經歷數學抽象 發(fā)展數學眼光

陳璐

【摘? ?要】抽象思想是數學知識產生和發(fā)展所依賴的基本思想。以“三角形的分類”為例，在教學中引導學生采取“慧眼辨異同、另眼析本質、放眼觀萬象”的具體策略，通過由表及里、由淺入深、由繁到簡，逐步經歷“分離—提純—簡略”的抽象過程，促進學生對抽象思想的感悟，發(fā)展學生的數學眼光。

【關鍵詞】抽象思想；數學眼光；核心素養(yǎng)

數學源于對現實世界的抽象，抽象思想是數學知識產生和發(fā)展所依賴的基本思想。從許多事物中舍棄個別的、非本質的屬性，得到共同的、本質屬性的思維過程，即為抽象，一般都表現為“分離—提純—簡略”的環(huán)節(jié)。在數學抽象的過程中，蘊含著分類思想、集合思想、符號表示思想、變中有不變思想、有限與無限思想等，它們都是由抽象思想演變、派生、發(fā)展出來的?！皶脭祵W的眼光觀察現實世界”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的義務教育階段的數學核心素養(yǎng)之一，抽象思想所發(fā)展的核心素養(yǎng)即“數學眼光”。小學階段所學習的數學內容是最基礎、最本質的內容，小學生的思維方式以形象直觀為主，通過抽象思想的教學，有利于學生逐步養(yǎng)成用數學的眼光觀察現實世界的意識與習慣，從而“形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發(fā)展創(chuàng)新意識”。本文將以“三角形的分類”教學內容為例，探討如何在教學中讓學生經歷數學抽象，發(fā)展數學眼光。

一、“慧眼”辨異同，由表及里

抽象必須關注研究對象的共性，還必須關注研究對象與其他事物的差異。共性和差異是抽象的結果，是抽象的具體體現。把握共性、明晰差異需要具備一雙獨到的“慧眼”，由此才能將所要研究的對象從總體中“分離”出來。因此，要達成學生對數學的逐步抽象，應在教學中融入分類思想，通過對研究對象的觀察與分析，“分”出數學要素，“析”出數學意義，做到“分而治之、各個擊破、綜合歸納”。

（一）同中尋異，明確分類標準

分類的根本目的在于研究事物的屬性，揭示事物之間的規(guī)律性和內在聯(lián)系。對差異大的東西進行分類比較容易，而對差異小的東西進行分類則比較困難。如分辨三角形和四邊形比較容易，只需根據邊數的多少制訂標準即可。比較而言，對三角形進行分類就不那么容易，因為被研究對象間具有較多共同特點，差異較小?！叭切问怯扇龡l線段圍成的圖形”是學生已有的知識經驗，對于三角形邊、角、頂點的屬性，學生往往只關注它們數量的多少，忽略其本質的區(qū)別。教學中，可先出示一組三角形讓學生明確分類的對象，再以問題“同樣都是三角形，還能接著分嗎”引發(fā)學生的認知沖突，從而排除圖形間的共性，將眼光聚焦于“個”與“個”之間的差異——雖然都是三角形，但它們內角的大小和邊的長短不同。學生通過同中尋異、由表及里的觀察比較，可更好地確定分類的標準。

（二）異中求同，感知各類特征

當學生通過觀察與操作對所提供的三角形按照“三個內角的特點”進行分類后，教師引導學生通過分析、比較，初步抽象出每一類的共同點。但此時若直接揭示銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的概念，學生的認知是不完善的，獲得的分類經驗也是“殘缺”的。因為現實中的三角形不計其數，僅是對其中幾個進行分類，難免“以偏概全”，缺乏說服力。教師可啟發(fā)學生進一步思考：三角形中除了“三個角都是銳角、一個直角和兩個銳角、一個鈍角和兩個銳角”這三類以外，是否還有第四類、第五類、第六類……引導學生再次將眼光聚焦到分類對象上，通過組合列舉、畫圖驗證、推理排除等方法主動尋求解決問題的思路，解除心中的疑慮，進而對分出的“類”形成更深刻的感知。

