初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)五部曲芻議

楊周榮麟

[摘? 要] 文章從一道期末壓軸題的說題過程說起，談?wù)劷忸}教學(xué)的五部曲，以推動學(xué)生的思維發(fā)展，促進學(xué)生的素養(yǎng)生成.

[關(guān)鍵詞] 解題教學(xué);五部曲

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，可以分為審題——分析——解答——拓展——整理五個步驟[1]. 作為一種新型的教研形式，說題活動映射出教師對于解題教學(xué)的理解與把控，它受到了越來越多的重視. 筆者結(jié)合一次說題教學(xué)，談?wù)劷忸}教學(xué)的五部曲，意在拋磚引玉，與大家共勉.

原題再現(xiàn)

如圖1所示，若二次函數(shù)y=-x2+3x+4的圖像與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接AC，BC.

（1）求△ABC的面積;

（2）若P是拋物線在第一象限內(nèi)BC上方一動點，連接PB，PC，是否存在點P，使四邊形ABPC的面積為18，若存在，求出點P的坐標;若不存在，說明理由;

（3）如圖2所示，若Q是拋物線上一動點，在平面內(nèi)是否存在點K，使以點B，C，Q，K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點K的坐標.

試題分析

這是期末試卷的最后一道壓軸題，綜合性強，難度大，對學(xué)生的思維能力要求比較高，考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一元二次方程的解法、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等數(shù)學(xué)知識，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)學(xué)建模思想等，要求學(xué)生能根據(jù)題意建立一元二次方程的模型，發(fā)現(xiàn)并構(gòu)建等腰直角三角形的模型、全等模型等，從而解決問題.

說題呈現(xiàn)

第一步：審題，正確解讀題意，找出關(guān)鍵詞.

畫一畫：二次函數(shù)y=-x2+3x+4，A，B是拋物線與x軸的交點，C是拋物線與y軸的交點，這三個點都是定點. 第二小題的P是動點，它被限定在第一象限的拋物線上，在BC的上方. 第三小題的Q、K也是動點，點Q在拋物線上，點K在平面內(nèi)，隨點Q的確定而確定. 試題重點考查拋物線與三角形交匯問題，拋物線與矩形交匯問題.

在解題教學(xué)中，學(xué)生要養(yǎng)成良好的、正確的審題習(xí)慣，離不開教師的引導(dǎo). 提高學(xué)生的審題能力，需要讓學(xué)生在讀題的過程中畫出關(guān)鍵詞，從而獲取有價值的信息，有了良好的審題習(xí)慣，等于成功了一半.

第二步：分析，找出突破口，明確解題思路.

想一想：（1）根據(jù)三角形面積計算公式，欲求△ABC的面積，需要求出它的底邊AB與高OC的長，欲得到線段OC，AB的長，只需求出這三點的坐標即可. （2）觀察圖1，因為四邊形ABPC的面積為18，△ABC的面積也已確定，所以△PBC的面積確定. 如何求點P的坐標？點P在拋物線y=-x2+3x+4上，所以它的橫、縱坐標滿足函數(shù)關(guān)系式，只需求出點P的橫坐標即可，此時可根據(jù)△PBC的面積建立關(guān)于點P橫坐標的方程，通過解方程求得點P的坐標.

畫一畫：（3）以點B，C，Q，K為頂點，BC為邊的四邊形是矩形是否存在？首先應(yīng)根據(jù)題意畫出草圖，當點Q在y軸右側(cè)時，如圖3所示，當點Q在y軸左側(cè)時，如圖4所示. 當點Q在y軸右側(cè)時，為求點Q的坐標，需要按橫平豎直的原則，作坐標軸的垂線，從而構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形轉(zhuǎn)移線段長，從而求得點K的坐標. 當點Q在y軸左側(cè)時同理.

在分析題意的過程中，教師設(shè)置了兩個環(huán)節(jié)，一是想一想，通過關(guān)鍵詞找到解決問題的突破口;二是畫一畫，根據(jù)題意，畫出符合題意的圖形，捋出正確的解題思路，為解決問題搭好框架. 需要注意的是，畫圖形時，教師不能直接把圖形出示給學(xué)生，要讓學(xué)生根據(jù)題意自行畫出圖形，然后在小組內(nèi)交流討論.

第三步：解答，作出輔助線，算出正確結(jié)果.

添一添：對于第（2）小題，△PBC是一個傾斜的三角形，如何切分能利用頂點的坐標表達線段的長呢？這里有兩種基本的方法，即過點P作豎直線，或過點C作水平線. 對于第（3）小題，為了求得點Q或點K的坐標，仍需要添加橫平豎直的直線，作輔助線的方法如圖3、圖4所示.

解一解：（1）對于拋物線y=-x2+3x+4，當x=0時，y=4，所以C（0，4），當y=0時，即-x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=-1，所以A（-1，0），B（4，0）. 所以AB=5. 因為OC⊥AB，所以S△ABC=×5×4=10.

