談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理的價值與應(yīng)用

[摘? 要] 合情推理更多發(fā)生于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)過程中. 如果站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，可以發(fā)現(xiàn)合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有一席之地. 合情推理能夠幫助學(xué)生打開數(shù)學(xué)感知的大門，能夠引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中完成從生活向數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變，是消解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難、減少高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常常出現(xiàn)的兩極分化現(xiàn)象的關(guān)鍵之一. 在實際教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)去認(rèn)真研究教材，確定合情推理切入點，然后從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進入情境，進而在問題的驅(qū)動下進行合情推理. 雖然說合情推理不像邏輯推理那樣，具有相對單獨且重要的意義，但是要想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，教師有必要將合情推理作為一個重要的教學(xué)內(nèi)容進行傳授.

[關(guān)鍵詞] 合情推理;價值;應(yīng)用;能力培養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中推理的地位至關(guān)重要，可以說如果沒有推理數(shù)學(xué)知識就很難被建構(gòu)起來. 當(dāng)然，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中強調(diào)得更多的是邏輯推理，比如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》就將邏輯推理作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素之一. 邏輯推理的重要性不言而喻，但是還有一種看起來水平較低的推理也應(yīng)當(dāng)引起高中數(shù)學(xué)教師的重視，這個推理就是合情推理. 通常情況下，合情推理更多發(fā)生于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)過程中，但如果不是站在數(shù)學(xué)知識的角度，而是站在學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理，又可以發(fā)現(xiàn)合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有一席之地.

之所以提出這個觀點，是因為相當(dāng)一部分學(xué)生在高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的過程中，由于思維方式等的差異，還需要合情推理來奠定包括邏輯推理在內(nèi)所有數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素養(yǎng)成的基礎(chǔ). 而且就算從數(shù)學(xué)知識發(fā)生的角度來看，不少高中數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律，依然需要用合情推理來打開大門. 所以合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)被重視，而且學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)一定是離不開合情推理的. 如果以往高中數(shù)學(xué)教育較為注重嚴(yán)謹(jǐn)性的論證演繹推理，那么隨著對學(xué)生學(xué)習(xí)過程的重視程度越來越高，引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理并在此基礎(chǔ)上進行合理猜想，然后讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中主動發(fā)現(xiàn)并提出問題，進而通過推理猜想探索數(shù)學(xué)規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理和猜想就應(yīng)當(dāng)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要任務(wù)[1].

本文借助“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中合情推理的價值與應(yīng)用途徑.

合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值

一般認(rèn)為，合情推理是指合乎情理的、似乎真的推理，因此又被稱為“似真推理”. 相對于邏輯推理而言，合情推理并不過于強調(diào)邏輯性，即使依賴直覺進行推理也是可行的. 自然而然的合情推理，也不追求結(jié)果的百分之百的準(zhǔn)確，但要求學(xué)生的思維能夠向數(shù)學(xué)規(guī)律靠近. 因此，合情推理的清晰程度并不能與數(shù)學(xué)中的論證推理相比，其是一個沒有固定的邏輯，是籠統(tǒng)的但又合乎情理的推理. 因此合情推理并不能獲得所有人的認(rèn)同，但是盡管如此，合情推理在數(shù)學(xué)中依然有論證推理不能替代的作用，它對于數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性發(fā)展有著重大意義與價值.

具體來說，合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值表現(xiàn)為：合情推理能夠幫助學(xué)生打開數(shù)學(xué)感知的大門，能夠引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中完成從生活向數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)變. 這一點對于幾乎所有高中生來說都是有積極意義的，因為學(xué)生如果不能在這個環(huán)節(jié)觸摸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，那就不能進行有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，因此合情推理才是消解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難、減少高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常常出現(xiàn)的兩極分化現(xiàn)象的關(guān)鍵之一. 除此之外，合情推理還能夠促進學(xué)生的思維從淺層走向深度，從膚淺走向深刻，從某種程度來講，合情推理就是學(xué)生思維遞進的一個重要臺階.

比如，“函數(shù)的單調(diào)性”這一知識看起來簡單，卻是學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)的一個重要節(jié)點. 從數(shù)學(xué)意義的角度來看，學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性的理解是建立在其定義之上的，而這種定義的抽象性，會讓不少學(xué)生望而生畏. 相應(yīng)地，在這一知識的學(xué)習(xí)過程中，如果學(xué)生能夠利用合情推理來打開探究的大門，那么就能夠讓學(xué)生對合情推理的理解變得更加高效.

合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

那么在具體的應(yīng)用過程中，合情推理應(yīng)當(dāng)如何實施呢？筆者也分析了一些教學(xué)案例，結(jié)果發(fā)現(xiàn)很多教師都是給學(xué)生一個情境，然后直接讓學(xué)生去猜想，很多時候可能都會因為情境創(chuàng)設(shè)不恰當(dāng)或者問題設(shè)計不科學(xué)，學(xué)生很難進行有效的猜想. 因此，合情推理的應(yīng)用實際上是有一定技術(shù)要求的. 有研究者研究數(shù)學(xué)教學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力時，提出“善用教材，尋求合情推理的切入點”“依照數(shù)學(xué)原理，進行合情推理教學(xué)”“設(shè)置情境，鼓勵學(xué)生合理猜想”“拓展類比，推進合理推理的轉(zhuǎn)化”“營造良好的課堂氛圍，促進學(xué)生不斷地自我探索和創(chuàng)新”[2]，這樣的闡述對于合情推理的應(yīng)用來說，有著一定的啟發(fā)，也就是說，教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真研究教材，確定合理的合情推理切入點，然后從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進入情境，進而在問題的驅(qū)動下進行合情推理.

