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    無界域上非自治Navier-Stokes方程的后向緊動力學(xué)

    2020-01-15 06:06:18佘連兵高云龍
    關(guān)鍵詞:后向緊性有界

    佘連兵,高云龍

    (六盤水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,貴州 六盤水 553004)

    Navier-Stokes方程是流體力學(xué)中描述粘性牛頓流體的方程, 在流體力學(xué)的研究中有十分重要的意義。目前關(guān)于Navier-Stokes方程的動力學(xué)行為已被廣泛研究, 見文獻[1-6]。

    最近, 文獻[7]研究了非緊的非自治動力系統(tǒng)的拉回吸引子A={A(t)}t∈R的后向緊性, 即∪s≤tA(s)是預(yù)緊的, 并建立了相應(yīng)的存在性理論;文獻[8]運用能量的方法, 對解進行高低頻分解,結(jié)合Sobolev嵌入的方法獲得具有弱耗散非自治Schr?dinger拉回吸引子的后向緊性;文獻[9-10]分別研究了非自治Reaction-Diffusion方程在有界域和無界域上的后向緊拉回吸引子的存在性,這些結(jié)果體現(xiàn)了非自治動力系統(tǒng)對時間依賴的特點。本文將利用該存在性理論研究如下無界Poincaré型域Q上的非自治Navier-Stokes方程的后向緊動力學(xué):

    (1)

    其中:t≥τ,τ∈R;常數(shù)ν>0是流體的運動粘度;u是流體的速度場,p是流體所受的壓力;f(x,t)是流體的外驅(qū)動力;無界開集Q?R2滿足如下的Poincaré不等式:

    (2)

    在外驅(qū)動力f是后向一致緩增有限的假設(shè)下(見假設(shè)F), 證明了方程(1)在一個能量空間上具有一個增的拉回吸收集。此外, 為了克服無界域沒有緊Sobolev嵌入的困難, 本文借助Ball能量方程的方法和一個k-能量不等式證明了系統(tǒng)的后向漸近緊性, 從而證明了非自治Navier-Stokes方程的后向緊吸引子的存在性。

    1 Banach空間上的非自治過程的后向緊動力學(xué)

    本節(jié)給出非自治動力系統(tǒng)的一些基本概念(見文獻[11])和后向緊拉回吸引子的定義(見文獻[7])。設(shè)X是一個Banach空間,X中兩集合A和B的Hausdorff半距離定義為:

    定義1設(shè)A={A(t)}t∈R中的一個非自治集, 對任意t1,t2∈R,當(dāng)t1≤t2時,若A (t1)?A (t2), 則稱A是增的;若A(t1)?A (t2), 則稱A是減的。

    定義2若定義在Banach空間X上的一族映射S(t,s):X→X, ?t≥s, 滿足對于任意t≥r≥s有S(s,s)=I,S(t,s)=S(t,r)S(r,s), 則稱S(·,·)是X上的一個非自治過程。

    定義3[7]若X中的一個非自治集A={A (t)}t∈R滿足:

    ②A是不變的, 即對于所有的t≥τ, 有S(t,τ)A(τ)=A(t);

    ③A是拉回吸引的, 即對于X中所有的有界集B, 有

    則稱A是一個關(guān)于S(·,·)的后向緊拉回吸引子。

    定義4設(shè)S(·,·)是定義在X上的一個非自治過程, A={A(t)}t∈R是X中的一個非自治集, 若對每一個t∈R和X中的有界集B, 都存在τ0=:τ0(t,B)>0使得

    則稱K是一個關(guān)于S(·,·)的拉回吸收集。

    定理1[7]設(shè)S(·,·)是定義在Banach空間X上的一個非自治過程, 若滿足:

    ①S(·,·)在X上有一個增的有界的吸收集K={K(t)}t∈R;

    ②S(·,·)是后向漸近緊的;

    則S(·,·)存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R, 其中

    (3)

    2 無界域上非自治Navier-Stokes方程的后向緊動力學(xué)

    2.1 函數(shù)空間與解生成的非自治過程

    本文考慮如下的函數(shù)空間:

    記H為V在L2(Q)×L2(Q)上的閉包, 并對H賦予如下的內(nèi)積(·,·)與范數(shù)‖·‖:

    此外, 分別記V*和H*為V和H的對偶空間, 記〈·,·〉為V和V*對偶積, 且嵌入V?H≡H*?V*是連續(xù)的和稠密的。下面在V×V×V上定義一個三線性形式b(·,·,·):

    由文獻[1-2]可知b(·,·,·)具有如下性質(zhì):

    b(u,v,v)=0, ?u,v∈V;

