運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法解答一類不等式恒成立問題的思路

趙儀

不等式恒成立問題的命題形式多種多樣，解法各不相同.其中，含有指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式的不等式恒成立問題較為復(fù)雜.解答此類問題的主要方法是構(gòu)造函數(shù)法，而如何巧妙構(gòu)造出合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何巧妙構(gòu)造函數(shù)，解答這類不等式恒成立問題.

一、通過移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)

有時(shí)，不等式恒成立問題中的目標(biāo)不等式較為復(fù)雜，此時(shí)我們可以根據(jù)目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特征，將其進(jìn)行移項(xiàng)，即將不等式左右兩邊的式子移到不等式的一側(cè)，或?qū)⒉坏仁揭粋?cè)的式子移到另一側(cè)，通過作差來構(gòu)造新函數(shù)，研究新函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，從而判斷出新函數(shù)的單調(diào)性，求得最值.如將 f （x）> g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為（ f （x）- g（x））min >0，將 f （x）≤ g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為（ f （x）- g（x））max ≤0 .

要證明的不等式較為復(fù)雜，需首先將不等式移項(xiàng)，通過作差來構(gòu)造出函數(shù) h（x），然后對(duì)其求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，證明 h（x）>0成立，即可證明原不等式在（0，+∞）上恒成立.一般地，若不等式左右兩邊的函數(shù)為不同類型的函數(shù)，則可通過作差來構(gòu)造新函數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來求得最值，從而證明不等式恒成立.

直接證明本題有一定難度，需將不等式左邊的式子進(jìn)行拆分，通過移項(xiàng)，構(gòu)造出函數(shù) f （x）、g（x），這樣只需證明 f （x）≥ g（x）恒成立即可解題.分別運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法討論兩個(gè)函數(shù)的最值，只需證明 f （x） min ≥ g（x） max 成立，即可證明結(jié)論.一般地，若不等式可拆分為兩個(gè)簡單的基本函數(shù)，此時(shí)可通過移項(xiàng)來構(gòu)造兩個(gè)新函數(shù)，將證明不等式 f （x）≥ g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為證明 f （x） min ≥ g（x） max 成立;將證明不等式 f （x）≤ g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為證明 f （x） max ≤ g（x） min 成立.分別對(duì) f （x）、g（x）求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法討論 f （x）、g（x）的單調(diào)性和極值，即可證明原不等式恒成立.

二、通過放縮構(gòu)造函數(shù)

有些不等式較為復(fù)雜，也不常見，很難從中發(fā)現(xiàn)基本函數(shù)模型，此時(shí)，可根據(jù)不等式的傳遞性將不等式進(jìn)行合理的放縮，構(gòu)造出新函數(shù)，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，討論該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可解題.在放縮時(shí)，需利用重要不等式 ln x < x < e x 、ln x ≥ x -1、e x >x 2、e x ≤- 1 x 等將目標(biāo)不等式放大或縮小.

目標(biāo)不等式（x0- 1）e x0- k 2 x02>0較為復(fù)雜，于是借助重要不等式 e x > x 2將目標(biāo)不等式縮小，進(jìn)而構(gòu)造出函數(shù) h（x），將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明在（ln k，+∞）上函數(shù) h（x） min >0 .對(duì)函數(shù) h（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)之間的關(guān)系判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求得 h（x） min ，即可證明不等式成立.在放縮不等式時(shí)，要學(xué)會(huì)將復(fù)雜的不等式與一些常用的重要不等式關(guān)聯(lián)起來，合理進(jìn)行放縮，進(jìn)而構(gòu)造出合適的函數(shù)模型.

三、通過換元構(gòu)造函數(shù)

對(duì)于較為復(fù)雜的不等式，可通過換元化簡不等式，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，以便借助導(dǎo)數(shù)法來解題.在解題時(shí)，可選取合適的式子用新變量替換，這樣便可將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元的不等式問題，通過構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)討論函數(shù)的單調(diào)性與最值，證明變形后的等價(jià)不等式恒成立，即可證明原不等式恒成立.

本題的目標(biāo)不等式中含有 x1、x2，要證明目標(biāo)不等式恒成立較為困難，于是引入變量 t ，將其替換 x1 x2，便構(gòu)造出函數(shù) g（t）= ln t -2（t -1） t +1，再借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)求得 g（t） max ，并使其小于0，就能證明目標(biāo)不等式成立.

可見，對(duì)于較為復(fù)雜的不等式恒成立問題，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法求解非常有效，同學(xué)們可根據(jù)解題需求和目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過移項(xiàng)、放縮、換元，將目標(biāo)不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造出合適的函數(shù)模型，就能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來解題.