探索圖形世界 感受歸納思想

丁葉謙

一、設(shè)計理念

“平面圖形的認(rèn)識（二）”這一章的知識要點(diǎn)有平行線的性質(zhì)及其判斷條件、三角形角的大小的求解及面積問題、多邊形內(nèi)外角和的求解及實(shí)際問題的解決。由于學(xué)生在七年級上冊“平面圖形的認(rèn)識（一）”的基礎(chǔ)上，已經(jīng)對平面圖形有了初步的認(rèn)識，所以結(jié)合“夯實(shí)簡單的平面圖形的基礎(chǔ)，提高學(xué)生解題能力，強(qiáng)化復(fù)雜題型的演練”這一教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)復(fù)習(xí)課，可以從三角形的角平分線、垂線和中線這三條特殊的線段入手，從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，堅(jiān)持目標(biāo)導(dǎo)向、問題導(dǎo)向和創(chuàng)新導(dǎo)向，層層遞進(jìn)，注重研究方法的引領(lǐng)以及數(shù)學(xué)思想的滲透。

二、激學(xué)導(dǎo)思，回顧舊知

課前，筆者提前布置了作業(yè)，讓學(xué)生畫出本章的“思維導(dǎo)圖”，目的是讓學(xué)生提前回顧、梳理、總結(jié)、歸納本章的知識要點(diǎn)及重要的圖形。對本章的知識點(diǎn)、內(nèi)容以及問題進(jìn)行全方位和系統(tǒng)的描述與分析，這有助于學(xué)生對本章所研究的問題進(jìn)行深刻和富有創(chuàng)造性的思考，從而有利于學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵因素或關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

課堂上，筆者對學(xué)生們的“思維導(dǎo)圖”進(jìn)行了展示（圖略）。觀察他人作品對學(xué)生的啟發(fā)比教師的“滿堂灌”效果要好很多，因?yàn)槠吣昙墝W(xué)生的心理正處于一種積極向上、你追我趕的狀態(tài)，周圍優(yōu)秀學(xué)生的一言一行，都可能成為他們追逐的目標(biāo)，這樣也有助于營造一種良好的班級學(xué)習(xí)氛圍。同時，教師讓學(xué)生認(rèn)真觀察他人的作品之后，再請學(xué)生談?wù)劇坝^后感”，不僅可以讓學(xué)生找到自己與別人的差距，同時也可以查漏補(bǔ)缺，完善自己的“思維導(dǎo)圖”，從而讓學(xué)生的知識系統(tǒng)更加完善。

三、樂學(xué)求思，美美與共

筆者拋出問題：“通過本章的學(xué)習(xí)，你了解到三角形中有哪些特殊的線段？談?wù)勀銓λ鼈兊恼J(rèn)識?！?/p>

對照所給的三幅圖（如圖1、2、3），筆者與學(xué)生一起回憶學(xué)過的三角形中的特殊線段，潛移默化地開啟了學(xué)生的知識庫，讓學(xué)生有條理地梳理基本知識點(diǎn)以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。隨后，小組之間的短暫交流與溝通，使得學(xué)生之間可以相互查漏補(bǔ)缺，彌補(bǔ)知識上的漏洞，以至于所有學(xué)生都能把本章的知識點(diǎn)整理成一個體系，從而讓記憶變得更加清晰、深刻，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)、探究打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

筆者根據(jù)三角形中三條特殊的線段，將本環(huán)節(jié)分成三大塊。每塊內(nèi)容對應(yīng)著一種線段，并搭配一個獨(dú)立的專題。針對每個專題，筆者均設(shè)置了“活動探究→圖形提煉→變式訓(xùn)練”教學(xué)模式，目的是給學(xué)生搭好“腳手架”，凸顯學(xué)生的主體地位，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，幫助學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、合作交流的習(xí)慣。

比如，對于角平分線的教學(xué)，筆者遵循“從一等分到n等分，從一條角平分線到兩條角平分線，從內(nèi)角角平分線到外角角平分線”的原則，讓學(xué)生從一個點(diǎn)的思維計算，發(fā)展到一片、一類的思維計算（如圖4）。

對于高線的教學(xué)，筆者遵循“從一條到兩條，從單一高線到復(fù)合角平分線”的原則，讓學(xué)生體會從單一到復(fù)合的思維訓(xùn)練（如圖5）。

對于中線的教學(xué)，筆者同樣遵循“從一條到兩條，從基礎(chǔ)到外延”的原則，讓學(xué)生靈活多變地去思考和解題，從而培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維（如圖6）。

