“代數(shù)式”中的典型問(wèn)題及解決思路

許紫珩

一、“日歷”問(wèn)題

例1 如圖1，用一個(gè)“T”形框在2022年11月的日歷上可以框出5個(gè)數(shù)。例如，圖中兩個(gè)“T”形框中的5個(gè)數(shù)的和分別是31和92。如果“T”形框在圖1中框出的5個(gè)數(shù)的和是91，那么這5個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是___________。

【解析】由圖1可知，“T”形框分兩種情況。設(shè)“T”形框中最小的數(shù)為x，用含x的代數(shù)式分別表示其余的數(shù)，根據(jù)圖中框出的5個(gè)數(shù)的和是91，列出方程，求解即可。

【點(diǎn)評(píng)】本題的主要思路是借助整式的加減，探究和表示實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。在整式的學(xué)習(xí)之后，同學(xué)們對(duì)整式有了基本認(rèn)識(shí)，但對(duì)于抽象字母的理解可能還停留在概念和加減運(yùn)算上。希望同學(xué)們?cè)诤罄m(xù)學(xué)習(xí)中注重加強(qiáng)理論與生活的聯(lián)系，借助“月歷求和”等情景以及學(xué)過(guò)的知識(shí)，慢慢體會(huì)從特殊到一般的探究過(guò)程。

二、“代數(shù)推理”問(wèn)題

例2 已知：[abc]是一個(gè)三位數(shù)，其中a+b+c能夠被9整除，試說(shuō)明，這個(gè)三位數(shù)能夠被9整除。

【解析】此題考查了列代數(shù)式和整式的加減。將“[abc]是一個(gè)三位數(shù)”“a+b+c被9整除”通過(guò)代數(shù)式表示出來(lái)是第一個(gè)難點(diǎn)；運(yùn)用整體思想，將代數(shù)式變形成能被9整除的形式，是本題的第二個(gè)難點(diǎn)。

解：由題可知，這個(gè)三位數(shù)可表示為100a+10b+c。

∵a、b、c的和能被9整除，

∴可設(shè)a+b+c=9k，其中k為正整數(shù)。

∴100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）

=99a+9b+9k

=9（11a+b+k）。

∵a、b、k均為正整數(shù)，

∴11a+b+k為正整數(shù)。

∴100a+10b+c能被9整除。

∴這個(gè)三位數(shù)能夠被9整除。

【點(diǎn)評(píng)】用字母a表示百位上的數(shù)字，字母b表示十位上的數(shù)字，字母c表示個(gè)位上的數(shù)字，合理運(yùn)用“用字母表示數(shù)”，式子100a+10b+c便具有三位數(shù)的一般特點(diǎn)。將多項(xiàng)式進(jìn)行某種變形，通過(guò)整體變換進(jìn)行求解是該種類(lèi)型常見(jiàn)的解題思路，即從條件出發(fā)，整體考慮，逆向思考，將待求解的式子通過(guò)法則湊成已知條件的形式，尋找已知條件和待求解式子之間的關(guān)聯(lián)，然后進(jìn)行整體變換。

三、“比大小”問(wèn)題

例3 已知a＜b，試比較a與[a+b2]的大小。

【解析】代數(shù)式的大小比較，通常可以用作差法進(jìn)行代數(shù)推理。而本題中，代數(shù)式所表示的數(shù)比較特殊，我們也可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想，將其直觀地在數(shù)軸上表示出來(lái)，即可解決問(wèn)題。

解法一：[a+b2-]a=[b-a2]。

∵a＜b，

∴b-a＞0。

∴[b-a2]＞0。

∴[a+b2]＞a。

解法二：記a、b在數(shù)軸上表示的點(diǎn)分別為A、B。

∵a＜b，

∴A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的表示如圖2所示。

設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為[a+b2]，則點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，在數(shù)軸上的表示如圖3所示。

∴點(diǎn)C在點(diǎn)A右邊，即[a+b2]＞a。

【點(diǎn)評(píng)】我們?cè)诶谩白鞑罘ā苯鉀Q這類(lèi)問(wèn)題的時(shí)候，還可以對(duì)代數(shù)式具有的幾何意義進(jìn)行一些思考。雖然我們已經(jīng)能夠初步理解符號(hào)的意義，也能對(duì)周?chē)氖挛镒龀鲆恍┹^為簡(jiǎn)單的概括，但如果我們能夠通過(guò)幾何直觀的方式，將代數(shù)式與數(shù)軸等幾何圖案進(jìn)行結(jié)合，那么我們還可以更為深刻地、直觀地理解一些代數(shù)式相關(guān)的問(wèn)題。

（作者單位：江蘇省南京市旭東中學(xué)）