通過上述教學，學生不但經歷了分類的全過程，積累了分類時應注意“標準統(tǒng)一、不重復、不遺漏”的經驗，還體會了數學知識的邏輯性和嚴謹性，產生了獨立思考、敢于質疑的創(chuàng)新意識，發(fā)展了數學眼光。

二、“另眼”析本質，由淺入深

“與研究對象的存在性相比，研究對象之間的關系更為本質。”將所要研究的對象從諸多的事物中分離出來形成集合，對集合以及集合中的元素進行命名，這是對研究對象進行“提純”的過程，也是抽象過程中最關鍵的一步。數學世界是一個符號化的世界，數學概念和數學符號都是重要的數學語言。教師應對數學語言“另眼相看”，深入追溯其背后的“根”與“源”，通過對研究對象及其關系的揭露，幫助學生由感性具體上升到理性本質，建立結構化的認知系統(tǒng)。

（一）以“命名”促理解，形成符號意識

“三角形的分類”的教學內容所涉及的概念較多，要達成對各個概念的真正理解較為不易。正如卡西爾所言：“命名行為是不可或缺的首要步驟和條件。”數學概念是一種抽象的概括，對于按角分得到的三類三角形，學生如果單從表面觀察其內角特征的差異，所獲得的感悟僅處于淺層。因此，在教學中可結合“為三角形取名字”的活動深入展開。如在揭示銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的概念之后，應繼續(xù)引導學生用聯(lián)系的眼光比較三者的異同，從中發(fā)現：這三類三角形的共同點在于都有兩個銳角，圖形的名稱與其最大的角有關，這也正是這三類三角形命名的依據。學生經歷了三角形命名過程的分析與比較后思潮起伏，激動不已。原來數學家們是利用“特征命名法”為三角形命名的，讓人一看到名稱就能迅速聯(lián)想起它的特征！這樣的發(fā)現比單純地告知更能觸動學生的心靈。

同理，在揭示等腰三角形的概念之后，教師引導學生先將圖形中的“腰”與生活中的“腰”建立聯(lián)系，獲得形象的體驗；再結合圖形動手比畫出三角形的“腰”，直觀感知等腰三角形的特征。而等邊三角形作為等腰三角形中特殊的一類，在學生比較的過程中自然而然進行兩者之間的溝通，明確兩者之間的關系，在“思”與“動”中建立相應的表象。此時，再適時介紹等邊三角形也叫作“正三角形”，學生主動將其與“正方形”的命名建立聯(lián)系，感悟“正n邊形”的命名特點，形成符號意識。

學生從“知其然”走向“知其所以然”，在對圖形的命名中經歷數學知識的抽象過程，達成對概念的深入理解，建立清晰的圖形表象，在“辨”與“析”中感悟數學語言的“趣”與“妙”，發(fā)展了用聯(lián)系的觀點看問題的數學眼光。

（二）以“集合”建結構，發(fā)展幾何直觀

分類是使事物結構化的重要方式，事物的分類無時不滲透著集合思想。如把所有三角形看作一個集合，按角分得到的銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形就是其中三個互不相交的子集；按邊分得到的等腰三角形和等邊三角形之間存在從屬關系。用直觀形象的集合語言表示概念與概念之間的關系，從對圖形的研究深入到對圖形之間關系的研究，有助于幫助學生厘清它們之間的邏輯關系，建立系統(tǒng)的知識結構，同時也發(fā)展了幾何直觀的意識與能力。教學時，可創(chuàng)設“給三角形找家”的情境開展以下活動。

1.觀察與填充。教師出示空集合圈，讓學生將三角形的名稱寫到相應的位置（如圖1）。

2.調換與辨析。教師調換集合圈中三角形的位置（如圖2），讓學生辨析是否可行。

3.思考與交流。思考：“為什么第一個集合圈里的三類可以調換，第二個集合圈卻不能調換？第二個集合圈中，最大的圈代表誰的‘家？”

