滲透數學模型思想的教學策略

李志　涂幾會

［摘 要］建立數學模型是學生認識數學與外部世界聯系的基本途徑，數學概念、原理和數學理論體系都可以視為數學模型。在教學中，教師可以從五個方面滲透模型思想：巧設情境，尋找模型的原型；巧設活動，助力模型的建構；巧用抽象，經歷建模的過程；巧用對比，探究模型的本質；巧設練習，拓展模型的外延。

［關鍵詞］數學模型；滲透；教學策略

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0078-03

小學數學教材中，具體的數字、算式、四則運算的意義、運算定律、方程、典型的數量關系等都是數學模型，從廣義的角度看，數學概念、原理和數學理論體系都是數學模型。學生經歷了數學模型建構的過程，才能較好地掌握新知識、形成新思想、積累操作經驗、提高數學核心素養(yǎng)。如何滲透數學模型思想呢？筆者認為有以下幾個策略。

一、巧設情境，尋找模型的原型

“數學是研究數量關系與空間形式的學科?！薄敖祵W模型是學生認識數學與外部世界聯系的基本途徑?！睂τ谶@兩句話，筆者有自己的理解。第一，數學模型源于現實生活。第二，數學模型是現實生活情境與具體事物的高度壓縮、去偽存真、深度抽象后呈現出來的數學結構。第三，數學模型可以服務于生活，是解決生活問題的有效工具。由此可見，在教學中滲透數學模型思想時離不開生活情境，教師要為學生創(chuàng)設生活情境，帶領學生尋找模型的原型。

1.語言敘述

教師若是口頭敘述生活中的情境，在敘述之前，要求學生認真傾聽后把重要的數學信息寫在紙上。例如，吳正憲老師在教學“小數的除法”時，就繪聲繪色地講述：“有4名同學聚餐，聚餐結束后李強去付款，給了收銀員100元，收銀員找補3元。4名同學要平攤聚餐費用，另外3人分別要給李強多少元？”吳老師以口述的方式呈現生活情境，再引導學生將生活情境轉化成數學問題，讓學生感受數學與生活的聯系，尋找模型的生活原型。

2.趣味故事

趣味童話故事能夠激發(fā)學生的興趣，因此，教師可以編創(chuàng)學生熟悉且感興趣的數學故事，再引導學生將故事中的情境轉化成數學問題。例如，唐僧師徒的故事、阿凡提的故事等，都是學生熟悉的故事。

3.圖表圖片

例如，關于正反比例的知識的情境可以用圖表呈現，這利于學生發(fā)現兩個量的變化規(guī)律。又如，“乘法分配率”一課中，用圖片呈現“有一群人去植樹，每組中的4人負責挖坑、種樹，2人抬水、澆水，一共有25組，一共有多少人去植樹”的情境。

4.操作演示

例如，給每名學生一根長31.4分米的繩子，讓他們去操場圈地，看看誰圈出的面積最大，然后生成數學問題：周長相等的長方形、正方形、三角形、圓，哪個圖形的面積最大？

5.設計游戲

例如，教學“鴿巢原理”一課時，教師可以設計“搶凳子”的游戲：讓4名學生搶3張凳子，總會有2名學生搶1張凳子。

二、巧設活動，助力模型的建構

學生的數學學習應當是生動活潑且富有個性的，學生應該有足夠的時間去開展猜想、推理、觀察、實驗、計算、驗證等活動。在數學課堂上，教師應該創(chuàng)設一系列有效的教學活動，使學生能夠充分、自主地參與學習活動。教師在設置學習活動時，既要體現數學模型的形成過程，又要展示數學模型的應用過程，使得學生親身經歷“模型的抽象—模型的應用與拓展”的過程。教師還要設置想一想、算一算、比一比、做一做、畫一畫等多種活動，使學生的聽覺、視覺、觸覺等多種感官協(xié)同作用，學生才能理解研究對象的本質屬性，提取研究對象的特征以及各種關系，并將其逐步抽象成數學模型。