（2）存在符合題意的點P，理由：因為四邊形ABPC的面積為18，S△ABC=10，所以△BCP的面積為8. 因為直線BC經(jīng)過點B（4，0），點C（0，4），根據(jù)待定系數(shù)法，得直線BC的解析式為y=-x+4，如圖2所示，過P點作PM⊥x軸，交BC于點M，因為點P在拋物線y=-x2+3x+4上，所以設(shè)P（t，-t2+3t+4）. 因為PM⊥x軸，點M在直線y=-x+4上，所以點M（t，-t+4），根據(jù)坐標系中利用三角形面積計算寬高的公式，得S△BCP=×4×PM=2（-t2+3t+4+t-4）=2（-t2+4t）=8，解得t=2，所以P（2，6）.

（3）存在符合題意的點K. 理由：設(shè)點Q（m，-m2+3m+4），當m>0時，如圖3所示，因為四邊形CBKQ是矩形，所以QK∥BC，CQ⊥BC，KB⊥BC. 過點Q作QH⊥y軸，交于點H，過點K作KG⊥x軸，交于點G. 因為△OBC是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠OBC=45°. 所以∠HCQ=∠GBK=45°. 因為CQ=BK，根據(jù)“角角邊”，得△CHQ≌△BGK，所以CH=HQ=BG=GK. 所以m=-m2+3m+4-4. 解得m=2或m=0（舍去）. 所以HQ=CH=2. 所以BG=KG=2. 因為OB=4，所以O(shè)G=6，K（6，2）;當m<0時，如圖4所示，因為四邊形CBQK是矩形，所以QK∥BC，KC⊥BC，BQ⊥BC，設(shè)KC與x軸的交點為F，BQ與y軸的交點為H，過點Q作QG⊥y軸，交點為G，過點K作KE⊥x軸，交點為E. 因為△OBC是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠OBC=45°. 所以△FBC、△BCH也是等腰直角三角形. 所以∠OBH=∠OHB=45°，∠FCO=∠CFO=45°，OF=OC=OB=OH=4. 所以∠HQG=∠EFK=45°. 因為KC=BQ，CF=HB=BC，所以FK=QH，根據(jù)“角角邊”，得△QHG≌△KFE，所以QG=HG=FE=KE，所以-m=-4-（-m2+3m+4），解得m1=-2，m2=4（舍去）. 所以QG=HG=FE=KE=2. 因為OF=4，所以O(shè)E=6. 所以此時點K的坐標為（-6，-2）. 因此點K的坐標為（-6，-2）或（6，2）.

分析題意為解答問題做了很好的鋪墊，教師引導(dǎo)學(xué)生添加適當?shù)妮o助線，把傾斜的三角形分為兩個三角形，從而能利用公式求三角形的面積;教師引導(dǎo)學(xué)生借助三垂直模型與全等三角形模型，一元二次方程模型求得了點Q的橫坐標，從而求得了點K的坐標，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)建模在解決數(shù)學(xué)問題中的重要性;教師從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)最易想到的解決方案，突破了難點.

第四步：拓展，尋找延伸點，讓學(xué)生思維生長.

變一變：如圖1所示，若二次函數(shù)y=-x2+3x+4的圖像與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，連接AC，BC.

（1）若P是拋物線在第一象限內(nèi)BC上方一動點，連接PB，PC，當△PBC面積最大時，求點P的坐標.

（2）已知M是平面內(nèi)一點，是否存在以點A，B，C，M為頂點的平行四邊形，若存在，求出點M的坐標.

（3）若P是拋物線在一象限內(nèi)BC上方一動點，過點P作PH⊥BC，是否存在點P，使得△PCH與△OBC相似？

教師對原題進行恰當?shù)淖兪?，在改編時沒有改變原題的背景，只是把“當△PBC面積為固定值”改變?yōu)椤爱敗鱌BC面積為最大值”，此時學(xué)生需要建立二次函數(shù)的模型，根據(jù)二次函數(shù)的最值性質(zhì)求解. 把“以BC為邊構(gòu)造矩形”改變?yōu)椤耙訟，B，C三點為頂點構(gòu)造平行四邊形”，此時學(xué)生需要分三種情況討論，培養(yǎng)了學(xué)生思維的發(fā)散性與融合性，提高了思維的深度.

第五步：反思，梳理思維脈絡(luò)，積累解題模式.

理一理：請大家回顧解題過程，你們在其中用到了哪些數(shù)學(xué)知識？學(xué)到了哪些解題技能？又學(xué)了哪些數(shù)學(xué)思想？它們是如何聯(lián)系在一起的？

畫一畫：把上述的解題反思形成一張思維導(dǎo)圖. 從數(shù)的角度看，本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、一元二次方程;從形的角度看，本題考查了二次函數(shù)的圖像，矩形、等腰直角三角形、相似三角形、全等三角形.

解題反思是解題教學(xué)的收官之筆，其重要性不言而喻，有利于學(xué)生總結(jié)經(jīng)驗形成方法，進而實現(xiàn)知識的觸類旁通、舉一反三[2].

結(jié)束語

關(guān)于解題教學(xué)的五個步驟，相輔相成，渾然天成. 在實際教學(xué)中，教師也可以根據(jù)需要刪增某一步驟，有針對性地做出設(shè)計，以推動學(xué)生的思維發(fā)展，促進學(xué)生的素養(yǎng)生成.

參考文獻：

[1]廟軍生. 說題在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2020（30）：55-56.

[2]李慧敏. 關(guān)注數(shù)學(xué)解題過程——從解題規(guī)范的視角談解題教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2019（03）：58-59.