領(lǐng)略數(shù)學(xué)反問題之美

李明麗

反問題（inverse problem），顧名思義，是一類需要逆向思考來尋找答案的問題。你可能不知道，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用，都屬于反問題的研究范疇。

在推理小說里，罪犯作案是一次正向發(fā)生的過程，而福爾摩斯用優(yōu)秀的逆向思考能力，得出最有可能的作案方法，破解了案件。在現(xiàn)實(shí)世界中，大多數(shù)的事物或現(xiàn)象之間往往也存在著一定的自然順序，如時(shí)間順序、空間順序、因果順序等。而反問題則是根據(jù)事物的演化結(jié)果，由可觀測(cè)的現(xiàn)象來探求事物的內(nèi)部規(guī)律或所受的外部影響，由表及里，索隱探秘，起著推果求因的作用。

清華大學(xué)丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心（以下簡(jiǎn)稱“數(shù)學(xué)中心”）的助理教授邱凌云，正是一位研究反問題的青年學(xué)者。在邱凌云看來，反問題的科學(xué)研究方興未艾，在地震反演、無損探傷、非視距成像等方面大有可為，他期待通過反問題的研究做出更多的成果，更好地服務(wù)社會(huì)，服務(wù)國(guó)家。

波動(dòng)與反問題

2018年冬天，邱凌云回到了闊別十多年的祖國(guó)，入職清華大學(xué)，成為數(shù)學(xué)中心的一名助理教授。在他的心中，數(shù)學(xué)中心已然躋身世界一流行列，與國(guó)際接軌，是值得他回來大展抱負(fù)的理想之地?！拔抑猿鰢?guó)去念書，是希望學(xué)習(xí)更多的知識(shí)，所以在學(xué)成之后，我的內(nèi)心有很強(qiáng)烈的想法，想要回到祖國(guó)，建設(shè)自己的國(guó)家?！鼻窳柙迫缡钦f道。

在加入清華大學(xué)之前，邱凌云曾在2015—2018年就職于挪威石油地質(zhì)服務(wù)公司（Petroleum Geo-Services，PGS）位于美國(guó)休斯敦的全球研發(fā)總部，從事地震波反演問題的研究工作。

“我主要的研究方向是反問題研究，數(shù)學(xué)上叫偏微分方程反問題。偏微分方程是用來描述世界運(yùn)行狀態(tài)的數(shù)學(xué)方程，很多生活中的現(xiàn)象都可以用偏分方程來解釋，比如聲音是如何傳播的，熱量是如何擴(kuò)散的，很多看似迥異的場(chǎng)景是可以用同一組微分方程來描述的，盡管這些現(xiàn)象可能并沒有什么關(guān)聯(lián)。”談到自己的研究方向，邱凌云的話匣子打開了，他用通俗易懂的語言將復(fù)雜的學(xué)術(shù)概念簡(jiǎn)單化。

地震就是一個(gè)典型用波動(dòng)方程可以描述的過程。地震波是一種穿過地球的振動(dòng)。通過了解地震波的影響，人們可以深入地球內(nèi)部，了解它的構(gòu)造。而邱凌云過去從事的地震反演研究工作，正是反其道而行之。他利用地表觀測(cè)地震資料，以已知的地質(zhì)規(guī)律和鉆井、測(cè)井資料為約束，對(duì)地下巖層空間結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)進(jìn)行成像（求解）。

“通過地震反演，研究人員勘探地下幾公里處的石油，方法是在地表實(shí)施爆炸，并利用爆炸所產(chǎn)生的地震波回波來計(jì)算出地下密度、速度場(chǎng)等參數(shù)的分布情況?！边@就是波動(dòng)方程的反問題應(yīng)用，邱凌云解釋說，“比如我聽到一面鼓發(fā)出的聲音，能不能把鼓的形狀確定出來，這就是一個(gè)和我們找石油類似的反問題?！?/p>

如果從應(yīng)用層面來理解反問題，邱凌云認(rèn)為最典型的例子是無損探測(cè)?！氨热缭卺t(yī)療當(dāng)中的CT、MRI等檢測(cè)手段，都是在不破壞人體的情況下，探知人體內(nèi)部的變化，以此判斷人體是否健康。這種不知道被觀測(cè)物體內(nèi)部結(jié)構(gòu)，僅從外部觀測(cè)數(shù)據(jù)來推測(cè)的研究方法就可稱為反問題研究?！?/p>

