基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的課堂教學(xué)設(shè)計路徑

何壘 楊天波

摘 ? ? ?要

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)是學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思維，追求數(shù)學(xué)精神。在數(shù)學(xué)教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)可聚焦數(shù)學(xué)從哪里來、如何發(fā)展、應(yīng)用到哪里去、留給我們什么等問題。并據(jù)此構(gòu)建突出數(shù)學(xué)本質(zhì)的包括知識層、教學(xué)層、目標層的課堂教學(xué)設(shè)計路徑圖，以發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān) 鍵 詞

數(shù)學(xué)本質(zhì) ?數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng) ?課堂教學(xué)設(shè)計

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何壘，楊天波.基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的課堂教學(xué)設(shè)計路徑[J].教學(xué)與管理，2022（22）：47-49.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》指出“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)”[1]。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育必須落實到課堂教學(xué)中，因而在教學(xué)活動中，不論是情境的創(chuàng)設(shè)、問題的提出，還是學(xué)生知識的建構(gòu)，都應(yīng)突出數(shù)學(xué)本質(zhì)。

數(shù)學(xué)本質(zhì)即回答數(shù)學(xué)是什么的問題。張奠宙先生認為數(shù)學(xué)本質(zhì)的內(nèi)涵為“數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程，數(shù)學(xué)思想方法的提煉，數(shù)學(xué)理性精神的體驗等諸多方面”[2]。史寧中教授認為，“數(shù)學(xué)是對現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系、空間形式和變化規(guī)律進行抽象，通過概念和符號進行運算與邏輯推理的科學(xué)”[3]。傅贏芳認為，“學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解主要包括對數(shù)學(xué)知識的來源、發(fā)展以及運用的理解”[4]。基于上述定義，筆者認為可從廣義和狹義兩方面理解數(shù)學(xué)本質(zhì)：廣義的數(shù)學(xué)本質(zhì)即回答數(shù)學(xué)是什么的問題，是從不同角度表達對數(shù)學(xué)的認知。狹義的數(shù)學(xué)本質(zhì)聚焦于數(shù)學(xué)教學(xué)，指數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)即學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，把握數(shù)學(xué)思想，感悟數(shù)學(xué)思維，追求數(shù)學(xué)精神[5]。狹義的數(shù)學(xué)本質(zhì)更利于教師在教學(xué)中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，使數(shù)學(xué)教學(xué)回歸本質(zhì)。

數(shù)學(xué)本質(zhì)是由數(shù)學(xué)內(nèi)里回答數(shù)學(xué)為何，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是自外部提出育人的總體目標，是“四基”的繼承和發(fā)展，二者看似毫無關(guān)聯(lián)，實則不然?！八幕笔巧蓴?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，強調(diào)“四基”就是要把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)[6]。數(shù)學(xué)本質(zhì)為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基石，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)本質(zhì)的上層建筑。素養(yǎng)與能力的培育必須借助體現(xiàn)了學(xué)科本質(zhì)的教學(xué)來支撐[7]，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)亦是如此。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培育落實在課堂教學(xué)，而課堂教學(xué)的基點在教學(xué)設(shè)計。指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)以數(shù)學(xué)本質(zhì)的詮釋為前提，不只停留于知識的表面形態(tài)，更要注重其內(nèi)核與實質(zhì)，進而在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)設(shè)計中逐步揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，使得學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，從而發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)（如圖1）。

圖1基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)設(shè)計路徑

一、知識層：教師對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深刻理解

知識層是指教師在設(shè)計教學(xué)時，從知識來龍去脈的角度把握知識本質(zhì)，從而保證教師對知識的理解，以及對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的深刻把握。

