“實際問題與方程（1）”教法新探

孫曉平

［摘 要］“實際問題與方程（1）”課程中大多直接呈現(xiàn)形如“ax±b=c”的方程問題，為了讓學生能夠養(yǎng)成主動運用方程解決實際問題的意識，初步學會運用方程，體驗方程的先進性，有必要從探尋方程本質(zhì)入手，引導學生建立模型，最終建立方程思想。

［關(guān)鍵詞］方程;應用題;教法革新

［中圖分類號］ G623.5［文獻標識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）29-0045-03

關(guān)于方程的應用，教材設計了形如“a±x=b”的方程應用題，對于這類運用算術(shù)法可以一步到位的應用題，是否有必要用方程來解，或者說用方程來解是否真的更加先進和便捷，仍存在較大爭議。一步計算就可以解決的問題被強令用方程來解題，對已經(jīng)用慣了算術(shù)法的學生來說，會感覺有些多此一舉，不但要寫出煩瑣的“解”與“設”，還要將直截了當?shù)臄?shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換成間接的方程表達，把簡單的問題復雜化了。這樣會導致學生對方程產(chǎn)生排斥心理，更談不上形成主動應用意識了。學生遇到類似的題目常常會猶豫不決，詢問老師如何在方程和算術(shù)方法中取舍，因為在他們心目中方程并不是一種解題的技能和工具，反而是一種選擇上的負擔，用方程解題并不是出于本意而是迫于無奈。之所以會出現(xiàn)這種尷尬的局面，其主因在于學生沒有領(lǐng)會到方程的原理和優(yōu)勢所在。鑒于此，在設計與執(zhí)教“實際問題與方程（1）”這一課時，筆者進行了大刀闊斧的改進與革新。

一、探尋本質(zhì)，初步體驗方程思想

師：果園里，陽桃樹有45棵，比水蜜桃樹多30棵，水蜜桃樹有多少棵？

（學生獨立解題，并述說解題思路）

師（隱藏問題，提取條件）：果園里，陽桃樹有45棵，比水蜜桃樹多30棵。

師：陽桃樹和水蜜桃樹的棵數(shù)是什么關(guān)系？

生₁：陽桃樹比水蜜桃樹多出30棵。

師：沒錯，你能想辦法用一個式子表示這兩種果樹之間的數(shù)量關(guān)系嗎？

生₂：45-x=30。

生₃：x+30=45。

生₄：45-30=x。

師：水蜜桃樹的棵數(shù)是未知的，因此可用一個字母代替，以上三個式子均能準確地表示出水蜜桃樹和陽桃樹的棵數(shù)關(guān)系。但是，若是非要挑一個最好的式子，你覺得哪一個式子與題目的表述最吻合、最直接？

生₅：生2的式子，因為這個式子是按照題干的語序來呈現(xiàn)其關(guān)系的，即“陽桃樹的數(shù)量-水蜜桃樹的數(shù)量=相差的30棵”。

生₆：我覺得生3的式子也不差，不過就是反推一下而已，即“水蜜桃樹的數(shù)量+陽桃樹比水蜜桃樹多出的30棵=陽桃樹的數(shù)量”。

師：相對而言，生4的式子一步到位算出結(jié)果，與我們的算術(shù)法不謀而合，只不過等號后面多了個字母而已。

師：以上的式子在數(shù)學里有個專門的稱謂——方程。那么解出這個方程就可以順利得出什么結(jié)果？

生₇：水蜜桃樹的棵數(shù)。

師（小結(jié)）：沒錯，剛才我們沒有分析題中的數(shù)量關(guān)系，也沒有進行數(shù)量推理，而是將問題轉(zhuǎn)化為一個方程，水蜜桃樹和楊桃樹的數(shù)量關(guān)系就蘊含在方程里。我們只要求出方程的解，就可以順利解決這個問題，這就是方程的神奇之處。