例如，在教學“分數的意義”時，為了建構1/4這個數字的模型，教師設置了以下活動。

活動一：說說你對1/4的理解。

活動二：動手操作，表示出你所想的1/4。（學生將學具袋中的8個長方形看成一個整體，其中的2個長方形表示整體的1/4）

活動三：小組交流，說說你如何得到1/4。

活動四：學生交流，觀察作品，看看有什么相同之處與不同之處。

活動五：如果不用長方形做道具，你還能說出1/4的意義嗎？

活動六：用1/4編一個故事。

三、巧用抽象，經歷建模的過程

數學模型是現實生活或具體事物被高度抽象的產物，沒有抽象就沒有數學模型。數學抽象活動是一種思維活動，它具有層次性。一般來說，抽象出數學模型有三個階段：第一階段，抽象簡約情境，根據事物的內在關系與本質特征，將復雜的情境簡單化、條理化、數學化；第二階段，符號抽象，去掉內容的情境化外衣，利用具體的數學符號、字母、關系式、圖表等抽象出內容本質；第三階段，建構模型，通過假設和推理建構數學模型，并能夠理解數學模型具有的一般意義。教師在課堂教學中要引導學生經歷數學模型的形成與發(fā)展過程這三個階段，這樣，數學模型在學生的眼中才是有生命力的，學生才能靈活應用數學模型解決生活中的問題。

例如，在教學“乘法分配律”時，教師出示題目：某公司老板定制了5套服裝，1套衣服中的1件上衣100元、1條褲子80元，一共花了多少元？

抽象數學模型的過程：

（1）怎么求總價？（上衣單價×5+褲子單價×5）

（2）還能怎么求總價？有更簡潔的算式嗎？[（上衣單價+褲子單價）×5=上衣單價×5+褲子單價×5]

（3）能不能用一個等式表示這一類的等式？[（a+b）×c=ac+bc]

又如，在教學“加減法的意義和各部分之間的關系”時，教師引導學生將教材中的情境圖轉化成數學問題“哈爾濱到拉薩的距離是多少”。

抽象數學模型的過程：

（1）用簡潔的語言說說要解決什么問題。

（2）畫線段圖表示題意。

（3）根據線段圖列式，將直觀的線段圖抽象成具體的數學符號算式，用字母表示加法算式。

四、巧用對比，探究模型的本質

每一個數學知識都是一個數學模型，每一個數學模型都有獨特的屬性與特征，但是這些數學模型并不是孤立存在于數學知識體系中，模型與模型之間存在著千絲萬縷的聯系。在教學的時候，教師一定要善用對比，讓學生在對比中明確數學模型的本質，了解各數學模型的區(qū)別，從而牢牢記住數學模型。

1.在新課的引入環(huán)節(jié)巧用對比

學生都是在掌握已有知識的基礎上構建數學模型的。在引入一個新的數學模型之前，教師要認真研究教材以及學生的學習情況，清楚學生已掌握的知識。新課伊始，可以先復習舊知識，以舊引新。例如，在教學“小數乘法”之前，先復習整數乘法，回顧整數乘法筆算的算法，在此基礎上，學生根據情境列出算式，對比分析，發(fā)現今天學習的內容與學過的內容的不同點：一個是整數乘法，一個是小數乘法。教師據此引出新課，板書課題，為新的模型建構奠定知識基礎。

