1]，在高三復(fù)習(xí)的教學(xué)中關(guān)注新教材的內(nèi)容變化，可以給我們指明一定的方向. 新舊教材的重合部分是教學(xué)的重要內(nèi)容也是高考的重點，新舊教材的不同部分是我們教學(xué)變革的內(nèi)容也是高考中“穩(wěn)中有變”的“變”的部分，立體幾何模塊中，新舊教材都借助了大量的生活實物圖片[2]，幫助學(xué)生認(rèn)識生活中簡單物體的立體結(jié)構(gòu)，運用這樣的方式向考生呈現(xiàn)立體幾何知識，符合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，直觀想象始終是立體幾何教學(xué)與高考中的重點考查的核心素養(yǎng). 另外，對新舊教材的例習(xí)題進行比較分析后發(fā)現(xiàn)：新教材的題目更注重對知識的“識記”與“理解”，難度較低，同時，新教材在一定程度上提高了推理題的比例[3]，注重培養(yǎng)學(xué)生推理證明的能力，所以新高考更加注重考查考生的邏輯推理能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017（11）：1-6.

[3]? 章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的立體幾何教材變革（續(xù)）[J]. 數(shù)學(xué)通報，2017（12）：1-3+20.