而波動(dòng)方程反問題是指由觀測(cè)結(jié)果及某些一般原理出發(fā)去推演表征問題特征的模型幾何參數(shù)和物理參數(shù)的數(shù)學(xué)問題。邱凌云考慮到用波動(dòng)方程描述的反問題在許多關(guān)系國(guó)計(jì)民生的科技問題當(dāng)中處于核心地位，比如利用地震波進(jìn)行地質(zhì)勘探、使用電磁波進(jìn)行雷達(dá)聲納遙感測(cè)量和使用超聲波與電磁波進(jìn)行混合醫(yī)學(xué)成像等。這一類問題是工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵組成部分，也是日益受到重視的其他學(xué)科與數(shù)學(xué)科學(xué)交叉研究中的重要課題。

因此，邱凌云申請(qǐng)到了國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“基于最優(yōu)輸運(yùn)理論的波動(dòng)方程反問題的理論分析和算法研究”，希望能建立新的數(shù)學(xué)模型、開發(fā)新的算法，為相關(guān)研究提供更好的科技支撐。

邱凌云介紹說，以地質(zhì)成像為背景的波動(dòng)方程反問題往往伴隨有非線性強(qiáng)、不適定性顯著、計(jì)算規(guī)模巨大等特點(diǎn)，其通常使用基于梯度下降的迭代方法求解相應(yīng)的最優(yōu)化問題。這一點(diǎn)直接體現(xiàn)在即使是使用沒有噪聲的計(jì)算機(jī)模擬數(shù)據(jù)，反問題對(duì)應(yīng)的目標(biāo)泛函也含有非常多的局部極小元。因此，改善最優(yōu)化問題目標(biāo)函數(shù)的凸性、避免局部極小元及提升大規(guī)模反演計(jì)算的效率是波動(dòng)方程反問題研究中的關(guān)鍵問題。

“首先，我們從最優(yōu)輸運(yùn)理論出發(fā)，提出新的數(shù)據(jù)變換方式，提升反問題的穩(wěn)定性與凸性，擴(kuò)大反問題的收斂半徑。同時(shí)，我們還深入研究數(shù)據(jù)當(dāng)中的噪聲及測(cè)量時(shí)的非精確性對(duì)最優(yōu)輸運(yùn)度量的擾動(dòng)，系統(tǒng)地提出快速穩(wěn)定的求解方案?！鼻窳柙圃谘芯恐邪l(fā)現(xiàn)，在波動(dòng)方程反問題中，用韋氏距離衡量信號(hào)間的距離能更加準(zhǔn)確地反映速度模型的誤差對(duì)于數(shù)據(jù)中走時(shí)信息的影響，于是他幾乎沒有猶豫，將韋氏距離的方法引入，為波動(dòng)方程反問題相關(guān)研究打開了新局面。

但很快，邱凌云發(fā)現(xiàn)韋氏距離的引入給波動(dòng)方程反問題的研究也帶來了新的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。這個(gè)方向上目前的難點(diǎn)和研究重點(diǎn)在于韋氏距離的應(yīng)用給數(shù)據(jù)帶來了更嚴(yán)苛的限制條件，尋找合適的數(shù)據(jù)變換方式及對(duì)相應(yīng)性質(zhì)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)分析是研究的關(guān)鍵內(nèi)容。

為此，邱凌云利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步提高算法的性能和準(zhǔn)確性。卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是從深度感知模型（deep class aware model）修改而來，這一模型沒有使用完全連接層，因此在訓(xùn)練步驟中只需要較少的訓(xùn)練樣本，并且在推理步驟中需要較少的存儲(chǔ)器和較低的計(jì)算復(fù)雜度。

目前，邱凌云研究了基于最優(yōu)輸運(yùn)度量的全波形反演，解決了梯度的唯一性問題，分析了多頻數(shù)據(jù)的穩(wěn)定特性，提出了適用于復(fù)雜數(shù)據(jù)的一個(gè)非負(fù)校正函數(shù)的光滑版本（softplus）編碼方法，為基于最優(yōu)輸運(yùn)度量的全波形反演提供理論基礎(chǔ)的同時(shí)提供了一種高效可靠的地質(zhì)反演算法，也為我國(guó)能源安全的能源儲(chǔ)量探測(cè)方面提供了理論支撐和技術(shù)支持。其主要成果發(fā)表在美國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（Society for Industrial and Applied Mathematics，簡(jiǎn)稱SIAM）系列期刊、《反問題》（Inverse Problems）等雜志上。