2.在探究新知的過程中巧用對比

例如，教學“方程”時，教師先出示一些式子“180+100<300，180+200>300，x+180=300，120×2<300，2x>300，2x=300，120+60=180，2x+80=320”，再引導學生思考：“你是怎樣將這些式子分類的？”學生觀察和操作后把這些式子分成兩大類——等式與不等式。最后，學生通過獨立思考、小組合作，將幾個等式又分成兩類：含有未知數與不含未知數的。這個時候，教師提問：“為什么這樣分？這兩類等式分別有什么特點？”經過探索和交流，學生認識了方程的特征，歸納出方程的意義，構建了方程的模型。在此基礎上教師可以再次引導學生對比分析：“120+60=180是方程嗎？”學生答道：“不是，它雖然是等式，但不含未知數?！苯處熡謫枺骸?x>300是方程嗎？為什么？”學生答：“不是，它雖然含有未知數，但不是等式?！苯處熃又鴨枺骸皒÷6=2是方程嗎？為什么？”學生答：“是，因為它既含有未知數，又是等式?！碧骄啃轮倪^程中，教師引導學生對式子進行了三次判斷，第一次的判斷引出了方程的概念，第二次判斷強調了方程的概念，第三次的判斷加深了學生對方程本質的認識。通過三次對比，學生牢固地構建了方程模型。

在數學課堂教學中，巧用對比，可以使學生輕松實現知識的遷移，實現新知向舊知的轉化；巧用對比，可以使學生發(fā)現知識之間的區(qū)別與聯系，深化學生的認識；巧用對比，可以發(fā)散學生的思維，令學生完善知識體系，牢固地構建數學模型。

五、巧設練習，拓展模型的外延

數學通過自己的語言系統(tǒng)及關系結構建立起描述自然現象和社會現象的有效模型，幫助人們準確把握客觀世界。如今的數學已突破了傳統(tǒng)的應用范圍，向許多知識領域滲透，各門學科也向著“數學化”發(fā)展，這里的“滲透”“數學化”說到底就是數學模型的運用。數學模型思想的滲透是一個循序漸進的過程，數學模型建立以后，教師要設計層次性練習，培養(yǎng)學生運用數學模型解決問題的能力，并在運用的過程中加深對數學模型的理解。

1.利用數學模型講生活中的事

通俗地說，數學模型就是借用數學語言講述現實世界的事。例如，“單價×數量=總價”就是一個典型的數學模型。學生建立這個模型以后，教師可以讓學生用這個模型講講生活中的事，如“1本筆記本的價格是8元，買4本這樣的筆記本要花8×4=32（元）”“1千克蘋果的價格是12元，買3千克蘋果要花12×3=36（元）”。這種生活中的事，學生講得越多，就越能理解“單價×數量=總價”這個模型。

2.設置層次化練習題

例如，學生學習了“按比分配”后，已構建了這類問題的模型：已知幾個量的比與幾個量的和，求幾個量分別是多少。對此，教師可出示練習：（1）一班共有60人，男生與女生的比是3∶2，男、女生各有幾人？（2）三班去植樹，分成三個小組，一共要植樹48棵，第一小組植了13棵，余下的按照2∶3分給第二小組與第三小組，第二、第三小組各植樹幾棵？（3）用一根長48厘米的鐵絲做長方體的框架，長、寬、高的比是3∶2∶1，這個長方體的體積是多少立方厘米？設計本課練習題時要緊抓“按比分配”這類問題的解題模型。首先，找準練習的起點，每道練習題都讓學生尋找?guī)讉€量的和是多少、幾個量的比是多少，然后按比分配。其次，注意練習題的梯度，由簡單到復雜，有知識點單一的練習題，也有綜合性練習題，時刻關注學生的解題過程，循序漸進，以練習促進學生建模能力的提升。最后，關注練習的針對性，關注學生的弱點，暴露問題，集中研討，抓住按比分配的本質，如第（2）題中“幾個量的和是剩下的部分”。

總之，教學模型思想的滲透是一個循序漸進的過程，教師在教學的過程中，要選擇恰當的教學內容，設計有效的教學活動，引導學生經歷生活情境到數學模型再到模型的拓展這樣一個數學化的過程，使得學生的綜合素養(yǎng)得到提升。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 王光明，范文貴.小學數學課程標準解析與教學指導[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.

[3] 吳正憲.吳正憲課堂教學教學策略[M].上海：華東師范大學出版社，2012.

（責編 黃 露）