高中數(shù)學(xué)教科書“閱讀材料”的教學(xué)與思考

陸婭君 冉勝利 張和平

[摘? 要] “閱讀材料”是開展探究性學(xué)習(xí)的重要素材，文章基于“拋物線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”內(nèi)容開展教學(xué)并反思：將“閱讀材料”融入課堂教學(xué)，有利于數(shù)學(xué)思想方法的滲透以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探究問題的能力.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教科書;閱讀材料;拋物線的光學(xué)性質(zhì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）》指出，教學(xué)活動不應(yīng)只限于講授和練習(xí)，還應(yīng)倡導(dǎo)閱讀自學(xué)、獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式[1]. 教材中的“閱讀材料”體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的彈性，符合不同層次學(xué)生的發(fā)展，能幫助學(xué)生掌握正文內(nèi)容;并能促使學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和探究問題的能力. 基于“閱讀材料”的教學(xué)是一種高質(zhì)高效的教學(xué)方式，能夠切實實現(xiàn)教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量的提高[2]. 但在實際教學(xué)中，教師對閱讀材料的使用僅僅停留于讀一讀、看一看，缺乏深度和廣度，不能有效地發(fā)揮其功能與價值. 基于此，本文選取新人教A版高中數(shù)學(xué)教科書“閱讀材料”中的“拋物線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”進行教學(xué)探索，談?wù)剬﹂喿x材料的使用與思考.

[?]案例分析

1. 閱讀發(fā)現(xiàn)

太陽灶是利用太陽光照射，通過聚光獲取熱量，進行加熱的一種裝置. 它不需要燃燒燃料，上面裝有能旋轉(zhuǎn)的反射鏡，反射鏡的形狀是拋物面（如圖1所示），利用這樣的裝置就能進行炊事烹飪.

師：利用太陽灶進行炊事烹飪的原理是什么？

生：因為曲面形的反射鏡將光線匯聚在一點進行加熱.

師：這個反射鏡的軸截面是一個怎樣的圖形？盛食物的容器應(yīng)該位于哪個特殊的位置？

生：可能是拋物線，容器位于拋物線的焦點.

設(shè)計意圖：依托“太陽灶加熱”創(chuàng)設(shè)情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的廣泛應(yīng)用，接著引導(dǎo)學(xué)生對其工作原理進行解釋，抽象出拋物線模型，感受數(shù)學(xué)在日常生活中的應(yīng)用價值. 教師再結(jié)合拋物線的相關(guān)知識進行設(shè)問與回答，進一步將生活問題抽象為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生直觀感受拋物線中光波的反射規(guī)律與焦點有關(guān)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)的感知能力和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2. 直觀驗證

問題1：光的反射現(xiàn)象如果與拋物線的焦點有關(guān)，那么應(yīng)該遵循怎樣的反射規(guī)律？

在物理學(xué)中，焦點可以理解成光線聚集的點. 把太陽灶裝置中反射鏡的軸截面抽象成拋物線，把水壺的位置抽象成拋物線的焦點，把光線抽象成直線，得到圖2. 圖2直觀地反映了光在拋物線內(nèi)的反射規(guī)律：一束平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線的反射集中于它的焦點.

問題2：反射鏡面與拋物線會有怎樣的位置關(guān)系？

由物理學(xué)的相關(guān)知識可得，反射鏡面與拋物線的位置關(guān)系是相切的.

問題3：如何直觀地驗證拋物線中光的反射規(guī)律？

可以利用幾何畫板直觀驗證：首先找到拋物線的一條切線，作為反射鏡面;連接點M和切點P，MP平行于拋物線的對稱軸，MP就可以作為一條入射光線;作出反射鏡面的法線PH后，就需要觀察反射光線是否經(jīng)過點F，如圖3所示.

問題4：用幾何畫板直觀演示當點P在拋物線上運動時，∠MPH和∠FPH會有怎樣的數(shù)量關(guān)系？如圖4所示.

當∠MPH=∠FPH時，也就說明反射光線經(jīng)過點F. 改變拋物線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)這兩個角仍然是相等的.

