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    促進高層次理解 強化統(tǒng)計學意義

    2022-05-30 13:00:46仲秋月
    新教師 2022年8期
    關鍵詞:套圈平均數(shù)蘇州市

    仲秋月

    一、憑借直覺體驗,感受代表性

    【教學片段1】

    1. 課前活動。

    教師組織男女生代表玩套圈游戲。

    學生議一議:怎樣做到游戲公平?

    2. 情境創(chuàng)設。

    師:數(shù)學可以幫助我們解決很多實際問題。

    出示情境圖:四個小組進行套圈比賽,每人套15個。哪一組套得準些?(圖略)

    師:老師用條形統(tǒng)計圖表示出第一組和第二組的套圈情況,你能看懂嗎?(圖1)

    3. 交流思辨。

    師:第一組和第二組比,哪一組套得準些?你是怎么想的?

    生:第二組,因為第二組中的1號隊員套中了10個!

    師:真厲害,我宣布第二組獲勝!

    生:我不同意,雖然1號隊員套了10個,但是其他隊員都套得比較少。

    師:1號隊員能代表第二組的水平嗎?

    師:看來,套中10個或者套中4個,這些成績都只能代表某個隊員的水平,不能代表這一組的整體水平。那該怎么辦?

    生:把第一組、第二組套中的總和算出來比一比。

    師:第一組總成績是28個,第二組總成績是30個,能比出結果了吧?

    生:我不同意,第二小組多了一個隊員,假如再加上一個隊員,總數(shù)還會更多,比總數(shù)不公平!

    4. 自主探究。

    師:選其中一個隊員的成績比不行,比總數(shù)也不行,看來這個比較整體水平的代表數(shù)需要我們自己來創(chuàng)造。哪個數(shù)能代表第一組的整體水平呢?哪個數(shù)能代表第二組的整體水平呢?小組討論,把想法記錄在學習單“探究一”中。

    師:請問你找到了哪個數(shù)代表第一組的成績呢?

    生:我找的數(shù)是“7”。(圖略)

    師:你們能看懂他圖上畫的兩個箭頭嗎?

    生:他的意思是把2號同學套中的9個里面拿一個給1號,再拿一個給4號。

    師:為什么要給1號和4號呢?

    生:因為他們套中的比較少。

    師(演示移動過程):這時候4個隊員套中的個數(shù)變得怎樣?

    師:用“7”這個數(shù)代表第一組的整體水平,可以嗎?你們有沒有其他意見?

    揭示:“7”就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

    【賞析】平均數(shù)作為統(tǒng)計量,其意義在于刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)(可能碰巧與某個數(shù)據(jù)相等),但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關,代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較,就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù),因為平均數(shù)具有良好的代表性,不僅便于比較,而且公平。劉老師創(chuàng)設了學生感興趣的游戲情境,選擇兩組精心設計的數(shù)據(jù),通過動態(tài)呈現(xiàn)和思辨追問,激發(fā)學生的認知沖突,使學生直觀體驗到每一個數(shù)據(jù)都難以代表整體水平,必須創(chuàng)造一個“新數(shù)”。

    二、通過問題引領,理解虛擬性

    【教學片段2】

    1. 對話交流。

    師:巧了,3號隊員的成績就是7個,這兩個“7”一樣嗎?

    生:不一樣,平均數(shù)“7”代表的是第一組的整體水平,3號隊員的“7”只代表他自己一個人的成績。

    2. 獨立探究,深化認知。

    學生獨立探究第二組的平均數(shù)。

    師:我們找到了第二組的平均數(shù)“6”,可是第二組沒有哪個隊員投6個呀?

    生:“6”是平均數(shù),并不是哪個隊員投中的個數(shù)。

    師:“6”是哪幾個數(shù)的平均數(shù)?

    生:“6”是“10、4、7、5、4”這5個數(shù)的平均數(shù)。

    生:平均數(shù)“6”原來是沒有的,是我們通過移多補少得到的。

    師:平均數(shù)“6”能代表1號隊員的成績嗎?能代表2號隊員的成績嗎?它究竟代表的是哪個同學的成績呢?

    生:代表的是第二組所有同學的成績。

    生:代表了這一組的整體水平。

    生:“6”不是原來5個數(shù)中的任何一個數(shù),只是代表這些數(shù)的數(shù)。

    師:明白了,平均數(shù)并不是原來數(shù)據(jù)中的哪一個,而是我們創(chuàng)造出來的、代表整體水平的數(shù)。有時可能碰巧會和原來數(shù)據(jù)中的某一個相等,也可能和原來數(shù)據(jù)中任何一個都不相等。

    【教學片段3】

    出示第四組學生套圈成績統(tǒng)計圖。(隱去具體數(shù)據(jù),僅保留平均線,圖略)

    師:4個人的平均成績是5個,是不是每個隊員都套中5個呢?

    生:不可能,因為這個“5”是平均數(shù)。

    生:有可能其中有隊員套中5個,但不會全部都套中5個。

    師:有沒有可能這4個隊員都套中5個呢?