數(shù)學(xué)的魔力

人體的超聲波檢查和地球的石油勘探，這兩件事情看上去沒有任何關(guān)聯(lián)，但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，卻是用同一個(gè)聲波方程來控制的。而這正是邱凌云感嘆的數(shù)學(xué)的魔力，“數(shù)學(xué)的魔力可以把具體的事情抽象化，我在某個(gè)方程上做出的研究成果，很有可能就適用于兩個(gè)看似毫無關(guān)聯(lián)的領(lǐng)域?！边@樣的魔力，讓邱凌云的目光投向了數(shù)學(xué)之外的全新領(lǐng)域。

2020年7月，“十三五”重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目“基于水聯(lián)網(wǎng)全數(shù)字治水關(guān)鍵技術(shù)研究與示范”啟動(dòng)。邱凌云在其中負(fù)責(zé)的子項(xiàng)目是“水聯(lián)網(wǎng)理論架構(gòu)的數(shù)學(xué)表達(dá)與控制方程”。水聯(lián)網(wǎng)是在物聯(lián)網(wǎng)概念基礎(chǔ)上提出的，是基于水資源供需與配送具有物流的典型特征而發(fā)展的。在水聯(lián)網(wǎng)上，需要同時(shí)表達(dá)水運(yùn)動(dòng)的物理過程和水信息的流通過程，需將不同來源、性質(zhì)、尺度的水信息數(shù)據(jù)同化和轉(zhuǎn)化，以滿足模擬、預(yù)報(bào)、調(diào)配、評(píng)價(jià)的要求;需將不同過程、要素、尺度的數(shù)學(xué)模型耦合集成，以描述水資源系統(tǒng)變化;需以功能為中心、以事件驅(qū)動(dòng)為后臺(tái)、云端處理為支撐，以綜合模型計(jì)算和進(jìn)行結(jié)果分析。

為此，邱凌云計(jì)劃從數(shù)學(xué)理論出發(fā)，提煉工程技術(shù)的數(shù)學(xué)模型表達(dá)，將水聯(lián)網(wǎng)架構(gòu)系統(tǒng)化和理論化，為精簡(jiǎn)工程試驗(yàn)，因地制宜地研發(fā)和推廣應(yīng)用技術(shù)。

“我需要做的就是建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。比如水污染源的溯源問題，能不能在短時(shí)間內(nèi)通過沿岸的測(cè)量，把誰投放了污染，投了多少計(jì)算出來，并精準(zhǔn)找到污染來源，然后再通過各種處罰手段，進(jìn)行嚴(yán)懲，以更好地保障水的安全。”在邱凌云看來，一個(gè)領(lǐng)域一旦引進(jìn)了數(shù)學(xué)，將具體的問題抽象化，那么它就變成一個(gè)能夠用公式進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)的領(lǐng)域。

除此之外，邱凌云也在關(guān)注著近幾年新興的非視域成像技術(shù)。在日常生活中，由于光沿直線傳播，人們無法觀察到視線之外的場(chǎng)景（非視域），例如隱藏在拐角后、障礙物后的物體等。但非視域成像技術(shù)打破了這一限制，使非視域場(chǎng)景“映入眼簾”，人們的視野獲得了前所未有的拓展。

然而，非視域成像的過程中，激光經(jīng)多次漫反射后的回波極弱（僅為光子級(jí)），信噪比極低，同時(shí)非視域成像問題具有多解性，嚴(yán)重影響了成像質(zhì)量。尤其對(duì)于快速探測(cè)場(chǎng)景，現(xiàn)有算法重建的物體往往具有非常模糊的邊界，并伴有很強(qiáng)的噪聲，給非視域探測(cè)技術(shù)的發(fā)展和未來應(yīng)用帶來了很大的挑戰(zhàn)。

因此，邱凌云與合作者共同提出了一種基于信號(hào)與目標(biāo)聯(lián)合正則化（Signal-object collaborative regularization，SOCR）的非視域重建方法。這一成果以《具有信號(hào)-對(duì)象協(xié)同正則化的非視域重建》（Non-line-of-sight reconstruction with signal-object collaborative regularization）為題發(fā)表在《光：科學(xué)與應(yīng)用》（Light： Science & Applications）上。

