解答多元變量最值問題的三種方法

唐慶玉

多元變量最值問題是指含有兩個或兩個以上變量的最值問題.此類題目的命題形式多樣，涉及的知識面較廣，通常要求根據(jù)已知關(guān)系式求某個參數(shù)或代數(shù)式的最值.本文主要探討一下解答多元變量最值問題的三種方法.

一、判別式法

對于含有多個變量的二次最值問題，通?？刹捎门袆e式法來求解.需根據(jù)題意選擇其中的一個變量，將其設(shè)為主元，構(gòu)造出關(guān)于主元的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)解時判別式大于或等于0來建立不等式，解該不等式即可求得最值.運(yùn)用此種方法解題，需熟悉一元二次方程的根的分布情況.

解：由log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1，

令x-y=u，將其代入x²-4y²=4中可得3y²-2uy+4-u²=0，

這個關(guān)于y的二次方程顯然有實(shí)根，

通過消元，將三元目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為一元二次代數(shù)式，便可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得目標(biāo)式的最值.運(yùn)用消元法解答多元變量問題，需明確各變量之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行合理消元，以便將代數(shù)式簡化.

三、基本不等式法

解：由于a，b，c均為正實(shí)數(shù)，

首先將已知關(guān)系式化簡，引入?yún)?shù)u，便可構(gòu)造出關(guān)于y的一元二次方程，根據(jù)方程有解，得出Δ≥0，即可求得目標(biāo)式的最小值.運(yùn)用判別式法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造一元二次方程.

二、消元法

解答多元變量最值問題的常用方法是消元法，即通過等量代換，消去某些變量，以減少變量的個數(shù)，將多元變量最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問題，利用簡單初等函數(shù)的性質(zhì)解題.

例2.已知a>0，b>0，c>0，且ab=1，a²+b²+c²=4，求ab+bc+ac的最大值.

解：由a²+b²+c²=4可得a²+b²=4-c²，

由4-c²=a²+b²≥2ab=2可得c²≤2，

由于M的表達(dá)式較為復(fù)雜，所以我們要建立各關(guān)系式之間的聯(lián)系，構(gòu)造出兩式的和，并使其積為定值，這樣便可利用基本不等式求得最值.

雖然多元變量最值問題較為復(fù)雜，但是我們只要建立已知關(guān)系式與所求目標(biāo)之間的聯(lián)系，進(jìn)行合理消元，構(gòu)造一元二次方程，配湊出兩式的和或積，便可利用一元二次方程的判別式、函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式求得最值.