    生:也有可能,但這種情況比較特殊。

    生:有可能有人套中5個,也有的比5個多,也有的比5個少。

    【賞析】平均數(shù)是在描述一組原始數(shù)據(jù)的過程中產生的,它不是客觀存在的,具有虛擬性。如何讓學生理解“平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一個數(shù)據(jù)”呢?劉老師通過層層遞進的問題引領,幫助學生在描述數(shù)據(jù)、進行整體水平對比的過程中深化對“平均數(shù)是一種統(tǒng)計量”的本質的認知,實現(xiàn)從統(tǒng)計學的角度學習平均數(shù),強化平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。

    三、巧妙設置變式,體會敏感性

    【教學片段4】

    1. 探究活動。

    出示第三組學生套圈成績。(各個隊員的成績?yōu)椋?、5、9、5、7。圖略)

    引導學生自主探索“先合后分”的計算方法。

    2. 設置變式。

    師:第三組還有一位6號隊員沒有出場呢!瞧,他套中了幾個?(課件出示6號隊員成績?yōu)?)

    師:這一組的平均數(shù)還是“6”嗎?你是怎么想的?

    生:還是6,因為加起來的總數(shù)不變,還是30個。

    師:總數(shù)不變,平均數(shù)也不變!

    生:不對,平均數(shù)會變!

    師:總數(shù)沒有變,平均數(shù)怎么就變了?

    生:因為人數(shù)變了,多了6號隊員,所以我們計算的時候要總數(shù)除以6!

    師:增加了一名隊員,怎么平均數(shù)變少了呢?

    生:6號隊員投中了0個,他拉低了整體水平。

    師問生:現(xiàn)在你覺得平均數(shù)還是“6”嗎?

    師:每一個數(shù)據(jù)都會對整體的平均數(shù)產生影響。

    【教學片段5】

    1. 設疑激趣。

    出示:第四組學生套圈成績的平均數(shù)是“5”,請問4號隊員套中了幾個?(圖2)

    2. 設置變式。

    師:假如4號隊員投了10個,平均數(shù)還是“5”嗎?

    師:比畫一下,現(xiàn)在平均數(shù)會怎樣?

    學生用手勢表示平均數(shù)升高。

    生1:現(xiàn)在平均數(shù)是“6”。

    師:為什么會變成“6”?

    生2:因為4號隊員增加了4個,這4個正好平均分給一人一個,所以平均數(shù)就增加了“1”。

    師:如果4號隊員的成績變少了,平均數(shù)會改變嗎?

    師:看來平均數(shù)很“調皮”,會隨著數(shù)據(jù)的變化而發(fā)生變化。

    【賞析】平均數(shù)與該組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)相關,稍有風吹草動就能帶來平均數(shù)的變化,這就是平均數(shù)的敏感性。這一抽象的性質如何讓小學生理解呢?劉老師巧設極端數(shù)據(jù),通過適當?shù)?、把握本質的追問,讓學生進一步深化對平均數(shù)性質的認知。借助直觀的條形統(tǒng)計圖,引導學生“看著圖想”或“通過計算想”,學生思維上、情感上經(jīng)歷了從一籌莫展到茅塞頓開的過程,對平均數(shù)的意義以及性質有了更深的體會。

    四、基于真實數(shù)據(jù),解釋合理性

    【教學片段6】

    練習1:全國人均月收入為3683元,蘇州市人均月收入為6917元。

    師:你知道這兩個平均數(shù)表示什么意思嗎?你有什么想法嗎?

    練習2:評價一座城市的健康水平,不是看醫(yī)院治了多少病人,做了多少手術,而是看老百姓的平均壽命和生活質量?!耙越】禐橹行摹钡睦砟?,已融入蘇州市各項政策當中。2019年中國人均壽命為77.3歲,蘇州市人均壽命為83.82歲,蘇州市該指標處于持續(xù)向上攀升的良好態(tài)勢。

    師:找到平均數(shù)了嗎?你有什么想法?

    師:我們生活在蘇州,是不是每個人的壽命都能達到83歲?

    練習3:根據(jù)有關規(guī)定,鐵路部門對學齡前兒童實行免票乘車,即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2米的兒童免費乘車。1.2米這個數(shù)據(jù)可能是如何得到的?據(jù)統(tǒng)計,目前蘇州市6歲男童身高的平均值是117厘米,女童身高的平均值是116厘米。請根據(jù)上面的信息解釋免票線確定的合理性。

    【賞析】敘述出概念的定義,或者會計算,不等于真正理解某個概念,還要看能否在不同情境中運用概念。由于平均數(shù)這個概念對小學生而言是非常抽象的,平均數(shù)的背景也很復雜,如果學生能在稍復雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題,說明學生初步理解了平均數(shù)。因此,劉老師給出了三組復雜程度不同的真實數(shù)據(jù),引導學生借助前面所學的平均數(shù)的意義和性質來解釋這些數(shù)據(jù),體會其合理性,知道什么情況下用平均數(shù)做判斷、做預測的結論更好,在真實問題情境中加深對平均數(shù)作為一個統(tǒng)計量的意義與價值的理解。

    (作者單位:江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實驗學校責任編輯:王彬)

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