1.數(shù)學(xué)從哪里來

從數(shù)學(xué)認識論的角度看，數(shù)學(xué)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識的經(jīng)驗性與演繹性在實踐基礎(chǔ)上的辯證統(tǒng)一[8]。即數(shù)學(xué)的研究對象一方面由現(xiàn)實世界中抽象而得，另一方面從數(shù)學(xué)內(nèi)部演繹推理而來。第一，現(xiàn)實抽象。19世紀以前，人們普遍認為數(shù)學(xué)是一種自然科學(xué)、經(jīng)驗科學(xué)，也從側(cè)面反映出大量的數(shù)學(xué)對象源于現(xiàn)實。人們在解決現(xiàn)實問題實踐的基礎(chǔ)上獲得數(shù)學(xué)的經(jīng)驗知識。如算術(shù)和幾何產(chǎn)生于日常生活、生產(chǎn)中的計數(shù)與測量。通過對現(xiàn)實生活的抽象，人們把現(xiàn)實世界中數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系抽象到數(shù)學(xué)內(nèi)部，形成數(shù)學(xué)的基本概念。第二，數(shù)學(xué)內(nèi)部。從現(xiàn)實中抽象而得的經(jīng)驗知識屬于感性認識，此時的概念尚不精準，甚至會導(dǎo)致推理的矛盾。如數(shù)系的擴充過程，最初人類從現(xiàn)實生產(chǎn)、生活過程中抽象出自然數(shù)系，而隨著認識的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)自然數(shù)系是一個離散的，只能進行加法和乘法運算，不能施行逆運算的數(shù)系。于是產(chǎn)生了負數(shù)、分數(shù)等新的數(shù)學(xué)對象，逐步滿足數(shù)學(xué)內(nèi)部體系運算邏輯封閉性的要求。這是一類產(chǎn)生于數(shù)學(xué)發(fā)展完善過程中的知識。

2.數(shù)學(xué)如何發(fā)展

獲得研究對象后，數(shù)學(xué)的進一步發(fā)展主要依靠推理。推理分為兩類：一是從一般到特殊的演繹推理，二是從特殊到一般的合情推理，合情推理具體分為歸納推理和類比推理。演繹推理嚴謹而死板，歸納推理則更具思維的活力，二者相輔相成不可或缺。教材中呈現(xiàn)的知識是學(xué)術(shù)形態(tài)的冰冷的知識，嚴謹簡潔且具有形式化的美感。這種形態(tài)的知識卻不利于學(xué)生的接受與理解，因而把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)化為教育形態(tài)是所有數(shù)學(xué)教師的責任[9]。將知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài)的途徑之一是鼓勵學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣大膽去嘗試、猜想、類比、歸納，進而引導(dǎo)學(xué)生采用演繹推理的方式證明自己的猜想。將知識的發(fā)生發(fā)展的全過程呈現(xiàn)給學(xué)生，盡可能使學(xué)生有動手操作的機會。教會學(xué)生分析問題的一般思路，研究問題的一般方法，如某個主題知識的建構(gòu)過程，通常涉及概念、性質(zhì)、特例關(guān)系及應(yīng)用。從更宏觀的角度去理解所學(xué)習知識的發(fā)展過程及結(jié)構(gòu)，這樣有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的養(yǎng)成。

3.數(shù)學(xué)應(yīng)用到哪里

數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)還存在于它的應(yīng)用中，體會其中蘊含的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運算，從而加深對知識本質(zhì)、知識與知識間關(guān)系的理解。在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程中體會數(shù)學(xué)概念的二重性，即許多概念既是一種過程，又是對象、結(jié)構(gòu)。如“探究四邊形的內(nèi)角和”需要用到三角形內(nèi)角和定理，若將其看作一個過程，將三角形內(nèi)角和定理的探索過程遷移則可得出作平行線探究四邊形內(nèi)角和定理的方法，若將其看作一個確定的結(jié)論，則會在四邊形內(nèi)角和定理的探究過程中將四邊形化作兩個三角形，直接運用三角形內(nèi)角和定理。從概念的應(yīng)用過程中亦可加深學(xué)生對概念本質(zhì)的理解。