邱凌云與合作者利用兩個(gè)基于目標(biāo)自適應(yīng)學(xué)習(xí)形成的字典，分別刻畫物體的局部結(jié)構(gòu)與非局部相關(guān)性，所提取的物體特征可用于進(jìn)一步的智能識(shí)別和分類。新方法“拍”出的照片中，非視域物體具有清晰的局部細(xì)節(jié)和邊界輪廓，而且成像區(qū)域內(nèi)幾乎不含背景噪聲，而且在誤差控制上明顯優(yōu)于現(xiàn)有方法。通過比較，邱凌云與合作者、學(xué)生提出的SOCR方法與此前主流方法（D-LCT）相比，新方法的失真像素?cái)?shù)量大幅降低了85%，深度方向均方誤差降低了41%，最大法向角度誤差降低了56%，平均法向角度誤差降低了44%。

邱凌云介紹說，他與合作者提出的非視域目標(biāo)“高清”重建方法的通用性、兼容性強(qiáng)，有望加速非視域成像技術(shù)在自動(dòng)駕駛、災(zāi)難救援、安防反恐、遙感偵察等領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用和推廣。

科學(xué)的背后

如果問邱凌云，科學(xué)的背后是什么，他一定會(huì)說：“科學(xué)的背后是數(shù)學(xué)。”而應(yīng)用數(shù)學(xué)工作者在邱凌云的認(rèn)知里更像是信使，連接著基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和工程應(yīng)用，把一方語言翻譯給另一方。

“應(yīng)用數(shù)學(xué)花很多時(shí)間在建模上，因?yàn)橐丫唧w的工作提煉成數(shù)學(xué)語言，這個(gè)提煉的過程很漫長(zhǎng)，很多人都不看到，所以研究應(yīng)用數(shù)學(xué)，是需要很大決心的事情。你不能把高度抽象的數(shù)學(xué)語言直接說給做工程的人，他是聽不懂的，反過來，我們也不能把具體的工程難點(diǎn)不加以凝練就交給數(shù)學(xué)家，他們會(huì)問數(shù)學(xué)在哪里，所以應(yīng)用數(shù)學(xué)在中間起到溝通的作用?！鼻窳柙剖终J(rèn)真地解釋道。

除了在科學(xué)的世界里真切地感受到數(shù)學(xué)的重要意義外，邱凌云也從身邊的大家、老師的身上，耳濡目染地體會(huì)到數(shù)學(xué)研究的精神。

邱凌云在大學(xué)時(shí)，跟著張震球老師“啃”過許多艱深的書，花了很多時(shí)間讀懂書上的內(nèi)容，完成了本科的畢業(yè)設(shè)計(jì)。讀研時(shí)，他在天津大學(xué)跟著姚妙新老師第一次接觸偏微分方程的反問題研究，還讀了邊馥萍老師寫的《數(shù)學(xué)建?！芬粫瑥闹袑W(xué)到了很多。邱凌云還跑去南開大學(xué)旁聽數(shù)學(xué)大家陳省身的課，聽著他給本科生授課，雖然都是些基本的知識(shí)，依然受益匪淺?！耙淮螘?huì)議上，陳先生談了關(guān)于六維球面上復(fù)結(jié)構(gòu)存在性的問題，這個(gè)問題實(shí)際上跟我的領(lǐng)域不相關(guān)，但我到現(xiàn)在都記得那個(gè)題目是什么，印象特別深?！?/p>

在邱凌云的心里，當(dāng)時(shí)的陳省身先生已經(jīng)93歲高齡，但他依然非常關(guān)心那些還沒有解決的數(shù)學(xué)問題，而且很喜歡和學(xué)生們聊天，經(jīng)常和學(xué)生們一起討論問題。“不見得說，他們告訴了我數(shù)學(xué)的什么獨(dú)門秘籍，只是從他們的身上，我學(xué)到了對(duì)數(shù)學(xué)治學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。就像人們常說的，高山仰止，景行行止，雖不能至，但心向往之。我只能不斷激勵(lì)自己，努力向前，不辜負(fù)老師對(duì)我的期望?！?/p>

面向未來，邱凌云堅(jiān)定地相信，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)學(xué)理論與方法的不斷擴(kuò)充，都將使數(shù)學(xué)成為當(dāng)代高科技的一個(gè)重要組成部分和思想庫，所以在眾多科技成果的背后發(fā)揮至關(guān)重要作用的反問題研究，也一定能在未來大有可為。他將繼續(xù)反問題研究，挖掘其在水利、非視域成像等方面的重要作用，期待能為國(guó)家貢獻(xiàn)綿薄之力。

（責(zé)編：蘇寒山）