4.對比與感悟。兩個集合圈所表示的其實就是兩種不同的分類方式。第一種是比較常用的，分出的每一類都是并列關系。而第二種是包含關系，大圈里包含著小圈，突出了某一類的特殊性。借助分類，從不同的角度去分析，可以讓學生對圖形產生更深入、更全面的認識。

上述教學中，教師通過創(chuàng)設有趣的數學活動，將概念之間的內在關系借助集合圖直觀表示，結合集合圖的填充與調換，啟發(fā)學生進行思考，在觀察與思考中把握問題的本質，明晰思維的路徑，厘清各類三角形之間的邏輯關系。學生將二者進行直觀對比，在辨析中進一步感悟三角形各子集之間的并列關系與包含關系，有助于提升學生從不同角度思考問題的意識，增進其思維的深刻性和靈活性。

三、“放眼”觀萬象，由繁到簡

概念一般是從感性的經驗中通過直觀和抽象獲得的，存在于我們的主觀意識中，而不是看得見摸得著的客觀存在。抽象的概念存在于具體的事物中，能夠從眾多紛繁復雜的個體中擺脫具體形象的約束，形成對研究結果的“簡化表達”，以獲得更高層次的抽象。因此，教學中要培養(yǎng)學生透過現象看本質的數學眼光，從千變萬化中發(fā)現其中的不變，利用有限與無限的辯證思想解決問題，逐步“形成好奇心和想象力，提高學習數學的興趣”。

（一）觀察“變中有不變”，錘煉數學眼光

在學生建立各類三角形的表象后，教師將圖形置于方格紙上（如圖3），先讓學生判斷圖中的三角形是什么三角形，再利用幾何畫板開展變式活動，將圖中的A點沿著直線持續(xù)向右移動，思考所得到的是什么三角形。學生邊用眼觀察邊動腦思考，隨著A點向右移動，圖形的形狀在變，三個角的大小也隨之發(fā)生變化：∠ACB越來越大，∠CAB和∠CBA越來越小。最大的角始終是鈍角。學生自主經歷“有一個角是鈍角的三角形就是鈍角三角形”的概念的“簡略”過程。將“變中有不變”的數學思想融入教學，能夠增強學生辨析的能力，深化對概念本質的理解與應用。

（二）想象“有限與無限”，開闊數學眼光

在開展上述活動之后，教師根據圖3繼續(xù)引導學生觀察、想象、思考：將圖中的A點沿著直線持續(xù)向左移動，所得到的是什么三角形？要想在圖中得到等腰三角形和等邊三角形，A點又該如何移動？

學生拋開具體的個例進行分析與判斷，從有限的個體走向無限的可能，具備從現象中抓本質的眼光，聚焦圖形要素的變與不變。

綜合分析各種情況可知，當A點向左移動還未到達B點的正上方時，得到的是銳角三角形；當A點在B點的正上方時，

得到的是直角三角形；繼續(xù)向左移動，得到的是鈍角三角形。當A點在BC中點的正上方時，得到的是等腰三角形；此時再將A點繼續(xù)從上往下移動，隨著圖形在變，等腰三角形的本質不變，當兩腰的長度與底邊相等時，就出現了等邊三角形。

發(fā)展學生空間觀念的核心在于想象。上述教學過程中，借助直觀的觀察與操作，從有限的信息展開無限的想象，圖形的變化范圍有限、形狀無限，圖形的個數無限、類別有限。學生立足于眼前所見，將抽象的概念構建于腦中自由轉換，通過變中有不變錘煉數學眼力，在有限與無限中感悟數學的神奇與美妙。

小學階段抽象思想的教學是引領學生從現實世界走向數學世界的重要途徑。教師要合理把握抽象思想的實質，引導學生主動經歷“分離、提純、簡略”等數學抽象的過程，由表及里、由淺入深、由繁到簡，不斷加深自身的感悟，讓抽象思想在數學眼光中“熠熠生輝”，照亮學生核心素養(yǎng)的形成之路。

參考文獻：

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［3］邵光華.作為教育任務的數學思想與方法［M］.上海：上海教育出版社，2009.

（福建省泉州市實驗小學? ?362000）