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    空間幾何體體積的幾種求法

    2022-05-30 10:48:04喬玉潔劉錦
    關(guān)鍵詞:四面體三棱錐棱柱

    喬玉潔 劉錦

    求空間幾何體的體積問(wèn)題側(cè)重于考查球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓臺(tái)、圓錐的結(jié)構(gòu)特征和體積公式. 此類問(wèn)題對(duì)同學(xué)們的觀察和空間想象能力有較高的要求.解答此類問(wèn)題,需仔細(xì)觀察空間幾何體,明確其結(jié)構(gòu)特征,對(duì)其進(jìn)行合理的拆分、轉(zhuǎn)化,選擇合適的體積公式進(jìn)行求解.下面重點(diǎn)探討一下三種求空間幾何體體積的方法.

    一、公式法

    例1.(2021年浙江卷)某幾何體的三視圖如圖1所示,則該幾何體的體積是( ???).

    分析:根據(jù)三視圖可得如圖2所示的四棱柱,根據(jù)棱柱的體積公式:V=ShS是柱體的底面積、h是柱體的高)可求得四棱柱的體積.

    故本題選A.

    例2.(2021全國(guó)甲卷文科,第19題)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形,如圖3.AB=BC=2,E,F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn),BF⊥A1B1,求三棱錐F-EBC的體積;

    解:如圖4所示,連接AF,

    ∵AB⊥BB1,BC⊥AB,BB1∩BC=B,

    ∴AB⊥BF,

    ∴AB2+BC2=AC2

    ∴AB⊥BC,△ABC為等腰直角三角形,

    公式法是求空間幾何體體積的基本方法.在利用公式法求空間幾何體的體積時(shí),需先判斷幾何體的類型,再結(jié)合已知條件確定體積公式中的幾何量.在求錐體、柱體、臺(tái)體的體積時(shí),需結(jié)合已知條件找準(zhǔn)底面,并求出高和底面的面積;在計(jì)算球的體積時(shí),需找準(zhǔn)球的球心,確定球的半徑.

    二、等積法

    等積法包括等面積法和等體積法.等面積法是通過(guò)改變平面圖形的底和高,利用等面積的原理來(lái)求面積的方法;等體積法是通過(guò)改變幾何體的底面和頂點(diǎn),利用等體積的原理來(lái)求體積的方法.運(yùn)用等積法求空間幾何體的體積,需先根據(jù)題意選擇易于求得面積的底面和高,通過(guò)轉(zhuǎn)換幾何體的底面和頂點(diǎn),求得問(wèn)題的答案.

    例3.(2020年海南卷)如圖5,已知正方體ABCD- A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BB1,AB的中點(diǎn),則三棱錐A-NMD1的體積為________.

    分析:由題意畫出圖形.仔細(xì)觀察圖形的特點(diǎn),可發(fā)現(xiàn)三棱錐A-NMD1的底面△ANM和高容易求得,于是采用等積法,轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)和底面,通過(guò)求底面△ANM的面積和D1到△ANM的距離,來(lái)求三棱錐A-NMD1的體積.

    解:∵正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M、N分別為BB1、AB的中點(diǎn),

    例4.(2020年全國(guó)III文科,第16題)已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________.

    解:易知半徑最大的球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖6所示,

    可得BC=2,AB=AC=3,且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn),

    設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,

    ∴SABC=SAOB+SBOC+SAOC

    本題可轉(zhuǎn)化為圓錐內(nèi)切球的問(wèn)題.確定截面后,便可采用等積法,將求△ABC的面積轉(zhuǎn)換為求△AOB、△BOC、△AOC的面積,根據(jù)圓錐的體積公式進(jìn)行求解.等積法實(shí)質(zhì)上是根據(jù)等量代換的原理,將所求的面積、體積進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.

    三、割補(bǔ)法

    對(duì)于一些簡(jiǎn)單的空間幾何體,如棱柱、圓臺(tái)、棱錐、球等,可以直接套用幾何體的體積公式進(jìn)行求解. 對(duì)于一些較為復(fù)雜且不規(guī)則的空間幾何體,通常需采用割補(bǔ)法,通過(guò)分割與補(bǔ)形,將原幾何體構(gòu)造成較易計(jì)算體積的、規(guī)則的空間幾何體,以便根據(jù)簡(jiǎn)單空間幾何體的體積公式進(jìn)行求解.

    例5.正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為1,D為AA1的中點(diǎn),則四面體A1BCD的體積是( ???).

    解:繪制如圖7所示的圖形,

    ∵ABC-A1B1C1為正三棱柱,

    ∴底面ABC為正三角形,側(cè)面BB1C1C為正方形,

    故本題選D.

    四面體A1BCD底面上的高比較難求,需轉(zhuǎn)換思路,將四面體A1BCD補(bǔ)成正三棱柱ABC-A1B1C1,把不規(guī)則的四面體補(bǔ)形為規(guī)則的正三棱柱,然后將正三棱柱ABC-A1B1C1的體積減去四棱錐A1-BB1C1C和三棱錐D-ABC的體積,就得到了四面體A1BCD的體積.

    例6.已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),∠CEF=90°,則球O的體積為( ???).

    解:繪制如圖8所示的圖形,

    ∵PA=PB=PC,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,

    ∴三棱錐P-ABC為正三棱錐,

    ∴頂點(diǎn)P在底面的射影O1為底面三角形的中心,連接BO1交AC于G,

    ∴AC⊥BG,

    又PO1⊥AC,PO1∩BG=O1,

    ∴AC⊥平面PBG,∴PB⊥AC,

    ∵E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點(diǎn),∴EF∥PB,

    又∵∠CEF=90°,即EF⊥CE,

    ∴PB⊥CE,PB⊥平面PAC,

    ∴正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,

    ∴本題選D.

    總之,只有將解答空間幾何體的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、規(guī)則的空間幾何體的體積問(wèn)題,才能使問(wèn)題快速得解.這就要求我們熟悉常見空間幾何體的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)、體積公式,靈活運(yùn)用等積法、割補(bǔ)法,將問(wèn)題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化,然后選擇與之相應(yīng)的空間幾何體體積學(xué)公式進(jìn)行求解.

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