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    列表法在“每……每”問(wèn)題中的應(yīng)用

    2022-05-30 10:48:04陳宏雯
    初中生世界·九年級(jí) 2022年9期
    關(guān)鍵詞:件數(shù)銷售量降價(jià)

    陳宏雯

    列表法是同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)上冊(cè)“4.3用一元一次方程解決問(wèn)題”時(shí)所見(jiàn)過(guò)的一種審題方法,它能將應(yīng)用題中的條件所涉及的各部分?jǐn)?shù)量關(guān)系一一列舉出來(lái),使人對(duì)題目所敘述的各種數(shù)量了如指掌,最終達(dá)到將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的。但隨著學(xué)習(xí)的深入和解題熟練度的提升,同學(xué)們習(xí)慣于直接列方程,列表法也漸漸被“丟棄”。但隨著一元二次方程的學(xué)習(xí),題目中出現(xiàn)的數(shù)量關(guān)系再次變多,“丟棄”列表法的同學(xué)可能對(duì)“用一元二次方程解決問(wèn)題”感到棘手,尤其是遇到“每……每”問(wèn)題。其實(shí),列表是解決“每……每”問(wèn)題的一劑良藥。現(xiàn)以具體的例題來(lái)向大家介紹列表是如何在“每……每”問(wèn)題中應(yīng)用的,以期同學(xué)們?cè)诮窈蟮慕獯鹬心苁炀氄莆铡?/p>

    例1 商場(chǎng)銷售一批襯衫,平均每天可售出30件,每件盈利45元。為了擴(kuò)大銷售,增加盈利,商場(chǎng)采取降價(jià)措施。假設(shè)在一定范圍內(nèi),襯衫的單價(jià)每降1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件。如果降價(jià)后商場(chǎng)銷售這批襯衫每天盈利1800元,那么這種襯衫每件的價(jià)格應(yīng)降價(jià)多少元?

    【分析】本題是最典型的“每……每”問(wèn)題,即“襯衫的單價(jià)每降1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件”。此外,本題還有較多數(shù)量,這些數(shù)量直觀上并沒(méi)有什么聯(lián)系,所以我們可以通過(guò)列表的方式找到它們之間的關(guān)系。

    方法一:因?yàn)楝F(xiàn)在的每件盈利受降價(jià)影響,即現(xiàn)在的每件盈利等于原來(lái)的每件盈利減去降低的價(jià)格,而增加的件數(shù)由降低的價(jià)格決定,每個(gè)1元搭配2件襯衫。所以我們可以設(shè)降價(jià)為x元,增加的件數(shù)為2×[x1]件,現(xiàn)在的每件盈利為(45-x)元,件數(shù)為(30+2×[x1])件。最終,根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式:總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量,列出一元二次方程解決問(wèn)題。

    解:設(shè)這種襯衫的單價(jià)降了x元。

    根據(jù)題意,得

    (45-x)(30+2x)=1800。

    解這個(gè)方程,得x1=x2=15。

    答:當(dāng)這種襯衫每件的價(jià)格降價(jià)15元時(shí),商店每天獲利1800元。

    方法二:降低的價(jià)格和現(xiàn)在的每件盈利有直接關(guān)系,現(xiàn)在的銷售件數(shù)與降低的價(jià)格有直接的關(guān)系,可以利用降低的價(jià)格關(guān)聯(lián)現(xiàn)在每件的盈利與現(xiàn)在的件數(shù)之間的關(guān)系。所以設(shè)現(xiàn)在每件盈利為x元,則降低的價(jià)格為(45-x)元,增加的件數(shù)為2×[(45-x)1]件。同樣,根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式:總利潤(rùn)=單利潤(rùn)×數(shù)量,列出一元二次方程解決問(wèn)題。

