八卦與數(shù)學

吳文俊

前4個為陽卦，后4個為陰卦.《系辭下》說：“陽卦奇，陰卦偶.”從算式中也可以看出這一點.在古代，九和五各有非同尋常的含義，所以45也就成了神數(shù).洛書中一至九的和不也是45嗎！每卦三爻的順序是從下向上，震、巽為長男、女（看第一爻），坎、離為中男、女（看第二爻），艮、兌為少男、女（看第三爻），加上乾、坤為老父、母，顯然這是一個大家庭了！

八卦有方位，它是中國古代的坐標系，而且人們將其沿用了幾千年.《說卦》稱：“震，東方也;……巽，東南也;……離也者南方之卦也;……乾，西北之卦也;……坎者水也，正北方之卦也;……艮，東北之卦也.”原文只說兌卦為“正秋也”，對于坤卦，卻未作詳細的介紹，或許是作者將其遺漏了.補全的八卦方位如圖所示.東西南北的位置和現(xiàn)行西方地圖的規(guī)定恰恰相反.通常我們見到的八卦圖如下圖所示（圖中的數(shù)字和虛線是臨時標上的）.我們知道，組合數(shù)學十分重視數(shù)字配置的均衡性，在一定約束條件下達到下圖中的這種均衡狀態(tài)，往往需要較高的技巧.八卦圖同洛書數(shù)一樣，其巧妙的配置方法令人贊嘆.

若將八卦看作由8類元素組成的集合，任取其中2個元素從下到上排列起來，有8²=64種有重排列，這便得到六十四卦——即所謂“重卦”.從陰陽兩爻的2類中任取6個元素，可得到有重排列2⁶=64種.《說卦》稱：“八卦相錯.”錯即重迭，即是“重卦”的由來.重卦的總數(shù)為360，與周天度數(shù)相合，但我們尚不清楚二者之間的關(guān)系.

在歷史上，八卦和六十四卦的排列順序有所變化，本文只能選擇其中一種來討論.按照宋儒邵雍（1011～1077）的六十四卦序，可以將六十四卦與德國數(shù)學家萊布尼茲創(chuàng)立的二進制數(shù)字建立一一對應的關(guān)系：

上表中卦象的右邊是二進制數(shù)，與卦名左邊的十進制數(shù)相等.在上表中，每一卦的六爻都是按照從下到上的順序排列的.

清朝初期，在北京的白晉（J.Bouvet，1656～1730）神父給萊布尼茲寄去一部《易經(jīng)》.在保存于德國漢諾威圖書館中兩人討論《易經(jīng)》的信件里和萊氏的著作中，萊布尼認為，二進制順序早已被應用在古代的《易經(jīng)》中，古代的中國人在發(fā)明二進制計算方面有優(yōu)先權(quán).這一看法被廣為傳播，并產(chǎn)生了很大影響.

在國外也有人認為六爻不具有數(shù)字意義，這是不了解九六之說的緣故.當然，九六之說亦不能證明卦爻本身具有二進制含義.

將上表中數(shù)列的首尾對應項相加，按十進制算，其和為63;按二進制算，其和為111111;按九六之說算，其和為90.六十四卦共32對，乘以90得2880.若取4為因數(shù)，則乾卦有54×4=216種，坤卦有36×4=144種，兩者之和為360，而2880×4=11520，所以《系辭傳》說：“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，當期之日.二篇之策，萬有一千五百二十，當萬物之數(shù)也.”

依上表中卦序排成8×8方陣，陰陽卦與奇偶數(shù)都交錯、且相對地出現(xiàn)在方陣中，每卦反排（顛倒）后都恰有一卦與之相等，有的關(guān)于中心為對稱，有的均衡地交錯對應.種種微妙關(guān)系，給六十四卦添上了一層神秘色彩.

依上表中的卦序，將0～31卦沿右半圓從下向上逆時針方向排列滿，再將32～63卦沿左半圓從下向上順時針方向排滿，就得到了圓形的六十四卦方位圖.古人的這種排法，使得32對卦都處在關(guān)于圓心相對的位置.他們將上述方陣置于一個圓中，用以象征“天圓地方”.