設(shè)計意圖：根據(jù)生活現(xiàn)象猜想出光在拋物線內(nèi)的反射規(guī)律，再用幾何畫板直觀驗證，嘗試建立文字與圖形的聯(lián)系，促使學(xué)生透過現(xiàn)象看數(shù)學(xué)本質(zhì). 經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識抽象的過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).

3. 深度探究

師：利用幾何畫板初步驗證了光在拋物線內(nèi)的反射規(guī)律，如何從數(shù)學(xué)的角度來證明？

活動：已知定直線l和定點F（定點F不經(jīng)過定直線l），在定直線l上隨機取一點A，如圖5所示. 如何通過紙片對折的方式作出線段AF的垂直平分線？

生：通過對折讓點A和點F重合，由此便得到一條折痕，將折痕用筆畫上顏色即得線段AF的垂直平分線，如圖6所示.

師：在定直線l上取無數(shù)個點，一直重復(fù)此操作過程，有什么發(fā)現(xiàn)？如圖7所示.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生動手操作折紙活動，培養(yǎng)學(xué)生動手實踐、合作交流、自主探究的能力;使學(xué)生在操作、觀察、猜想的過程中，逐漸領(lǐng)悟折痕所在直線與拋物線的位置關(guān)系，自主構(gòu)建認知結(jié)構(gòu). 通過數(shù)學(xué)活動讓學(xué)生體驗從具體到抽象的過程，促使學(xué)生透過現(xiàn)象看數(shù)學(xué)本質(zhì)，感悟數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

師：折痕所在直線和拋物線具有怎樣的位置關(guān)系？

生：通過折紙活動發(fā)現(xiàn)折痕所在直線與拋物線是相切的.

師：設(shè)折痕所在直線為m，如果m和拋物線相切，那么直線m會作為一個什么圖形出現(xiàn)？

生：直線m會作為反射鏡面出現(xiàn)，但通過“折紙”活動和幾何畫板的驗證得到的“相切”是不嚴謹?shù)?，需要進一步證明.

問題5：如何證明折痕所在直線m與拋物線相切？

生：首先證明點P在拋物線上. 如圖8所示，過點A作直線l的垂線n，垂足為A，直線n與直線m相交于點P;將PF連接起來，因為點P在線段AF的垂直平分線上，由垂直平分線的性質(zhì)可知PA=PF，即點P在拋物線上.

師：點P既是拋物線上的點，同時也處于線段AF的垂直平分線上，那么也只能說明點P是直線m與拋物線的一個交點，交點一定是切點嗎？相交和相切最主要的區(qū)別是什么？

生：相交和相切最主要的區(qū)別是交點的個數(shù)問題. 如果要驗證相切的情況，就需要驗證點P是直線m與拋物線唯一的交點.

師：如何證明一個點的唯一性？

生：在直線m上任意取一個不與點P重合的點N. 過點N作直線l的垂線，垂足為B，如圖9所示. 因為點A，B，N不在同一條直線上，且NB⊥l，故點A，B，N可構(gòu)成一個直角三角形. 根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得AN>BN. 因為點N在線段AF的垂直平分線上，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知AN=FN. 根據(jù)等價替換可得FN>BN，據(jù)此說明點N到定點的距離大于到定直線的距離，即點N位于拋物線的外部. 因此，直線m上有且只有一個點P在拋物線上，所以直線m與拋物線相切，點P是切點.

問題6：如圖10所示，已知直線m是線段AF的垂直平分線，AM⊥l于A，PH⊥m于P，如何證明∠MPH=∠FPH？

生：因為直線m是線段AF的垂直平分線，所以

，據(jù)此可得△CPF≌△CPA，即∠CPF=∠CPA. 因為∠CPA=∠DPM，由等量替換可得∠CPF=∠DPM. 因為PH⊥m，所以∠CPH=∠DPH，所以∠MPH=∠FPH.

據(jù)此可得拋物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線的反射集中于它的焦點.

