將數(shù)學(xué)知識“打包”

夏永立

[摘 要]只有把握好數(shù)學(xué)知識的整體框架，對教材內(nèi)容進(jìn)行“重組”，才能溝通知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。教師應(yīng)站在數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)的高度，用結(jié)構(gòu)的觀點理解數(shù)學(xué)教材，用結(jié)構(gòu)化的方法處理數(shù)學(xué)教材，將數(shù)學(xué)知識“打包”給學(xué)生，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，建構(gòu)結(jié)構(gòu)化的思維方式，不斷提升思維品質(zhì)，從而真正促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)知識;加減乘除;結(jié)構(gòu)化思維

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0004-04

【課前慎思】

二年級的學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了加法、減法、乘法和除法的知識，知道了四則運算的意義，但并不清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

在四則運算中，加法、減法、乘法和除法并不是孤立的，而是有著緊密的聯(lián)系，是從前往后縱向聯(lián)結(jié)的，也是由此及彼橫向聯(lián)結(jié)的，更是由部分和部分、部分和整體內(nèi)部聯(lián)結(jié)的。加法和減法互為逆運算;乘法和除法互為逆運算;乘法是幾個相同加數(shù)的和的簡便運算，它是從加法中“孕育”出來的;除法可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的減法，它是從“減法”中生長出來的。為了讓學(xué)生知道四則運算的本源，找到數(shù)學(xué)知識之間的連接點，將腦子中散狀的概念串起來，組成知識鏈，形成完善的知識結(jié)構(gòu)，筆者努力尋找數(shù)學(xué)之“根”，讓數(shù)學(xué)知識生長出更多的“突觸”，從而枝繁葉茂。

基于以上的思考，筆者設(shè)計了一節(jié)復(fù)習(xí)拓展課，通過整合知識板塊凸顯知識的系統(tǒng)化，幫助學(xué)生更好地掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)中，通過“我是誰？家在哪？還去哪？”三個“大問題”，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生對運算概念的“前世”和“今生”了然于心，真正享受數(shù)學(xué)思考的樂趣。通過用一個圓形磁扣（下文簡稱“磁扣”）在數(shù)線上不斷進(jìn)行移動，使得學(xué)生在多種數(shù)學(xué)活動中理解四則運算的意義以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【課堂實錄】

一、操作觀察，建立關(guān)系

師：一年級的時候我們學(xué)習(xí)了加法和減法，二年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了乘法和除法。這節(jié)課我們一起來研究它們之間的關(guān)系。

