巧用分類討論法解答與圓有關(guān)的多解問題

蔡旭照

當對問題所給的對象不能進行統(tǒng)一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類對象分別研究得出結(jié)論，最后綜合結(jié)果才能得到整個問題的答案，這就是分類討論法.由于圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，因此，經(jīng)常會出現(xiàn)問題的答案不唯一.同學們在解答與圓相關(guān)的點、線段、角的問題時，要有分類討論的意識，做到考慮問題周全，分類不重不漏.

一、當點與圓的位置關(guān)系不明確時應(yīng)分類討論

點與圓的位置關(guān)系一般有三種：點在圓內(nèi)、點在圓外、點在圓上.很多同學在做題時，由于審題時只關(guān)注了其中一種情況，忽略了其他情形，致使答案不完整.所以，同學們在求解有關(guān)圓的問題時，當發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關(guān)系不明確時，務(wù)必要多角度思考，根據(jù)點在圓內(nèi)、圓外以及圓上的不同情形進行分類討論，從而避免漏解和錯解.

例 1 已知點M到⊙O的最近距離為8cm，最遠距離為20cm，則⊙O的半徑為? .

分析：本題涉及到點與圓的位置關(guān)系.但是對于點 M的位置，題目中沒有明確指出來，它可能在⊙O的內(nèi)部，也可能在⊙O的外部，所以在求解時應(yīng)分類討論. 解：①當點M在⊙O的內(nèi)部時，如圖1所示，由EF=EM + MF=20 + 8=28cm，所以⊙O的半徑為28÷2=14cm.

②當點 M在⊙O的外部時，如圖2所示，由EF=MF - MA=20 - 8=12cm，所以⊙O的半徑為12÷2=6cm.

綜上所述，⊙O的半徑為14cm或6cm.

二、當弦所對弧的優(yōu)劣情況不明確時應(yīng)分類討論

在平面內(nèi)，一條弦能夠把一個圓分成兩個部分，這樣弦（直徑除外）所對的弧則會有兩條：一條是大于半圓的優(yōu)弧，另一條是小于半圓的劣弧.在解答有關(guān)圓的問題時，若題目中弦所對的弧的優(yōu)劣情況不確定時，同學們要注意分優(yōu)弧與劣弧兩種情況進行討論.

例2 已知橫截面直徑為260cm的圓形下水道，如果水面寬為240cm，則下水道中水的最大深度為??? .

分析：此題是一道關(guān)于圓的應(yīng)用題.水面寬實際上就是圓的弦，此弦所對的弧究竟是優(yōu)弧還是劣弧，題設(shè)中并沒有直接指出來，所以在分析時要注意分類討論.

解：（1）當水面寬所對的弧是優(yōu)弧時，如圖3 所示，水面寬 EF為圓的弦，過圓心O作OG⊥EF，垂足為G，延H長GO交⊙O于點 H .

因為EF=240cm，OF=OH=130cm，F(xiàn)G=1 EF=120cm，

所以根據(jù)勾股定理可知，

此時下水道中的水深130 + 50=180cm. （2）當水面寬所對的弧是劣弧時，如圖4所示，同理可知此時下水道中的水深 GH=OH - OG=130 - 50=80 cm.綜上所述，下水道中水的最大深度為80cm或180cm.

三、當相交兩圓的圓心與公共弦的位置不明確時應(yīng)分類討論

當兩圓相交時，它們的圓心與公共弦的位置關(guān)系通常有兩種情形：一是相交兩圓的圓心在公共弦的同側(cè);二是相交兩圓的圓心在公共弦的異側(cè).所以在求解相交圓的圓心距問題時，若相交兩圓的圓心與公共弦的位置關(guān)系未知，同學們要注意分類討論.

例3 若兩圓相交，且它們的半徑分別為10和9，公共弦為12，則這兩個圓的圓心距為（ ）.

分析：對于此題，不少同學容易錯選A項或B項.這是因為他們分析時考慮不夠周全，忽略了分類討論，以致出現(xiàn)錯誤答案.事實上，此題中相交兩圓的圓心與公共弦的位置是不確定的，它可能在公共弦的同一側(cè)，也可以在公共弦的異側(cè)，所以需要分兩種情況進行討論.

解：①當相交兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時，如圖5所示，O1M=10，O2M=9，公共弦 MN=12，O1O2交MN于點 P，則MP=6.

由勾股定理可知，