對(duì)一道與三角形有關(guān)的最值題解法的探究

劉健康

與三角形有關(guān)的最值問題的常見命題形式，是根據(jù)已知三角形的邊角及其關(guān)系式、角的三角函數(shù)值，求三角形的面積、周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)、角的最值.此類問題側(cè)重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、性質(zhì)以及三角恒等變換的技巧.下面結(jié)合一道例題，談一談與三角形有關(guān)的最值問題的解法.

例題：已知ΔABC 是銳角三角形，三個(gè)內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c ，若 B =π3，b =3，求ΔABC 面積的最大值.

題目中給出的條件較為簡(jiǎn)單，要求根據(jù)已知的一個(gè)角和一條邊，求三角形面積的最值.解答本題，需靈活運(yùn)用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，最后結(jié)合三角形為銳角三角形這一特性來(lái)對(duì)角進(jìn)行限定，以此作為約束條件，求得三角形面積的最值.解答本題主要有兩種思路.

方法一：利用三角函數(shù)的性質(zhì)

求解有關(guān)三角形的最值問題，經(jīng)常要用到三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性.首先需根據(jù)已知條件，利用正余弦定理進(jìn)行邊角互化，將三角形的面積用三角函數(shù)表示出來(lái)，再通過恒等變換，將面積的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為只含有一種函數(shù)名稱的函數(shù)式，最后根據(jù)三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得最值.

解法一：

該解法中主要運(yùn)用了正弦定理 a sin A = b sin B = c sin C 以及正弦函數(shù)的有界性、單調(diào)性.在解題時(shí)，需運(yùn)用正弦定理將所有的邊化為角，然后用角的三角函數(shù)式表示出三角形的面積，便可根據(jù)角的范圍和三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性來(lái)求得最值.

解法二：

在解題時(shí)，需運(yùn)用余弦定理 cosB = a2+ c 2- b 22ac 將所有的角化為邊，然后用角的三角函數(shù)式表示出三角形的面積，再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性來(lái)求得最值.

方法二：利用基本不等式

若 a、b >0，則 a + b ≥2 ab ，該式稱為基本不等式.運(yùn)用基本不等式求最值，需把握三個(gè)條件：（1）兩個(gè)數(shù)或式子均為正數(shù);（2）當(dāng)兩式或數(shù)的和為定值時(shí)，其積取最大值;當(dāng)兩式或數(shù)的積為定值時(shí)，其和取最小值;（3）當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)，等號(hào)成立.

我們根據(jù)余弦定理將所有的角化為邊，然后用邊表示出三角形的面積，再構(gòu)造出兩式的和，并使其積為定值，這樣就可以運(yùn)用基本不等式來(lái)求得三角形面積的最值.

無(wú)論是利用三角函數(shù)的性質(zhì)，還是利用基本不等求解與三角形有關(guān)的最值問題，都需靈活運(yùn)用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角互化，用三角形的內(nèi)角的函數(shù)式、邊之間的關(guān)系式表示出目標(biāo)式，再將目標(biāo)式進(jìn)行合理的變形，以便利用三角函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式求得最值.在解題時(shí)，一定要深入挖掘與三角形有關(guān)的隱含條件，如三角形的內(nèi)角和為180°，銳角的范圍為（0°，90°），三角形的兩邊之和大于第三邊等，這是對(duì)三角形的角、邊的限制條件，也是求最值的關(guān)鍵因素.