依托模型 類比探究 培育素養(yǎng)

陳學(xué)圓

[摘? 要] 在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，一線教師的教學(xué)理念不斷更新，依據(jù)課本進(jìn)行大單元教學(xué)設(shè)計(jì)，整體化的教學(xué)設(shè)計(jì)更加有利于培育學(xué)生的核心素養(yǎng). 案例中“二項(xiàng)式定理”的教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)合了教材中常用的摸球模型，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行類比探究，實(shí)行數(shù)學(xué)抽象，獲得新知，提升素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 課程標(biāo)準(zhǔn);大單元教學(xué);數(shù)學(xué)模型;核心素養(yǎng)

[?]教學(xué)背景

“二項(xiàng)式定理”是蘇教版選修2-3中第一章第五節(jié)的內(nèi)容. 筆者確定這個課題時，覺得內(nèi)容比較簡單，應(yīng)該會比較好設(shè)計(jì);但經(jīng)過前期的備課后，筆者認(rèn)為這節(jié)內(nèi)容上承完全平方公式和排列組合，下啟概率分布. 如果設(shè)計(jì)不好，就會失去一次培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)的好機(jī)會.如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中能夠主動探究、深度思考，充分感受定理發(fā)現(xiàn)的必要性，經(jīng)歷定理發(fā)生、發(fā)展的全過程，感悟用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題，培養(yǎng)和提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，成了本節(jié)課設(shè)計(jì)的焦點(diǎn).筆者在備課前有如下幾點(diǎn)思考：

思考一，前面一直在學(xué)習(xí)排列組合的計(jì)數(shù)原理，為什么要學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理？一方面，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)原理，可以從計(jì)數(shù)原理的視角來理解多項(xiàng)式展開中的項(xiàng)，進(jìn)而理解并證明二項(xiàng)式定理，體驗(yàn)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用價值;另一方面，二項(xiàng)式定理自身有著重要的應(yīng)用，可以解決整除問題、近似值問題、組合數(shù)的性質(zhì)問題等，更是后續(xù)學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及其分布、二項(xiàng)分布的重要知識基礎(chǔ)，也是大學(xué)學(xué)習(xí)微積分的知識基礎(chǔ).

思考二，如何讓學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課感覺不唐突？問題情境的創(chuàng)設(shè)是關(guān)鍵.從計(jì)數(shù)原理自然地過渡到二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，既要體現(xiàn)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用性，又要體現(xiàn)二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)的必要性. 筆者想創(chuàng)設(shè)一個較好的情境來進(jìn)行過渡.

思考三，課本上對二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)采用的是歸納推理法，在展開（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)產(chǎn)生的規(guī)律，用計(jì)數(shù)原理理解各項(xiàng)產(chǎn)生的原因，進(jìn)而推廣到n次方的情形，再用說理的方式進(jìn)行證明. 筆者認(rèn)為，高二學(xué)生雖然有一定的抽象概括、邏輯推理的能力，特別是對（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展開，學(xué)生可以直接利用完全平方公式進(jìn)行，如利用2次方乘1次方得到3次方的式子，利用2次方乘2次方得到4次方的式子，但他們或許并不能從這三種式子的推導(dǎo)過程中體會到各項(xiàng)是如何產(chǎn)生的，很難感受到從計(jì)數(shù)原理的角度進(jìn)行理解的必要性，因此教師有必要進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)引導(dǎo)學(xué)生理解，否則難以實(shí)行歸納！

基于這些思考，筆者創(chuàng)設(shè)了一個計(jì)數(shù)原理中常見的摸球模型，從形象到具體進(jìn)行類比、歸納、猜想，進(jìn)而再進(jìn)行證明，讓學(xué)生成為定理學(xué)習(xí)的主角，在整個學(xué)習(xí)的過程中不斷提高自身的素養(yǎng). 現(xiàn)將教學(xué)過程整理如下，請各位同行批評指正！

[?]教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入問題

牛頓，被譽(yù)為人類歷史上最偉大的科學(xué)家之一. 他不僅是一位物理學(xué)家，還是一位數(shù)學(xué)家. 今天我們就一起來學(xué)習(xí)他的一個研究成果！

問題1：在2個同樣的口袋中，分別裝有大小相同、質(zhì)地相同，標(biāo)號為a，b的2個小球. 在每個口袋中各取1個小球，共有幾種不同的結(jié)果？

生1：4種.

師：怎么得出來的？

生1：利用分步乘法計(jì)數(shù)原理：N=C×C=4.

師：哪四種？

生1：aa，ab，ba，bb.

師：同學(xué)們，看到這4種結(jié)果，你們能聯(lián)想到哪個代數(shù)式子？

生2：完全平方式！

師：是嗎？請寫出（a+b）2的展開過程.