    (4)

    (5)

    u(·,s,u0)∈C(s,T;H)∩L2(s,T;V), ?T>0;

    (6)

    (7)

    于是方程(1)的解可定義如下的非自治過程S(·,·):H→H:

    S(t,t-τ)u0=u(t,t-τ,u0),τ≥0,t∈R。

    (8)

    2.2 無界域上非自治Navier-Stokes方程增的拉回吸收集

    為了獲得一個增的拉回吸收集, 對時間依賴的外力項做了一個不同于文獻[7]的假設(shè):

    (9)

    (10)

    于是式(10)成立, 證畢。

    引理2若條件F成立,則對每個t∈R和H中的有界集B, 存在τ0:=τ0(t,B)>0,使得

    (11)

    證明由式(1)、(4)和(7)可得如下能量方程:

    (12)

    由Poincaré不等式(2)和Young不等式可知:

    (13)

    對不等式(13)在(s-τ,s-k),s≤t,τ≥k≥0上用Gronwall不等式可知:

    當(dāng)τ→+∞時, 上式右邊第一項趨于零,引理得證。

    由引理1~2可證明非自治Navier-Stokes方程(1)在H中有一個增的有界的拉回吸收集。

    證明顯然K(t)關(guān)于時間t是增的,故K是增的。由引理1可知K是有界的, 最后由引理2在k=0時可知K是過程S(·,·)的一個拉回吸收集。證畢。

    2.3 無界域上非自治Navier-Stokes方程的后向漸近緊性

    由文獻[2,6]中關(guān)于自治方程解的弱-弱連續(xù)的結(jié)果, 可類似地證明如下結(jié)果:

    引理4對每一個τ∈R, {u0,n}n∈N?H,u0∈H, 若在H中有u0,n?u0, 則方程(1)的解

    在H中有

    v(t,s,u0,n)?v(t,s,u0), ?t≥s,s≤τ;

    (14)

    在L2(s,T;V)中有

    u(·,s,u0,n)?u(·,s,u0), ?T>0。

    (15)

    由Ball能量方程方法, 可以證明非自治Navier-Stokes方程的解在H中的后向漸近緊性。

    引理5若假設(shè)F成立, 則非自治過程(8)在H中是后向漸近緊的, 即對每一個t∈R和H中的有界集B, 當(dāng)sn≤t、τn→+∞、u0,n∈B時有{S(sn,sn-τn)u0,n}={u(sn,sn-τn,u0,n)}在H中有一個收斂子列。

    證明由于τn→+∞, 由引理2在k=0時可知存在N0∈N,使得當(dāng)n≥N0時τn>T, 故

    (16)

    由式(16)可知

    于是,只需證明

    (17)

    給定k∈N, 容易驗證

    u(sn,sn-τn,u0,n)=u(sn,sn-k,u(sn-k,sn-τn,u0,n))。

    (18)

    由引理2可知存在Nk∈N,使得當(dāng)n≥Nk時有

    (19)

    故由式(18)~(19)及引理4可知, 在H中

    (20)

    在L2((sn-k,sn),V)中

    (21)

    于是由式(16)、(20)可知

    (22)

    另一方面,由式(12)可得如下能量方程:

    (23)

    其中φ(u)=2ν‖u‖2-νλ‖u‖2。由式(2)可知φ(·)是V的一個等價范數(shù)。再由式(22)、(23)可知

    (24)

    由式(18)、(23)可知

    (25)

    下面考慮n→∞時式(25)的極限。由引理2在k=0,s=sn,τ=τn時可知

    (26)

    由u0,n∈B可知

    (27)

    由式(21)可知

    于是,

    (28)

    再由式(21)可知

    (29)

    最后由式(25)、(27)~(29)可知

    (30)

    故由式(24)、(30)可知

    令k→∞可得式(17),證畢。

    2.4 非自治Navier-Stokes方程后向緊吸引子的存在性

    證明了系統(tǒng)增的吸收性和后向漸近緊性后, 可以證明無界域上非自治Navier-Stokes方程后向緊吸引子的存在性。

    定理2若假設(shè)F成立, 則無界域上非自治Navier-Stokes方程在H上存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R, 其中,

    (31)

    證明由引理2可知式(8)中的非自治過程S(·,·)在H中有一個增的有界的拉回吸收集K={K(t)}t∈R, 再由引理式4可知S(·,·)是后向漸近緊的, 故由定理1可知S(·,·)存在唯一的后向緊的拉回吸引子A={A(t)}t∈R并由式(31)給出,證畢。

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