設(shè)計意圖：通過幾何畫板和折紙活動驗證拋物線的光學(xué)性質(zhì)還不夠嚴謹，需從數(shù)學(xué)的角度證明折痕所在直線與拋物線相切及∠MPH=∠FPH，從而抽象出拋物線的光學(xué)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)嚴謹、邏輯性強的特征，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng). 借助圖形進行證明，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的核心素養(yǎng).

4. 鞏固拓展

問題7：在問題情境中，利用太陽灶加熱水或食物時，為什么要將反射鏡設(shè)計成拋物面的形狀？盛食物的容器應(yīng)該位于哪個位置？為什么？

問題8：在手電筒內(nèi)，小燈泡后面的反光鏡為什么要設(shè)計成拋物面的形狀？小燈泡的位置應(yīng)該在哪里？為什么？

設(shè)計意圖：對情境內(nèi)容再次提問，幫助學(xué)生梳理知識脈絡(luò)，更加清晰地認識拋物線的光學(xué)性質(zhì)在太陽灶中應(yīng)用的具體原理. 通過相似問題，讓學(xué)生進一步鞏固拋物線的相關(guān)知識，感受“拋物線的光學(xué)性質(zhì)”在生活中的廣泛應(yīng)用，開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.

[?]對“閱讀材料”的思考

1. 對案例的總結(jié)與反思

基于教材中的“閱讀材料”創(chuàng)設(shè)情境，由此引入課題和提出相關(guān)的探究問題，接著利用折紙活動和幾何畫板驗證拋物線的光學(xué)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生動手操作、自主探究的能力，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，進而發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng);再用數(shù)學(xué)方法證明性質(zhì)，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)論證過程，感悟數(shù)學(xué)嚴密的邏輯性，培養(yǎng)求真務(wù)實的學(xué)科精神;最后讓學(xué)生理解拋物線的光學(xué)性質(zhì)在某些裝置中的應(yīng)用原理，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.

2. 滲透數(shù)學(xué)思想方法

“閱讀材料”蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如“探究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”中介紹了利用指數(shù)函數(shù)的圖像探究其性質(zhì)，圖像直觀地展現(xiàn)了隨著底數(shù)a（a>0，a≠1）的變化，函數(shù)圖像也在動態(tài)變化的過程，學(xué)生能較容易地發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，感受數(shù)形結(jié)合的思想;《牛頓法——用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解》中介紹了利用逼近法求方程的近似解，體現(xiàn)了極限思想. 教師應(yīng)當深入剖析“閱讀材料”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并合理運用其進行教學(xué)，更好地幫助學(xué)生內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，掌握數(shù)學(xué)方法.

3. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識

教材中“閱讀材料”的內(nèi)容與社會生活、科技生產(chǎn)等有著緊密聯(lián)系. 教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度觀察生活，感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用價值以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 如“向量概念的推廣與應(yīng)用”讓學(xué)生了解到能利用n維向量表示生活或科學(xué)研究中的許多量，并利用向量理論研究其性質(zhì);“圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用”介紹了手電筒發(fā)光和電影放映機的工作原理，從而讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，感悟生活處處皆數(shù)學(xué).

4. 培養(yǎng)探究問題能力

“閱讀材料”設(shè)置了“信息技術(shù)應(yīng)用”專題，其目的是希望教師嘗試利用網(wǎng)絡(luò)資源開展基于信息技術(shù)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把信息技術(shù)作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的工具. 在運用數(shù)學(xué)軟件探究問題的過程中，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出猜想、獨立驗證等過程，可以培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力. 如“用信息技術(shù)探究點的軌跡：橢圓”“用計算機繪制函數(shù)圖像”“圖形技術(shù)與函數(shù)性質(zhì)”等都是可以使用信息技術(shù)進行探究性學(xué)習(xí)的素材.

教材中的“閱讀材料”蘊含著豐富的教育功能，教師應(yīng)當主動挖掘這些資源，進行再創(chuàng)造、再組織，應(yīng)用到課堂教學(xué)中，讓學(xué)生在此過程中感受數(shù)學(xué)的魅力與價值.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]? 米秀旭. 基于教材中閱讀材料的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)[J]. 上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2018（Z1）：13-14+21.