出示數(shù)線圖（如圖1）：

師：你知道在數(shù)線上，0的“家”在哪嗎？這個磁扣應(yīng)該放在這條數(shù)線的哪里？（學(xué)生將磁扣放在數(shù)線圖上的0處）

師（板書算式：0+1）：我是誰？（張貼卡片：我是誰？）

生1：0+1。

師：0+1的新“家”在哪里？（張貼卡片：家在哪？）請將磁扣移一移。（學(xué)生操作，將磁扣放在1的位置）

師：磁扣是怎樣移動的？

生2：向右移動1格。

師：誰能表示這道算式的計算結(jié)果？

生3：0+1=1。

師：它（磁扣）現(xiàn)在怎樣回到原來的“家”？誰來移一移？（學(xué)生把磁扣從1向左移動1格）

師：可以寫出一道怎樣的算式？

生4：1-1=0。

師：比較兩次移動的過程，有什么相同和不同的地方？

生5：都是移動了1格，但磁扣移動的方向是相反的。

師：請說一道加法算式，并說說原來的“家”在哪里，現(xiàn)在怎樣移。如果想回到它原來的“家”，怎樣移？

師：請一位同學(xué)在數(shù)線上移動磁扣，別的同學(xué)用算式表示。（學(xué)生把磁扣從2直接拿到5）

師：誰能給他好的建議？

生6：磁扣應(yīng)該從2移到3，再移到4，最后移到5。

師：磁扣在5的位置，又怎樣回到原來的“家”呢？

生7：從5開始，向左移動3格。

師：剛才移動磁扣的過程，能用算式表示為2+3=5，5-3=2。

二、自主探究，溝通聯(lián)系

1.溝通加法和減法之間的聯(lián)系

師：在剛才移動磁扣的過程中，加法是怎樣移的？減法呢？加法和減法之間有什么聯(lián)系？

生1：加法是向右移動，減法是向左移動。

生2：加幾就向右移動幾格，減幾就是向左移動幾格。

2.溝通加法和乘法之間的聯(lián)系

師：剛才移動磁扣的時候，都是一格一格移的，還可以怎么移？

生3：可以2格2格地移，3格3格地移……

師（板書：2+2+2+2=）：我是誰？我原來的“家”在哪里？究竟該怎樣移磁扣呢？先在腦子里想，再在練習(xí)本的數(shù)線圖上將移磁扣的過程畫出來。

出示一位學(xué)生在數(shù)線圖上標(biāo)出移磁扣的過程（如圖2）：

師：原來的“家”在哪里？現(xiàn)在的“家”在哪里？磁扣是怎么移的？

生4：原來的“家”在0，現(xiàn)在的“家”在8，向右每次移2格，移了4次。

師：那么，可以列一道什么樣的算式？

生5：加法算式。2+2+2+2=8。

師：還可以列一道什么樣的算式？

生6：乘法算式。2×4=8。

師：在移動磁扣的過程中，加法和乘法有什么不一樣？

生7：加法是往右1格1格地移，而乘法是向右?guī)赘駧赘竦匾频摹?/p>

師：乘法算式是怎么得來的？

生8：乘法算式是由加法算式“長”出來的，當(dāng)相同的加數(shù)很多時，寫起來不太方便，可以用乘法算式來表示。

3.溝通除法和減法之間的聯(lián)系

師：觀察2+2+2+2=8，現(xiàn)在的“家”在哪里？原來的“家”又在哪里？可以怎么移？

生9：現(xiàn)在的“家”在8，原來的“家”在0，也可以2格2格地移。

出示一位學(xué)生在數(shù)線圖上標(biāo)出移磁扣的過程（如圖3）：

師：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的“家”。你能想到什么算式？

生10：8-[2-2-2-24個2]=0。

師：還可以用什么算式表示？

生11：8÷2=4。

師：前面已經(jīng)表示了加法和減法、乘法之間的關(guān)系，現(xiàn)在你能用箭頭表示除法和減法的關(guān)系嗎？

（學(xué)生嘗試）

師：剛才移磁扣的過程，可以用減法和除法算式表示，它們之間有什么聯(lián)系？

生12：除法可以看成是從一個數(shù)里面連續(xù)減去幾個相同的數(shù)。

4.溝通乘法和除法之間的聯(lián)系

師：結(jié)合剛才移磁扣的過程，觀察比較2×4=8和8÷2=4這兩道算式。乘法和除法有什么聯(lián)系？

生13：乘法是向右?guī)赘駧赘竦匾频模ㄊ窍蜃髱赘駧赘竦匾频摹?/p>

生14：乘法是向右跳動磁扣，除法是向左跳動磁扣。

三、合作交流，深化認(rèn)識

師（給學(xué)生每人一張畫有數(shù)線圖的練習(xí)紙，學(xué)生在數(shù)線圖上移磁扣，并把移的過程用箭頭表示出來，再寫出相應(yīng)的算式）：你還想幾格幾格地移？你能先寫一道連加的算式，再根據(jù)這道連加算式寫出乘法、減法和除法算式嗎？

師：你想怎么移磁扣？

生1：從0開始移磁扣，向右3格3格地移，移了3次。

師：你打算怎樣寫算式？

生1：3+3+3=9，3×3=9。

師：它現(xiàn)在又想回到原來的“家”了，可以怎樣移？

生1：從9開始3格3格地左移，移到0的位置。

師：你會寫算式嗎？

生1：9-[3-3-33個3]=0，9÷3=3。

師：這些是什么算式？

生2：加法算式、減法算式、乘法算式和除法算式。

生3：我是一格一格地移的，加法算式是1+1+1+1+1+1=6，減法算式是6-1-1-1-1-1-1=0，乘法算式是1×6=6，除法算式是6÷1=6。

生4：我是4格4格地移的，移了2次。加法算式是4+4=8，減法算式是8-4-4=0，乘法算式是2×4=8，除法算式是8÷4=2。

師：它們之間有關(guān)系嗎？

生4：加法和減法之間有關(guān)系，加法和乘法之間有關(guān)系，除法和減法之間有關(guān)系，除法和乘法之間有關(guān)系。

師：請嘗試畫箭頭表示四則運算之間的關(guān)系。

（學(xué)生展示畫法：從加法畫一個箭頭到乘法，表示由加法可以得到乘法;從減法畫一個箭頭到除法，表示由減法可以得到除法;加法和減法之間畫雙箭頭，表示由加法可以得到減法，由減法也可以得到加法;乘法和除法之間畫雙箭頭，表示由乘法可以得到除法，由除法也可以得到乘法。）

師：它們之間有什么樣的關(guān)系？

生5：它們之間可以互相轉(zhuǎn)化。

師：加減是互逆的，相反的;乘除是互逆的，相反的。但是，乘法又是由加法“生”出來，除法是由減法“生”出來的。它們就像一家人一樣，關(guān)系非常密切。如果把加法比喻成爸爸，乘法就是兒子;如果把減法比喻成媽媽，除法就是女兒。

