“寶藏的位置”問題中的秘籍

卞娜

提出問題

喬治·伽莫夫是一位出生于俄國的美籍物理學(xué)家，在其所著的《從一到無窮大》中，有一段小故事引出了一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題：

從前，有一個(gè)愛冒險(xiǎn)的年輕人，在曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)一張羊皮紙，上面寫著：

乘船至北緯××，西經(jīng)××，即可找到一座荒無人煙的小島. 島的北岸有一大片草地. 草地上有一株橡樹和一株松樹，還有一座絞架. 從絞架走到橡樹，記住走了多少步. 到了橡樹后向右拐個(gè)直角，再走同樣的步數(shù)后，在這里打個(gè)樁.回到絞架，朝松樹走去，也記住所走的步數(shù). 走到松樹后向左拐個(gè)直角，再走同樣的步數(shù)后，在這里也打個(gè)樁. 在這兩個(gè)樁的中間挖下去，就能找到寶藏.

這位青年租了一條船開往目的地，果然發(fā)現(xiàn)了荒島，也找到了島上的橡樹和松樹. 但令他大失所望的是，絞架無影無蹤，不知去向. 年輕人陷入了絕望，在地上亂挖起來. 但是，地方太大了，一切努力只是徒勞. 他只好兩手空空，啟帆回程.

其實(shí)，這位冒險(xiǎn)家若能仔細(xì)思考，就能獲得寶藏. 因?yàn)槁癫貙毑氐牡攸c(diǎn)只依賴于橡樹和松樹的位置，與絞架的位置根本無關(guān)！

大膽猜想

如圖1，點(diǎn)A，B分別表示松樹和橡樹，點(diǎn)C表示絞架原來的位置. 從點(diǎn)C出發(fā)往點(diǎn)A走，左轉(zhuǎn)90°后再走相同的長度，所到之處記為點(diǎn)D. 換句話說，AC = AD，且∠CAD = 90°. 然后，從點(diǎn)C出發(fā)往點(diǎn)B走，右轉(zhuǎn)90°后再走相同的長度，所到之處記為點(diǎn)E. 換句話說，BC = BE，且∠CBE = 90°. 連接DE，DE的中點(diǎn)M就是寶藏的位置.

點(diǎn)M好像會(huì)和A，B兩點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形. 若此猜想成立，則表明點(diǎn)M的位置由A，B兩點(diǎn)的位置確定，與點(diǎn)C的位置無關(guān)！下面就對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證.

驗(yàn)證猜想

思路點(diǎn)撥：要證△ABM是等腰直角三角形，結(jié)合已知條件“點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)”，可采用“倍長中線法”，即延長AM至點(diǎn)N，使MN = AM，連接BN， 易證△AMD≌△NME.

下面只需證明△ABN是等腰直角三角形即可，這就需要證明△ABC≌△NBE，難點(diǎn)在于證明∠ACB = ∠NEB. 觀察這兩個(gè)角的兩邊，我們發(fā)現(xiàn)其中一條邊BC，EB互相垂直，聯(lián)想“如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”，可以大膽猜測∠ACB與∠NEB的另一條邊AC與EN也必然互相垂直. 于是想到延長AC，交EN的延長線于點(diǎn)F.

如圖2，易證NE = AD = AC，∠ADM = ∠NEM.

∴AD[?]NE. ∴∠F = ∠DAC = 90°.

∵∠CBE = 90°. ∴∠F + ∠CBE = 180°，

∴∠BCF + ∠BEF = 180°.

∵∠ACB + ∠BCF = 180°，∴∠ACB = ∠BEN.

∵BC = BE，AC = NE，∴△ABC≌△NBE，

∴AB = NB，∠ABC = ∠NBE，

∴∠ABN = ∠ABC + ∠CBN = ∠NBE + ∠CBN = ∠CBE = 90°.

∴△ABN是等腰直角三角形. 又∵AM = MN，∴△ABM是等腰直角三角形.

歸納總結(jié)

寶藏的位置僅與橡樹和松樹的位置有關(guān)，而與絞架的位置無關(guān). 點(diǎn)C可以移到整個(gè)平面上的任意位置，甚至可以移到線段AB上，點(diǎn)M的位置仍然不變. 也就是說，只要以點(diǎn)A，B以外的任意一點(diǎn)（點(diǎn)A，B除外）作為絞架的位置，就一定能找到寶藏. 同學(xué)們可以嘗試一下圖3中的七種情形. 其實(shí)，這個(gè)尋寶問題只不過是一個(gè)與定點(diǎn)有關(guān)的幾何游戲而已！

[A][B][E][M][D][C][E][M] [D][A][C][B] [B][C][A][D][M][E][B][C][D][A][M][E] [D][B][A][C][E][E][M][D][A][C][B][B][A][D][C][M][E]

（作者單位：山東省膠州市瑞華實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）