筆者請了一位學(xué)生到黑板上進(jìn)行演算，這位學(xué)生直接根據(jù)記憶寫出了（a+b）2=a2+2ab+b2，這無法讓學(xué)生感受到多項(xiàng)式展開及合并的過程特點(diǎn). 于是筆者追問道：“該展開式的項(xiàng)是如何產(chǎn)生的？”進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出展開式的每一項(xiàng)都是從每個括號中取一個字母相乘得來的，而摸球問題的每一個結(jié)果都是從每一個口袋中各取一個球得來的，它們的形成過程是一樣的！不同的是，摸球結(jié)果無須繼續(xù)計(jì)算，而多項(xiàng)式需要合并同類項(xiàng)化簡！也就是說，我們可以把2個口袋都抽象成（a+b），剛才的摸球過程可形象地展示（a+b）2的展開過程.

問題2：如果有3個口袋，共有幾種不同的結(jié)果？可展示哪個式子的展開過程？能寫出它的展開式嗎？

問題3：如果有7個口袋，共有幾種不同的結(jié)果？可展示哪個式子的展開過程？能寫出它的展開式嗎？

……

師：你能提出怎樣的問題？

生3：（a+b）n的展開式是什么？

師：這就是我們今天要研究的課題——二項(xiàng)式定理！

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決摸球問題，再引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想相應(yīng)的多項(xiàng)式，直觀感受它們的相似性，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，最后引出課題，為后續(xù)分析和解決問題打下了基礎(chǔ).

2. 類比探究，逐步深化

師：剛才我們通過問題1形象地展示了（a+b）2的展開過程. 下面請同學(xué)們自己來探究一下問題2.

幾分鐘后，筆者在巡視過程中看到大部分學(xué)生是通過計(jì)算得到展開式的，少部分學(xué)生通過摸球?qū)嶒?yàn)列出了8種結(jié)果. 筆者請了一位學(xué)生到黑板上進(jìn)行展示，本以為他列出了8種結(jié)果（aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb），就能直接把（a+b）3的展開式寫出來，但他還是通過多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方式進(jìn)行展開的！

雖然學(xué)生沒有完全類比出最終的結(jié)果，但他們摸索出了初步經(jīng)驗(yàn)，通過類比得出了項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)的種類，項(xiàng)的系數(shù)規(guī)律還沒有發(fā)現(xiàn). 此處學(xué)生還沒有感受到項(xiàng)的系數(shù)可以通過其他方式獲得的必要性，筆者在此并沒有進(jìn)行追問，而是讓學(xué)生繼續(xù)探究問題3.

幾分鐘后，筆者觀察發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生還是想通過多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的方式得到展開式，但在展開的過程中遇到了困難……也有部分學(xué)生在苦苦尋求新的方法進(jìn)行展開……這正合筆者的設(shè)計(jì)，于是筆者開始追問：

師：這個實(shí)驗(yàn)可以展示哪個式子的展開過程？你研究到了哪一步？

生4：可以展示（a+b）7的展開過程，但展開式?jīng)]有能夠?qū)懗鰜?！展開過程太復(fù)雜了，我只能發(fā)現(xiàn)其中的項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)，可是系數(shù)還沒有確定……

師：說說你的成果！

生4：項(xiàng)應(yīng)有以下規(guī)律：a7，a6b，a5b2，a4b3，a3b4，a2b5，ab6，b7，共8項(xiàng)……

師：那你有什么樣的思考？

生4：隨著n繼續(xù)變大，展開過程會越來越繁，難以從多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的視角找到合并后項(xiàng)的系數(shù)……

師：那還有別的方法嗎？

學(xué)生陷入了困境，于是筆者提醒學(xué)生，解決復(fù)雜問題不妨回到原始的簡單問題去再次思考和感悟：回到最初的2個口袋去看看！如aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.

師：各項(xiàng)系數(shù)是如何產(chǎn)生的呢？只能相乘展開或枚舉嗎？還有沒有別的方法？

組織學(xué)生進(jìn)行討論交流，集思廣益，幾分鐘后……

生5：分類. 第一類，沒有b，即2個口袋中都不取b，有C種取法;第二類，1個b，即從2個口袋中的1個口袋取b，有C種取法;第三類，2個b，即2個口袋都取b，有C種取法.

師：很好！那這種想法可以推廣嗎？

生5：可以. 如果是3個口袋：第一類，沒有b，即3個口袋都不取b，有C種取法;第二類，1個b，即從3個口袋中的1個口袋取b，有C種取法;第三類，2個b，即從3個袋中的2個口袋取b，有C種取法;第四類，2個b，即3個袋都取b，有C種取法.

師：非常棒！那么有7個口袋呢？（a+b）7=？

幾分鐘后，不少學(xué)生已經(jīng)能夠?qū)懗觯╝+b）7的展開式了，展示后讓學(xué)生進(jìn)行展開式的一般化，歸納出二項(xiàng)式定理并說明理由.

3. 知識建構(gòu)，形成定理

寫出（a+b）n的展開式：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

證明：an即0個b，即從n個括號中取0個b，取法數(shù)為C;

an-1b即1個b，即從n個括號中取1個b，取法數(shù)為C;

……

an-rbr即r個b，即從n個括號中取r個b，取法數(shù)為C;

……

bn即n個b，即從n個括號中取n個b，取法數(shù)為C.