4.數(shù)學(xué)留給我們什么

以往我國基礎(chǔ)教育較為重視基礎(chǔ)知識和基本技能，而忽略學(xué)生情感、態(tài)度及價值觀方面的培養(yǎng)，這已然不符合新時代的育人目標，因而在后續(xù)的教育改革中將情感態(tài)度價值觀加入到三維目標。教師應(yīng)清楚地認識到“數(shù)學(xué)不等于數(shù)學(xué)知識”，數(shù)學(xué)家萊布尼茨認為：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)不在于它的對象，而在于它的思想、方法?！被跀?shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)在學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的同時，還需要適當?shù)卣故鞠嚓P(guān)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想、理性精神、數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)美。比如在高中三角函數(shù)的概念教學(xué)中，可適當?shù)亟榻B三角學(xué)與天文學(xué)的背景知識，以此凸顯人類對宇宙奧秘的探索精神，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，發(fā)揮數(shù)學(xué)在學(xué)生理性分析問題、批判性看待問題、創(chuàng)造性解決問題過程中的作用。

二、教學(xué)層：強調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)的教育形態(tài)知識

中間層為教學(xué)層，是指教師對知識本質(zhì)的深刻理解后的教育形態(tài)轉(zhuǎn)化，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)滲透在教學(xué)的各個環(huán)節(jié)中。

1.設(shè)置適宜的教學(xué)情境，感受數(shù)學(xué)本質(zhì)

在課程改革的熏陶下，教師大都具備創(chuàng)設(shè)情境的意識，但存在情境泛濫、情境過難、情境流于形式等問題，因此應(yīng)創(chuàng)設(shè)恰當?shù)那榫?。從?shù)學(xué)來源的角度考慮，如高中“三角函數(shù)”這一章節(jié)內(nèi)容的引入，可創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實生活中四季變化、月亮圓缺、潮汐變化等具有周期性變化的情境，這是因為三角函數(shù)是因刻畫現(xiàn)實中周期現(xiàn)象而發(fā)展的。若知識產(chǎn)生于數(shù)學(xué)內(nèi)部，則不宜采用現(xiàn)實情境的方式進行導(dǎo)入，如“探究多邊形的內(nèi)角和公式”的課題，某些教師采用“設(shè)計一個正多邊形的水池”的實際問題情境，其結(jié)果是學(xué)生在將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程中花費了大量時間，長期如此，學(xué)生會失去對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣。倘若從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，從數(shù)學(xué)知識的來源分析，多邊形以三角形為基本圖形，增加邊數(shù)而得到，故“探究多邊形的內(nèi)角和定理”可利用三角形的內(nèi)角和為情境，將多邊形向三角形化歸得到。

2.預(yù)設(shè)本原性數(shù)學(xué)問題，驅(qū)動數(shù)學(xué)本質(zhì)

本原性數(shù)學(xué)問題指對學(xué)生理解某個知識最本質(zhì)、最根本的問題。本原性數(shù)學(xué)問題從兩個方面產(chǎn)生：一是教師在對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)準確把握的前提下，從數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展及應(yīng)用出發(fā)，提出揭示當前數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的問題;二是學(xué)生在課堂上理解數(shù)學(xué)對象后，提出有關(guān)數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的問題。要提出本原性數(shù)學(xué)問題，教師必須準確把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，并在瞬息萬變的課堂中發(fā)掘?qū)W生提出問題的價值。例如高中函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中本原性數(shù)學(xué)問題為“如何用數(shù)學(xué)符號語言刻畫單調(diào)性”。在本原性數(shù)學(xué)問題的驅(qū)動下，學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解更加深入，能更準確把握概念的內(nèi)涵與外延，理清概念之間的聯(lián)系，體會知識蘊含的數(shù)學(xué)思想，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.突出知識間內(nèi)在結(jié)構(gòu)，強化數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習是以學(xué)習者已有認知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，通過同化或順應(yīng)，將新知識納入認知結(jié)構(gòu)的過程?；跀?shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)，必須使新舊知識建立起非人為的、實質(zhì)性的聯(lián)系，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯，從而在頭腦中建構(gòu)起整體性、系統(tǒng)性的知識。例如學(xué)習數(shù)列時，首先使學(xué)生理解數(shù)列實質(zhì)是離散的函數(shù)，在后續(xù)數(shù)列的研究中，自然能激活認知中關(guān)于函數(shù)的研究經(jīng)驗、方法及思想，因而研究等差、等比數(shù)列就可類比研究基本初等函數(shù)的經(jīng)驗，也就不難想到運用圖像研究數(shù)列性質(zhì)、推導(dǎo)前n項和公式等，從而將數(shù)列的相關(guān)知識納入函數(shù)的認知體系中，與函數(shù)形成強聯(lián)系，便于后續(xù)相關(guān)知識的存儲與提取。