【設計意圖】學生運用算術(shù)法解題時，他們的第一反應就是根據(jù)問題逆向搜尋條件，一步步推理，直到將所有的基本條件集齊了，然后再順著線索推導出結(jié)果，其思維經(jīng)歷了一個正向和逆向的循環(huán)往復的過程，逆向溯源，正向推導，從而解決問題。這種方法思維復雜、線索紛繁。而方程思想是先尋找等量關(guān)系，這種等量關(guān)系往往就在字面上，然后根據(jù)這個等量關(guān)系建立起抽象的等式，利用含義不特定的數(shù)學符號來構(gòu)建方程。因此，方程的內(nèi)涵不在于對一個具體情境的刻畫，而是對某一類數(shù)量關(guān)系的描述，一個方程可以解決許多個含有類似數(shù)量關(guān)系的問題，而算術(shù)法解題面對的只是其中的一個具體問題。為了揭示方程的抽象性和概括性，教學從“具體問題”（具體情境中的問題，獨立解決時普遍采用算術(shù)法）過渡到“抽象問題”（讓學生用直接的式子表示數(shù)量關(guān)系）。在對比中學生明白，算術(shù)法需要雙向循環(huán)推理，而方程只需要順向推演數(shù)量關(guān)系，按照題目的語意將數(shù)量關(guān)系抽象出來就能得到方程，解方程就能得出最終的結(jié)果。

二、建立模型，初步形成方程思想

【教學片段1】

師（出示）：張果老種了72棵核桃樹，是種植的水蜜桃樹的3倍。請你用最直白的式子表示兩種果樹之間的數(shù)量關(guān)系。

生1：72÷x=3，3x=72。

師：解出以上兩個方程，實際上就等同于求出了什么？

生2：水蜜桃樹的數(shù)量。

師（完整呈現(xiàn)）：張果老種了72棵核桃樹，是水蜜桃樹的3倍。水蜜桃樹有多少棵？

師：韓國制造了128枚洲際導彈，比朝鮮制造的少14枚。用式子表示韓國和朝鮮擁有洲際導彈數(shù)量的關(guān)系。

生3：x-14=128，x-128=14。

師：解出上述兩個方程，實際上就等同于求出哪個量？

生4：朝鮮制造的導彈數(shù)量。

師（完整呈現(xiàn)）：韓國制造了128枚洲際導彈，比朝鮮制造的少14枚。朝鮮制造了多少枚洲際導彈？

師（小結(jié)）：剛才我們?yōu)榱藴蚀_表示數(shù)量關(guān)系，按照題意列出了含有未知數(shù)的等式，這些等式就是方程。而按照題意列出的方程，就是對整個數(shù)量關(guān)系的概括和抽象，因此可以說，方程就是對某種數(shù)量關(guān)系的抽象表達。

【設計意圖】算術(shù)法是運用方程法解題的最大障礙，由于先入為主的刻板印象和定式思維，很多學生會固守算術(shù)法不放。為了讓方程思想滲入學生的數(shù)學直覺思維里，教師特地設置兩道強化練習題，讓學生繼續(xù)用等式來表示數(shù)量關(guān)系，進一步強調(diào)方程就是抽象化的等量關(guān)系的數(shù)學本質(zhì)，讓學生初步形成方程思想。

【教學片段2】

師：聯(lián)合軍演中，英國出動60艘軍艦，美國的艦船數(shù)量是英國的艦船數(shù)量的2倍多10艘。請你用式子表示出美國和英國出動軍艦的數(shù)量關(guān)系。

生：2x+10=60，60-2x=10，60÷2-10=x。

（上述三個方程中，很明顯前兩個方程直接表述美英雙方軍艦數(shù)量的關(guān)系，而第三個式子雖然也有未知數(shù)，但是意圖一步到位地求出英國出動軍艦數(shù)量，致使數(shù)量關(guān)系混亂，列式出錯）

師：至此，你對方程是否有了新的看法？

師（小結(jié)）：從第三個式子來看，如果從結(jié)果出發(fā)，逆推探尋條件再順向推導，過程煩瑣且容易引起思維混亂。而將結(jié)果看作未知數(shù)直接順著題意推演，并抽象出數(shù)量關(guān)系，則方便得多，理解起來也更輕松。

