利用放縮法證明不等式的兩個技巧

楊海炎

證明不等式的方法多種多樣，常見的有綜合法、分析法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法、放縮法等.其中，放縮法是用得較多，且靈活性較強的一種方法.放縮法是指通過適當(dāng)放大或者縮小代數(shù)式，從而證明不等式的方法.在利用放縮法證明不等式時，我們常常要用到一些技巧，才能使問題快速得解.下面談一談利用放縮法證明不等式的兩個技巧.

一、根據(jù)不等式的性質(zhì)進行放縮

不等式的性質(zhì)很多，如對稱性、傳遞性、可加性、可乘性等.在運用放縮法證明不等式時，可根據(jù)不等式的性質(zhì)，如在不等式的左右加上一個數(shù)、乘以一個數(shù)，在不等式的分子、分母上加上或減去一個數(shù)，等等，從而構(gòu)建出與已知關(guān)系式、目標(biāo)式相關(guān)聯(lián)的式子，從而證明不等式成立.

例 1.

例2.

解答本題，關(guān)鍵是把數(shù)列通項公式的分母中的常數(shù)項去掉，根據(jù)不等式的可加性，將通項公式放大為 ?再將該式裂為兩項之差的形式，就能運用裂項相消法求得數(shù)列的和，從而證明不等式.

二、利用基本不等式進行放縮

基本不等式：a + b ≥ 2 ab ，其中 （a、b > 0） 是解答不等式問題的重要工具.利用基本不等式進行放縮，需把握三個條件：一正、二定、三相等.在證明不等式時，可根據(jù)目標(biāo)不等式的特點，構(gòu)造出兩式的和或積，并使其一為定值，即可運用基本不等式將兩式的和或積放大或者縮小，從而證明不等式成立.

例 3.

解答本題，需多次運用基本不等式，求得幾個和式的最小值，使得幾個和式縮小，從而證明不等式成立.最后還需檢驗，等號成立的條件是否一致，這樣才能確保證明的過程無誤.

總之，運用放縮法證明不等式，不僅可以讓復(fù)雜的題目簡單化，更能讓已知關(guān)系式和所要證明的關(guān)系式之間的關(guān)系變得更加清晰明了，這有利于同學(xué)們快速找到解題的思路.

（作者單位：浙江省諸暨市草塔中學(xué)）