4.以數(shù)學(xué)基本思想為統(tǒng)領(lǐng)，深化數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)不等同于數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)教學(xué)也不只是數(shù)學(xué)知識的教學(xué)。數(shù)學(xué)對人的智力、理性思維、科學(xué)精神及創(chuàng)新意識的發(fā)展有著不可替代的作用，而數(shù)學(xué)的思維、精神的培養(yǎng)不是一蹴而就的，是在長期的數(shù)學(xué)學(xué)習中逐步滲透而得。在課堂中既需要知識的教學(xué)，還應(yīng)凸顯知識蘊含的數(shù)學(xué)基本思想，如抽象、推理及模型。由抽象得到數(shù)學(xué)的研究對象;以邏輯推理推出數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)及關(guān)系，促進數(shù)學(xué)的完備;憑借模型溝通數(shù)學(xué)與外部世界，從現(xiàn)實中來，又回到現(xiàn)實中去。數(shù)學(xué)基本思想貫穿于知識的發(fā)生、發(fā)展、應(yīng)用的全過程，因此在課堂教學(xué)中，教師要以數(shù)學(xué)基本思想為統(tǒng)領(lǐng)，帶領(lǐng)學(xué)生一同感悟知識發(fā)生發(fā)展的過程，理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是改變知識本位教育的一個途徑，也是基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)所依賴的。

5.引導(dǎo)反思總結(jié)，內(nèi)化數(shù)學(xué)本質(zhì)

教師須在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思，積極主動地建構(gòu)認知，對知識進行精加工，抓住知識背后的聯(lián)系，提煉問題解決的方法策略，感悟數(shù)學(xué)思想方法，形成對數(shù)學(xué)的整體認識。例如，如果解題教學(xué)僅僅聚焦于解決某個具體的問題，使用具體的方法，而不對該題目、方法進行概括、總結(jié)，挖掘其中深層的思想，長此以往，學(xué)生不易產(chǎn)生遷移，題目稍加變動，則毫無辦法、手足無措，導(dǎo)致“只見樹木，不見森林”。反之，若在實際教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)時采用“樹狀圖”，每學(xué)完一部分知識，就在“樹圖”中增加“枝葉”，學(xué)生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)便會隨之增長，愈加趨于完善，從而查漏補缺，內(nèi)化數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、目標層：學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的準確把握

內(nèi)層為目標層，是指學(xué)生在經(jīng)歷了基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)后逐步達到對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，最終形成和發(fā)展為學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。與知識、技能等目標的達成不同，數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習中的長期性目標，這些目標的達成需要逐步滲透、緩慢浸潤。當前教學(xué)中，由于各種原因?qū)е鲁霈F(xiàn)急功近利，將“短平快”地提升成績作為目標，對知識淺嘗輒止，將數(shù)學(xué)本質(zhì)的把握視作副產(chǎn)品，如此何談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？何以立德樹人？故而教育需要回到簡約、回到純粹、回到風清氣正，數(shù)學(xué)教學(xué)需要回到數(shù)學(xué)本質(zhì)，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)準確把握，在理解數(shù)學(xué)中生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

總而言之，指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)以數(shù)學(xué)本質(zhì)的詮釋為前提?；跀?shù)學(xué)本質(zhì)的課堂教學(xué)正是核心素養(yǎng)落地的一條路徑。一線教師須摒棄成見，仔細研讀課程標準及教材，洞悉數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，著眼數(shù)學(xué)知識的源起、發(fā)展及應(yīng)用，關(guān)注數(shù)學(xué)的思想方法、理性精神，體會數(shù)學(xué)的育人價值，如此，才能在教學(xué)中如魚得水，真正培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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