綜上可得，（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

接下來帶領(lǐng)學(xué)生回顧發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的過程，歸納其項(xiàng)數(shù)、項(xiàng)的特征規(guī)律、系數(shù)（二項(xiàng)式系數(shù)）以及通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖：通過層層設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生逐步地探究發(fā)現(xiàn)，通過多項(xiàng)式乘法法則得到展開式，其方法在理論上雖然是可行的，但隨著次數(shù)的增加會越來越麻煩，這必須另辟蹊徑. 通過復(fù)雜問題簡單化的研究思路，從2次方、3次方開始換視角，即通過由摸球?qū)嶒?yàn)進(jìn)行類比的方式試探性地理解和發(fā)現(xiàn);再逐步推廣到7次方，通過深度思考、感悟，逐步歸納發(fā)現(xiàn)展開式的項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)的構(gòu)成;最終突破項(xiàng)的系數(shù)等于摸球的取法數(shù)即組合數(shù)，進(jìn)而歸納出二項(xiàng)式定理及其證明. 整個過程中，學(xué)生的思維逐步地深入，能夠體驗(yàn)到新知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和完善的過程.

4. 鞏固新知，提升能力

例1 寫出下列二項(xiàng)式的展開式：

（1）（a-b）6;（2）

1+

.

例2 求（1+2x）7的展開式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)以及含x3的項(xiàng)的系數(shù).

5. 回顧反思，歸納總結(jié)

用波利亞的話進(jìn)行概括：數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué);但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看起來卻像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué). 即數(shù)學(xué)有經(jīng)驗(yàn)與演繹二重性.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生利用所學(xué)知識進(jìn)行應(yīng)用求解，體會知識的應(yīng)用價值.回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，積累學(xué)習(xí)新知識的研究經(jīng)驗(yàn)，掌握基礎(chǔ)知識和基本技能，領(lǐng)悟其中的基本數(shù)學(xué)思想方法.

[?]教學(xué)反思

（1）用好《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)》），體會核心理念、做好教學(xué)設(shè)計(jì).好的教學(xué)需要好的教學(xué)設(shè)計(jì)，好的教學(xué)設(shè)計(jì)需要先進(jìn)的教學(xué)理念. 《課標(biāo)》正是當(dāng)下指導(dǎo)一線教師教學(xué)的最先進(jìn)的教學(xué)理念. 《課標(biāo)》中除了與時俱進(jìn)的教學(xué)理念外，還有具體的教學(xué)指導(dǎo)意見，作為一線教師務(wù)必認(rèn)真研讀，并結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐做好教學(xué)反思，不斷改進(jìn)自己的教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)行更多、更好、更貼近學(xué)生實(shí)際發(fā)展的教學(xué)設(shè)計(jì)，以進(jìn)一步培養(yǎng)和提高學(xué)生的綜合素養(yǎng). 本節(jié)課在《課標(biāo)》理念的指引下，將前期的摸球?qū)嶒?yàn)與抽象的歸納問題進(jìn)行了聯(lián)系，讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中思考問題，在思考問題中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)的思維解決問題，學(xué)生的素養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂的基本活動中得到了有效的滋潤和發(fā)展.

（2）用好課本做好大單元設(shè)計(jì).課本教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)編排是專家們精心設(shè)計(jì)的，是科學(xué)的、合理的，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律. 一線教師應(yīng)基于教材的整體設(shè)計(jì)，理解教材的整體編排，做好大單元教學(xué)設(shè)計(jì)，切不可只見樹木不見森林，從而影響學(xué)生對整體知識的理解. 筆者基于對《課標(biāo)》中大單元設(shè)計(jì)的理解，認(rèn)為應(yīng)充分理解課本，在二項(xiàng)式定理的教學(xué)中不可割裂與前面知識的聯(lián)系. 于是筆者以排列組合中的摸球?qū)嶒?yàn)為依托進(jìn)行類比探究，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并證明了二項(xiàng)式定理，實(shí)現(xiàn)了自然過渡，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算以及數(shù)據(jù)處理等素養(yǎng)，取得了很好的教學(xué)效果.

（3）用好課堂做好素養(yǎng)培育. 學(xué)生素養(yǎng)的培育是目前教學(xué)的主要目標(biāo)，而培育素養(yǎng)的主陣地就是教學(xué)課堂. 教師在精心的備課下，創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，設(shè)置系列問題引導(dǎo)學(xué)生探究，將素養(yǎng)培養(yǎng)的要求落實(shí)到具體的問題、情境和活動中去，點(diǎn)點(diǎn)滴滴地為培育學(xué)生的素養(yǎng)增加養(yǎng)分;學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過積極參與每一節(jié)課吸收著這些養(yǎng)分，日積月累下，素養(yǎng)的培養(yǎng)終究會水到渠成.