【設計意圖】方程思想的長處在于：無論條件多么錯綜復雜，只要用一個等量關(guān)系串聯(lián)起所有的數(shù)量，那么問題就會變得無比簡單。因此無論什么問題，一旦使用方程，就可以脫離復雜的情境，只要專注于解方程，問題自然迎刃而解。在分析本題的數(shù)量關(guān)系時，當學生根據(jù)以往經(jīng)驗直接用算術(shù)法列式時，會拿不準到底是先處理“多10”還是先處理“2倍”關(guān)系。而此時如果按照題意順推，就會知道“英國軍艦數(shù)×2+10艘=美國軍艦數(shù)”或者“美國軍艦數(shù)-英國軍艦數(shù)×2=10艘”，用字母代替未知量，方程就會“浮出水面”。通過對比可以發(fā)現(xiàn)，由于有交織在一起的數(shù)量關(guān)系，用算術(shù)法需要經(jīng)歷逆向的復雜推理，而方程則無須推理。通過這樣一比較，方程的優(yōu)勢不言而喻。

三、嘗試應用，建立完整的方程思想

【教學片段3】

師（出示圖1）：老師碰到兩個棘手的問題，你能嘗試用新學的方程替老師分憂嗎？

（要求：先自選方法獨立答題，然后展示交流，最后規(guī)范方程解題的標準格式）

（1）解：設小明去年身高 x cm。

1.53 m=153 cm

x+8 =153

x+8-8=153-8

x=145

答：小明去年身高 145 cm。

（2）解：設每分鐘浪費x kg水。

半小時=30分

30x=1.8

30x÷30=1.8÷30

x=0.06

答：每分鐘浪費0.06 kg水。

【設計意圖】讓學生對方程有更加客觀理性的認識，對方程的優(yōu)勢有切身體會，同時掌握用方程解題的標準格式，并真正從心底里接納和認可方程，形成完整的方程思想。

四、課后反思

史寧中教授曾說，以往的方程教學存在的很大弊病就是南轅北轍：方程的教學本應從具體情境中抽象出方程表達式，通過解方程來間接解決實際問題，而不是先定義抽象的方程，再來賦予其實際意義。本課的教學可謂撥亂反正。

首先，植入并強化。如果僅僅把方程看作一種解題方法，它有時還真不是算術(shù)法的“對手”，因為算術(shù)法在學生頭腦中“盤踞”多年，樹大根深，學生第一時間往往會傾向于算術(shù)法。從某種程度上說，方程僅僅是一個用“=”連接的等量關(guān)系，而算術(shù)法中的“=”則可以直接導出運算結(jié)果。因此方程應用的教學重點不在解題，而在于傳遞一種思想：用含有未知數(shù)的等式將題中的等量連接起來，抽象成一個可以代表任何類似關(guān)系的方程，而解這個方程就可以解決問題。

其次，比較并內(nèi)化。方程的“解”“設”等步驟，以及運用等式性質(zhì)解方程的過程看似比算術(shù)法麻煩，令學生望而卻步，但是，方程的思維過程卻是順向的，簡單直白，不易出錯，為了這一優(yōu)勢付出點書寫上的代價是值得的。教學中設計了“美英聯(lián)合軍演”的情境，足以凸顯方程思想的優(yōu)勢。最后通過讓學生自選方法獨立完成課本“做一做”的第1、2題，檢驗學生是否真正內(nèi)化吸收了方程思想的精髓。

誠然，本課通過三個應用題來構(gòu)建方程模型，讓學生初步感知方程的優(yōu)越性，培養(yǎng)了學生的方程意識。但方程思想的建立是循序漸進的積累過程，并非一日之功，教師還應在日常教學中潛移默化地滲透。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 劉晶.厘清等量關(guān)系? 直擊方程本質(zhì)：“等式與方程”教學設計與說明[J].小學教學參考，2021（17）：68-70.

[2] 張曉玲.以等式的性質(zhì)為導航使解方程不再難[J].中小學數(shù)學（小學版），2021（3）：35-36.

[3] 王正保.“式與方程總復習”教學談[J].小學數(shù)學教育，2021（12）：56-58.

[4] 史寧中.基本概念與運算法則[M]. 北京：高等教育出版社 ， 2013.

[5] 趙曉燕.從“兩位數(shù)相乘”回到“乘法的意義”：例談小學數(shù)學起點型核心知識教學的重要性[J].江蘇教育，2022（33）：11-14.

（責編 羅 艷）