例如，在“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)中，筆者先給學(xué)生呈現(xiàn)了多個函數(shù)的圖像（如圖1、圖2所示），然后讓學(xué)生去觀察這些圖像，思考如何從圖像上發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的性質(zhì). 這是一個學(xué)生進行觀察并猜想的過程：憑著直覺思維可以發(fā)現(xiàn)這兩個圖像都對應(yīng)著一定的變化規(guī)律，但是這個變化規(guī)律又不能簡單地描述出來，于是學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)當(dāng)將這兩個函數(shù)進行分段分析，才能準(zhǔn)確地描述它們的性質(zhì).

具體分析學(xué)生的這一思考過程可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最初描述這些性質(zhì)的時候，用的是“變大”或“變小”這樣的生活用語;而問學(xué)生為什么會這么描述，學(xué)生會說直接從圖像上看到的.

這樣一個學(xué)生直接觀察的過程，實際上對應(yīng)的是學(xué)生的直覺思維，而變大與變小則是基于圖像走勢的直觀判斷. 從圖1的單一變化到圖2的復(fù)雜變化，學(xué)生容易猜想到如果遇到的是更為復(fù)雜的函數(shù)及其圖像，要描述其性質(zhì)，就需要進行分段描述，自然也就有學(xué)生會在這個過程中提出問題：如果要分段的話，應(yīng)當(dāng)如何分段呢？如果要描述函數(shù)性質(zhì)的話，應(yīng)當(dāng)如何描述呢？在這一些問題的驅(qū)動下，學(xué)生的探究會逐步深入，有不少學(xué)生提出應(yīng)當(dāng)遵循由易到難的原則，先選擇一個相對簡單的函數(shù)圖像去研究其性質(zhì). 這時可以引導(dǎo)學(xué)生以二次函數(shù)f（x）=ax2（a≠0）作為研究對象，那么學(xué)生就可以觀察到，無論是開口向上還是開口向下，都需要將二次函數(shù)的圖像分成兩部分來闡述……

事實證明，有了上述這樣一段分析過程作為基礎(chǔ)，學(xué)生認(rèn)識函數(shù)單調(diào)性時，整個過程就會非常順利. 這顯然得益于合情推理：學(xué)生最初的變大或變小的認(rèn)識，就是合情推理的結(jié)果;后面學(xué)生提出的問題，也是合情推理的結(jié)果. 如果沒有學(xué)生的這些合情推理，如果只是教師純粹的講授，那么在學(xué)生的思維當(dāng)中，就沒有這些合情推理的結(jié)果作為緩沖與潤滑，學(xué)習(xí)結(jié)果自然也就不會理想.

合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概括

從以上的理論分析與實踐探究來看，合情推理在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的價值，主要體現(xiàn)在合情推理能夠在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念或者規(guī)律的過程當(dāng)中，生成許多默會的知識，有了這些默會的知識，那么學(xué)生在建構(gòu)這些數(shù)學(xué)知識時，過程就會更加自然. 對于教師來說，判斷并評價學(xué)生的合情推理，主要依據(jù)的是學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果. 如果教師此前給足了學(xué)生進行合情推理的空間，而學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)與運用知識時又變得更加自然，那么就可以認(rèn)為這樣的合情推理是成功的.

雖然合情推理不像邏輯推理那樣具有相對單獨且重要的意義，但是要想提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品質(zhì)，教師有必要將合情推理作為一個重要的教學(xué)內(nèi)容. 除了讓學(xué)生在知識發(fā)生的過程中進行合情推理外，要想讓學(xué)生進行更好的合情推理，教師可以讓學(xué)生去欣賞一些偉大的猜想產(chǎn)生的過程. 在這些過程當(dāng)中，也蘊含著豐富的合情推理環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會并認(rèn)識到如何利用合情推理去猜測和發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論，也可以培養(yǎng)學(xué)生進行合情推理的思維方式，同時對后繼知識的學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用.

總而言之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)必須重視合情推理，要讓合情推理成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的有效緩沖，要讓合情推理的結(jié)果成為學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的有效補充. 將合情推理納入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容范疇，在教學(xué)中賦予學(xué)生更多的合情推理空間，是數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視并努力的方向.

參考文獻：

[1]? 陳桂芬. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的推理猜想引導(dǎo)——評《數(shù)學(xué)與猜想（第二卷）：合情推理模式》[J]. 中國教育學(xué)刊，2019（08）：124.

[2]? 馬香華. 論高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生合情推理能力的培養(yǎng)[J]. 教育觀察（下半月），2016（11）：79-80.

作者簡介：馬婷（1987—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.