回歸根本，探尋解題之道

韓輝冰

[摘 ?要] 幾何題千變?nèi)f化，萬變不離其宗，追本溯源，以不變應(yīng)萬變，是教師的授課之道. “將軍飲馬”問題是多線段和最短問題， 解題依據(jù)是兩點(diǎn)之間線段最短，通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)將多線段和的問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間線段最短問題.

[關(guān)鍵詞] 線段和;兩點(diǎn)間距離;轉(zhuǎn)化

“將軍飲馬”問題是中考熱門考點(diǎn)，且大多數(shù)是求線段和最短問題. 在遇到這一問題時通常的做法是采用對稱、平移將線段和問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間線段最短問題來求解，并沒有過多探尋這樣做的原因及其達(dá)到的目的. 下面根據(jù)筆者在進(jìn)行“將軍飲馬”問題專題復(fù)習(xí)時的思路，對線段和問題的做法根本進(jìn)行探討，并由此將“將軍飲馬”問題進(jìn)行拓展.

模型分析，找尋根本

解決幾何問題的通常做法是找到基本原理及基本模型，“將軍飲馬問題”也不例外，“將軍飲馬”問題的基本模型如下：

如圖1所示，直線l上有一動點(diǎn)P，直線l上方有一定點(diǎn)B，直線l下方有一定點(diǎn)A，在直線l上找一點(diǎn)P，使得PA+PB最短.

分析：由兩點(diǎn)之間線段最短可知，連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)就是需要找的點(diǎn)P. 從題目的最終結(jié)論來看，線段之和最短，變成了兩點(diǎn)間的距離. 用幾何畫板演示，三角形三邊關(guān)系能夠解釋說明結(jié)論. 但筆者認(rèn)為，線段和最短能轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離，是因為目標(biāo)線段PA，PB形成了順次連接. 所以解決此類線段和最短問題，根本思考是使目標(biāo)線段形成直線型順次連接，將線段和轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離.

回歸根本，模型應(yīng)用

將含動點(diǎn)多線段和最短轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間距離是根本思路，解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)是如何使目標(biāo)線段形成直線型順次連接. 線段轉(zhuǎn)化的必要前提是不改變線段的長度，不改變長度的基本變換有對稱、平移、旋轉(zhuǎn). 下面就“將軍飲馬”的常規(guī)模型進(jìn)行分析.

1. 對稱轉(zhuǎn)化

類型一（兩定一動型）：如圖2所示，直線l1上有一動點(diǎn)P，直線l1上方有兩定點(diǎn)A，B，求PA+PB的最小值.

分析 ?點(diǎn)P是定直線l1上動點(diǎn)，A，B為定點(diǎn) ，PA+PB在直線l1的同側(cè)，可以通過作定點(diǎn)關(guān)于直線l1的對稱點(diǎn)，將其中一條線段傳化到直線l1的另一側(cè)，圖2中將PA轉(zhuǎn)化成PA′，使得PA+PB=PA′+PB，從而達(dá)到目標(biāo)線段直線型順次連接，最終A′，B兩點(diǎn)的距離為PA+PB的最小值.

類型二（一定兩動型）：如圖3所示，點(diǎn)C，D分別為直線l1，l2上的動點(diǎn)，B為一定點(diǎn)，連接BC，CD，DB，求線段BC+CD+DB的最小值.

分析 ?本類型涉及兩個動點(diǎn)，且兩個動點(diǎn)均落在兩定直線上，要實現(xiàn)目標(biāo)線段直線型順次連接，必然是要轉(zhuǎn)化. BD，CD在直線l1的同側(cè)，BC，CD在直線l2的同側(cè)，顯然在轉(zhuǎn)化時應(yīng)考慮將BC，BD轉(zhuǎn)到相關(guān)定直線的另一側(cè)，于是通過對稱可將BC+CD+DB轉(zhuǎn)化為B2C+CD+DB1，實現(xiàn)目標(biāo)線段直線型順次連接，而B1，B2的距離即為BC+CD+DB的最小值.

2. 平移對稱轉(zhuǎn)化

類型三（跨線段兩定一動型）：如圖4所示，直線l1上有一長度不變的動線段CD，A，B為直線l1上方兩定點(diǎn)，求AC+BD的最小值.

分析 ?定直線l1上相當(dāng)于有兩個動點(diǎn)C，D，顯然目標(biāo)線段AC，BD沒有公共頂點(diǎn)，通過對稱轉(zhuǎn)化沒有辦法將目標(biāo)線段直線型順次連接，對稱無法解決問題. 考慮平移變換，將線段AC，沿線段CD平移到A1D，問題回歸到類型一，再通過對稱，使AC+BD=A1D+BD=A1′D+BD，最小值為A1′，B兩點(diǎn)間的距離.

3. 旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化

類型四（三定一動型）：如圖5所示，P為△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，求PA+PB+PC的最小值.