    解:設(shè)這種襯衫現(xiàn)在的每件盈利為x元。

    根據(jù)題意,得

    x[30+2×[(45-x)1]]=1800。

    解這個(gè)方程,得x1=x2=30。

    所以45-x=15。

    答:當(dāng)這種襯衫每件的價(jià)格降價(jià)15元時(shí),商店每天獲利1800元。

    【點(diǎn)評(píng)】設(shè)降價(jià)為x元時(shí),明明可以直接寫出增加的件數(shù)是2x,為什么還要寫成2×[x1]的樣子?這是因?yàn)轭}目說(shuō)增加2件是針對(duì)“每”降價(jià)1元來(lái)說(shuō)的,因此,我們要找到降價(jià)中有多少個(gè)“1”。即對(duì)待“每……每”問(wèn)題,重要的是能夠找到第一個(gè)“每”所代表的意思是什么。此外,根據(jù)列表,我們可以清晰地看出表格中存在兩個(gè)未知量,即調(diào)整的價(jià)格與銷售件數(shù)和現(xiàn)在的每件盈利與銷售件數(shù),但兩者之間可以由“每降1元,多售出2件”建立聯(lián)系。

    例2 某超市銷售一種飲料,每瓶進(jìn)價(jià)為6元。當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí),日均銷售量為160瓶。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明,每瓶售價(jià)每增加0.5元,日均銷售量減少10瓶。當(dāng)每瓶售價(jià)為多少元時(shí),所得日均總利潤(rùn)為700元?

    【分析】首先我們可以初步將題目中的條件用表格表示如下:

    [ 原來(lái)的 調(diào)整 現(xiàn)在的 進(jìn)價(jià)/元 6 不變 6 售價(jià)/元 10 增加 ? 銷售量/瓶 160 減少 ? 日均總利潤(rùn) (10-6)×160 700 ]

    設(shè)每瓶售價(jià)增加x元,那么這里面有[x0.5]個(gè)0.5,所以銷售量減少10×[x0.5]瓶,現(xiàn)在的售價(jià)為(10+x)元,銷售量為(160-10×[x0.5])瓶。根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系式:總利潤(rùn)=(售價(jià)-進(jìn)價(jià))×數(shù)量,可得到方程。

    解:設(shè)增加x元時(shí),所得日均總利潤(rùn)為700元。

    根據(jù)題意,得

    (10+x-6)×(160-10×[x0.5])=700。

    解得x1=1,x2=3。

    所以10+x1=11,10+x2=13。

    答:每瓶售價(jià)為11或13元時(shí),所得日均總利潤(rùn)為700元。

    【點(diǎn)評(píng)】與例1類似,我們還可以設(shè)現(xiàn)在每瓶售價(jià)x元時(shí),所得日均總利潤(rùn)為700元。根據(jù)題意,列方程(x-6)(160-10×[x-100.5])=700來(lái)解決問(wèn)題。本題的“每……每”在于“售價(jià)每增加0.5元,日銷售量減少10瓶”。但這里的0.5不像例1中的那么“整”,“每”這個(gè)詞在數(shù)學(xué)中是“除以”的意思,所以需要找到增加的售價(jià)中有多少個(gè)“0.5”。因此,抓住第一個(gè)“每”是解決“每……每”問(wèn)題的關(guān)鍵。

    變式 某水果商場(chǎng)經(jīng)銷一種高檔水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克。經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下,出售價(jià)格每漲價(jià)3元,日銷售量將減少60千克,現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元,同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠,那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元?

    解:設(shè)每千克應(yīng)漲價(jià)x元。

    根據(jù)題意,得

    (10+x)(500-60×[x3])=6000。

    解這個(gè)方程,得x1=5,x2=10。

    因?yàn)橐诡櫩偷玫綄?shí)惠,

    所以x2=10不合題意,舍去。

    答:每千克應(yīng)漲價(jià)5元。

    【點(diǎn)評(píng)】解決一元二次方程中的“每……每”問(wèn)題,還需要關(guān)注的是能找到題目的等量關(guān)系式。將屬于同一類等量關(guān)系式的數(shù)量放進(jìn)表格的同一行,例如漲價(jià)前的售價(jià)、銷售量、利潤(rùn)為同一類,漲價(jià)后的售價(jià)、銷售量、利潤(rùn)為同一類。設(shè)相應(yīng)的未知數(shù),用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出其他的未知量,最后根據(jù)等量關(guān)系式列出一元二次方程并求解。

    此外,對(duì)于求解增加、降低等實(shí)際問(wèn)題,直接設(shè)增加、降低等會(huì)使得所列表格更便于理解。最后,要認(rèn)清題目中是否有目的性詞語(yǔ),即所求解方案是否符合要求,如同變式中“同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠”,所以需要舍去不符合要求的值。

    (作者單位:江蘇省南京市江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校)

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