在此過程中，筆者注重“教、學(xué)、評”流程，細(xì)化了教學(xué)過程，強(qiáng)化了怎么教，增強(qiáng)了教學(xué)與育人目標(biāo)的聯(lián)系。同時，在計算過程中，筆者先給出具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生計算出結(jié)果，再將數(shù)轉(zhuǎn)變成字母，用代數(shù)式表示結(jié)果的一般形式，從有形到無形，從具體到抽象，從特殊到一般，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思想有機(jī)結(jié)合；通過研究數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系，得到數(shù)學(xué)的研究對象及其關(guān)系。教師關(guān)注學(xué)生個性化、多樣化的學(xué)習(xí)和發(fā)展需求，使得人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，讓每個學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中都能得到發(fā)展。

四、拓學(xué)創(chuàng)思，各美其美

本環(huán)節(jié)中，筆者設(shè)置了一道拓展題（題目略），以幫助學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識解決問題，激發(fā)學(xué)生的潛力，增強(qiáng)自信心。不同的學(xué)生會有不同的思考方向、解題方法和解題策略，教師要鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考，用數(shù)學(xué)語言大膽表達(dá)。

學(xué)生能否順利解決這道題并不是重點(diǎn)，克服畏難心理、勇于挑戰(zhàn)自我才是關(guān)鍵。教師要正確對待和處理學(xué)生的錯誤，巧妙利用這一教學(xué)資源，使學(xué)生的思維能力、情感態(tài)度、價值觀等方面得到發(fā)展。面對學(xué)生無意中犯下的錯誤，教師未必要立即指出，可以順勢誘導(dǎo)學(xué)生將錯題再次解答，發(fā)現(xiàn)矛盾后，再讓學(xué)生交流、探討，從不同角度探索出錯的原因，這樣可以給學(xué)生留下非常深刻的印象。

最后，筆者和學(xué)生一起從具體的問題中概括出一般結(jié)論，把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑，形成數(shù)學(xué)的方法和策略，用數(shù)學(xué)語言歸納出圖形的性質(zhì)，這樣也幫助學(xué)生生成了抽象能力、推理能力和模型觀念，建立了數(shù)與形的聯(lián)系。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)段玉裁初級中學(xué)）

專家點(diǎn)評

本節(jié)課，丁老師以目標(biāo)、問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生探索圖形世界，注重數(shù)學(xué)思想的滲透及方法的引領(lǐng)，具體表現(xiàn)在以下三個方面：

繪制知識樹，生成知識網(wǎng)絡(luò)。單元復(fù)習(xí)課的起點(diǎn)是知識回顧。丁老師給學(xué)生足夠的時間梳理本章的知識要點(diǎn)，繪制知識樹有助于喚醒學(xué)生對內(nèi)容的回憶。知識樹觸動了學(xué)生學(xué)習(xí)的靈性，激發(fā)了學(xué)生主動學(xué)習(xí)的欲望，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。他們都能從平行線、三角形、多邊形等角度比較全面地呈現(xiàn)本章知識要點(diǎn)，同時也訓(xùn)練了發(fā)散性思維。

教師隨后的補(bǔ)充啟發(fā)也是很有必要的，從圖形、文字、符號等方面來完善知識樹，體現(xiàn)三種幾何語言轉(zhuǎn)化的重要性。教師的點(diǎn)評引導(dǎo)恰到好處。

控制變量法，凸顯思維進(jìn)階。數(shù)學(xué)中有些問題涉及多個可變因素，帶來了問題解決的復(fù)雜性，合理運(yùn)用控制變量法有助于提升課堂教學(xué)效率。我們常?？刂谱兞繌纳俚蕉啵沟脝栴}從簡單到復(fù)雜。丁老師通過控制三角形中的線段、角度等條件，把問題一個個串聯(lián)起來，如從給定兩個角度數(shù)到一個角度數(shù)，從形內(nèi)到形外，再到探究一般性的規(guī)律，呈現(xiàn)出思維的連續(xù)性和拓展性。

探究過程中，丁老師通過問題引導(dǎo)，讓學(xué)生充分表達(dá)自己的思考，認(rèn)識到幾何圖形學(xué)習(xí)中分類討論思想的必要性和重要性，教學(xué)過程始終以學(xué)生為主體。

精選一道題，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。借助于知識的條件化、情景化可以實(shí)現(xiàn)高階思維的發(fā)展和深度學(xué)習(xí)。丁老師以三角形為基本圖形，結(jié)合三角形中的主要線段：角平分線、中線和高線衍生出各種變化，不僅復(fù)習(xí)了本章內(nèi)容的主要知識點(diǎn)，更強(qiáng)化了模型思想。本節(jié)課通過一道題的變化，呈現(xiàn)一個整體的結(jié)構(gòu)化設(shè)計，讓學(xué)生的思維更有序、更自然，從而體現(xiàn)真實(shí)情境下的深度學(xué)習(xí)。

（點(diǎn)評專家：倪軍，江蘇省特級教師，南京市鼓樓區(qū)教師發(fā)展中心中學(xué)研訓(xùn)部主任）