解答絕對(duì)值不等式問題的四個(gè)“妙招”

吳筍

絕對(duì)值不等式問題的常見命題形式有：（1）解絕對(duì)值不等式;（2）求含有絕對(duì)值代數(shù)式的取值范圍.其中解絕對(duì)值不等式問題比較常見，解這類題目的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值符號(hào)，將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的常規(guī)不等式去求解.本文介紹解絕對(duì)值不等式問題的四個(gè)“妙招”，以供大家參考.

一、分類討論

一般地，若 x 為非負(fù)數(shù)，則 |x| = x;若 x 為負(fù)數(shù)，則|x| = -x. 由于絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)決定去掉絕對(duì)值符號(hào)后式子的表示形式，所以在解絕對(duì)值不等式時(shí)，往往要采用分類討論法，對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)進(jìn)行討論.可令每個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部的式子為零，然后將其零點(diǎn)標(biāo)在數(shù)軸上，于是這些零點(diǎn)把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，再在各個(gè)區(qū)間上對(duì)絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)進(jìn)行討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，便可通過解不等式求得問題的答案.

例1.

求出各個(gè)絕對(duì)值內(nèi)部式子的零點(diǎn)后，將實(shí)數(shù)集劃分為幾個(gè)區(qū)間，可直接運(yùn)用分類討論法在每個(gè)區(qū)間上討論絕對(duì)值內(nèi)部式子的符號(hào)，便可根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，最后綜合三種情況即可.

二、采用平方法

利用絕對(duì)值的性質(zhì) |a|2 = a2，也可以去掉絕對(duì)值符號(hào).當(dāng)確定不等式兩邊的式子都是非負(fù)的時(shí)，可根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，將不等式平方，這也不失為一種切實(shí)可行的好方法.但該方法并非完美，它的缺點(diǎn)是平方后的式子比較冗長繁雜，此外求得的解還有可能是增根.

例2.

上述兩種解法中都用到了平方法.相比較而言，解法2比解法1更簡潔.一般地，若 0 < n < m，則 n < |ax2 +bx + c| < m 等價(jià)于 n < ax2 + bx + c < m 或-m < ax2 + bx + c< -n .值得注意的是，采用平方法去絕對(duì)值符號(hào)，必須先看不等式兩邊的式子是否同號(hào)，若不同號(hào)，需進(jìn)行分類討論，否則有可能出現(xiàn)增根.

三、利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法

所謂等價(jià)轉(zhuǎn)化法，是指利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，從而去絕對(duì)值符號(hào).通常可將（1）|f （x）| ≥ g（x）等價(jià)轉(zhuǎn)化為f （x） ≥ g（x）或f （x） ≤ -g（x）;（2）將|f （x）| ≤ g（x） 等價(jià)轉(zhuǎn)化為 - g（x） ≤ f （x） ≤ g（x） .

例3.

四、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合法是解數(shù)學(xué)題的重要方法之一.在解絕對(duì)值不等式問題時(shí)，可根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，畫出圖形;還可將絕對(duì)值內(nèi)部的式子看作函數(shù)，畫出其函數(shù)圖象，通過分析圖形中x的取值，利用數(shù)形結(jié)合法求得問題的答案.

例4.

當(dāng)一個(gè)不等式中含有兩個(gè)絕對(duì)值時(shí)，一般會(huì)先想到采用分類討論法，但如果我們換一個(gè)角度去思考，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知 | x + 2| + | x - 1| < 4 表示到定點(diǎn) A（-2） 和 B（1） 的距離之和小于4的點(diǎn)的集合，只需找A點(diǎn)左側(cè)和B點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)，即可找到滿足不等式的點(diǎn)的集合，這樣就避免了繁瑣的分類討論.一般地，形如 | x - a| + | x - b| < c 的不等式，表示數(shù)軸上的點(diǎn) x 到a，b 點(diǎn)的距離之和小于c;形如 | x - a| - | x - b| > c 的不等式，表示數(shù)軸上的點(diǎn) x 到 a，b 點(diǎn)距離之差大于c，該方法常用于解選擇題、填空題.

解法 2：

該解法是從函數(shù)的觀點(diǎn)來進(jìn)行分析，在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù) y1 = | x + 2| + | x - 1| 和函數(shù) y2 = 4 的圖象，通過觀察兩個(gè)圖象間的關(guān)系，就可達(dá)到解題的目的.

解法1的重點(diǎn)在于研究絕對(duì)值的幾何意義，這不失為一種便捷的好方法;對(duì)于解法2，需正確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，并準(zhǔn)確寫出它們交點(diǎn)的坐標(biāo)，才能使問題順利獲解.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法解絕對(duì)值不等式，需將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為幾何圖形，合理進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化.

絕對(duì)值不等式，是新課標(biāo)選修4系列中《不等式選講》中的重要部分，也是新課標(biāo)高考的必考內(nèi)容，雖然在初中的教材中出現(xiàn)過，但同學(xué)們沒有深入研究.而在高中教材中，它是在學(xué)完了其它內(nèi)容后要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，所以我們應(yīng)該利用所學(xué)的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去研究絕對(duì)值，去掉絕對(duì)值符號(hào).掌握上述四個(gè)“妙招”，我們就能靈活應(yīng)對(duì)絕對(duì)值不等式問題了.

（作者單位：江蘇省常州市金壇第一中學(xué)）