四、拓展延伸，遷移學(xué)法

師：剛才我們把磁扣從0向右移，還可以怎樣移？

生1：向左移。

師：從0開始，向左移1格，請同學(xué)們大膽猜測，可以用哪一道算式表示？

生2：0-1。

師：0-1等于多少？

（許多學(xué)生說“-1”）

師：你們都知道負(fù)數(shù)了，那在哪里見到過-1？

生3：在電梯里，-1是地下一層。

師：0-2的新“家”在哪里？誰能移磁扣來表示？

生4：將磁扣從0向左移2格。

師：這個數(shù)是誰呢？我們把0-2的結(jié)果暫時用□來表示（如圖4）。

師：0-3的“家”又在哪里？

生5：將磁扣從0開始移動，向左移3格。

師：這次我們用△來表示0-3的結(jié)果（如圖4）。

師：你覺得是0-2的結(jié)果大，還是0-3的結(jié)果大？

生6：數(shù)線圖上的點越往左邊，數(shù)越來越小;數(shù)線圖上的點越往右邊，數(shù)越來越大。

師：其實數(shù)線圖上還隱藏著很多的奧秘，等待你們以后去發(fā)現(xiàn)。

五、回顧反思，形成結(jié)構(gòu)

師：這節(jié)課有新的收獲嗎？（學(xué)生回答略）

師：很多數(shù)學(xué)知識其實都不是彼此孤立的，是有聯(lián)系的，將它們串起來，就會形成新的知識網(wǎng)絡(luò)。

【課后反思】

這是一節(jié)單元復(fù)習(xí)拓展課，是筆者基于對教材的理解，創(chuàng)編的一個課例，以表達(dá)對“大單元”教學(xué)的一些思考。

一、素材少

四則運算的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？加法就是計數(shù)單位的累加，減法就是計數(shù)單位的遞減，乘法是由加法“生長”出來的，除法是由減法“生長”出來的。

在這節(jié)課中，筆者利用一條數(shù)線和一個圓形磁扣，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上移動磁扣，從而感受加、減、乘、除之間的內(nèi)在聯(lián)系。簡約和直觀的素材，為學(xué)生后續(xù)的探究學(xué)習(xí)搭建了“腳手架”。

這樣的教學(xué)設(shè)計能幫助學(xué)生明確知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，將零散的數(shù)學(xué)知識串聯(lián)起來，建立完整的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中理解知識，就可以形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、空間大

這節(jié)課，采用“我是誰？家在哪？還去哪？”三個數(shù)學(xué)核心問題，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，讓學(xué)生的思維不斷延伸?！拔沂钦l”是讓學(xué)生觀察一道算式，進(jìn)行思考?！凹以谀模俊笔且龑?dǎo)學(xué)生思考原來的“家”在哪里，新的“家”又在哪里，怎樣在數(shù)線上移動磁扣才能夠找到新的“家”：可以1格1格地移，也可以幾格幾格地移;可以從左往右移，也可以從右往左移。最后，“還去哪？”實現(xiàn)學(xué)習(xí)方法的遷移。也就是要不斷開闊學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野，為中學(xué)學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法做好有效鋪墊。

放手讓學(xué)生獨立操作和合作交流，給予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時間和空間。筆者先讓學(xué)生自己寫一道連加算式，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維“由這道連加算式，我們可以想到哪些算式？”，然后讓學(xué)生自由地在自己的練習(xí)紙上畫線表示磁扣移動的過程。這種開放式的練習(xí)，就給了學(xué)生很大的思考空間，而不是讓學(xué)生局限于某一道算式。學(xué)生通過交流辨析，對四則運算關(guān)系的理解會更加深刻。

在以往的教學(xué)中，筆者都是自己畫箭頭，這種教學(xué)雖然很順暢，但是沒有給學(xué)生一個具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)。在這節(jié)課中，筆者嘗試讓學(xué)生畫箭頭，學(xué)生在畫箭頭的過程中有對話、有交流，認(rèn)識會更加深刻。

學(xué)生在動手操作、畫圖表征和交流分享的過程中，將碎片化的知識連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊，建立了整體的結(jié)構(gòu)化思維，形成了完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、思考深

從一道簡單的加法算式“0+1”開始，通過“原來的‘家在哪里？”“怎樣移動磁扣就可以找到新的‘家？”“新的‘家在哪里？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生比較加法與減法的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)乘法與除法之間的關(guān)系，勾連出加、減、乘、除四則運算之間的關(guān)系。

這節(jié)課不僅是讓學(xué)生理解加、減、乘、除之間的關(guān)系，還通過在數(shù)線上的磁扣可以向0的左邊移動引出負(fù)數(shù)。低年級學(xué)生對負(fù)數(shù)有一定的生活經(jīng)驗，所以這樣的學(xué)法遷移，不是超綱，而是一種系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，真正實現(xiàn)了為遷移而教。

本節(jié)課呈現(xiàn)了加、減、乘、除之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和概括能力。在本節(jié)課中，學(xué)生掌握了探究知識內(nèi)在聯(lián)系的方法，積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，就能利用這些經(jīng)驗進(jìn)行大膽的“創(chuàng)新”，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。

（責(zé)編 金 鈴）