分析 ?PA，PB，PC三條線段共頂點(diǎn)，而且動點(diǎn)P不在固定的直線上，此時對稱、平移這兩個變換顯然已無法實現(xiàn)三條線段順次連接. 我們知道將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換也不改變形狀和大小，因此考慮旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)后要使三條線段順次連接，連接點(diǎn)必有點(diǎn)P，所以可以保留其中一條線段不動，將另外兩條線段轉(zhuǎn)化. 旋轉(zhuǎn)需要確定旋轉(zhuǎn)中心，圖中有三個定點(diǎn)A，B，C，三者都是平等關(guān)系，所以三個定點(diǎn)都可以為旋轉(zhuǎn)中心. 以B為旋轉(zhuǎn)中心為例，如圖6所示，保持PA不動，則PB，PC均需要轉(zhuǎn)化，兩條線段最直接的關(guān)系是與BC構(gòu)成△PBC，將△PBC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°，由旋轉(zhuǎn)可知，PC=P′C′，連接PP′，△BPP′為等邊三角形，PB=P′B=PP′，因此PA+PB+PC=AP+PP′+P′C′，實現(xiàn)了三條目標(biāo)線段直線型順次連接，A，C′兩點(diǎn)的距離即為PA+PB+PC的最小值. 另外，A，B，C′三點(diǎn)均為定點(diǎn)，所以∠PCB=∠P′C′B也固定，線段AC′與PC的交點(diǎn)即為PA+PB+PC最小時點(diǎn)P的位置.

4. 拓展思考

幾何題的魅力在于，當(dāng)用同一種方法同一種思考去解決一系列的問題時，思維會慢慢打開，引發(fā)更多的思考，如將題目變式，結(jié)論變式，圖形變式等等，但解題思路和方法依然可以延續(xù). 筆者在復(fù)習(xí)完上面的類型四后，學(xué)生提出了新問題，既然在三角形內(nèi)可以找到一點(diǎn)P使其到三個定點(diǎn)的距離之和最小，是否也可以用這一思路，在三角形邊上找三個點(diǎn)使其構(gòu)成的三角形的周長最??？從教師基本模型分析，到學(xué)生最后自主聯(lián)想新問題的產(chǎn)生，讓師生都切身體會到思維發(fā)展的過程. 特別是在分析解決學(xué)生提出的問題時，學(xué)生之間展開了激烈地討論，解決方案一個一個被提出來，又一次次地被質(zhì)疑和否定，經(jīng)過多次地爭辯，最終才找到讓所有人都心服口服的解法. 筆者將學(xué)生的問題及解答整理如下：

如圖7所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC上的動點(diǎn)，求DE+DF+EF的最小值.

本題的產(chǎn)生是受類型四的啟發(fā)，但解法卻是從類型二的解法入手，動點(diǎn)在固定的直線上，要實現(xiàn)三條線段形成直線型順次連接，考慮通過對稱轉(zhuǎn)化，但沒有定點(diǎn)，這時采取控制變量法. 如圖8所示，假設(shè)E為定點(diǎn)，分別作點(diǎn)E關(guān)于AB，AC的對稱點(diǎn)，則DE=DE1，F(xiàn)E=FE2，順利完成目標(biāo)線段直線型順次連接，可以確定，E1，E2兩點(diǎn)間的距離就是DE+EF+FD的最小值. 但E并不是定點(diǎn)，因此E1，E2也不是定點(diǎn)，E1，E2的距離何時最短？再次回歸根本，在變中尋找不變，E1，E2由對稱產(chǎn)生，從對稱的性質(zhì)可知△AE1E2是等腰三角形且∠E1AE2=2∠BAC，因此當(dāng)AE最短時，線段E1E2最短，E是AC上的動點(diǎn)，當(dāng)AE⊥BC時，如圖9所示，線段E1E2最短，DE+DF+EF的值最小.

思考總結(jié)

經(jīng)過這一系列復(fù)習(xí)，學(xué)生對“將軍飲馬”問題的幾個類型有了清楚的認(rèn)識，在此過程中感受解題回歸根本，找到通性通法的好處，既能解決問題，又能發(fā)散思維. 特別是“拓展思考”問題的產(chǎn)生及解決，給師生都帶來很大的驚喜，學(xué)生們的研究熱情也大大提高，這也恰好體現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程從無到有再到更有的生長過程. 后面在復(fù)習(xí)“胡不歸”問題，“阿氏圓”問題時，學(xué)生也遵循著使目標(biāo)線段形成直線型順次連接這一根本關(guān)鍵點(diǎn)，將難點(diǎn)各個擊破. ?中考復(fù)習(xí)知識點(diǎn)多，類型廣，難度大，而復(fù)習(xí)時間又不長，課堂教學(xué)很難做到每題精講，同時學(xué)生也面臨著各科的復(fù)習(xí)壓力. 因此我們在復(fù)習(xí)時應(yīng)秉持“授人以魚不如授人以漁”的原則. 在專題復(fù)習(xí)時，多從基本模型，根本方法出發(fā)，讓學(xué)生深刻感受學(xué)生有章可行，有法可依，既減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，又激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣;既讓學(xué)生掌握了知識，又培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維、發(fā)散思維和研究精神.

我們在解題時，并不僅僅是抱著將該題解完就結(jié)束的心態(tài)，而是希望通過研究思考，一層一層，刨根問底，得出此類題型的根本知識點(diǎn)，得到解題的通性通法，以不變應(yīng)萬變. 如果能一直堅持這一原則來開展課堂教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)起來事半功倍，在遇到新問題時，也能剖析題目本質(zhì)，輕松解決問題.