聚焦數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感

熊淑君

數(shù)學(xué)為人們提供了一種認(rèn)識(shí)與探究現(xiàn)實(shí)世界的觀察方式?！坝脭?shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的重要核心素養(yǎng)目標(biāo)。義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)。然而，通過課堂觀察我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際教學(xué)對(duì)于素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成還有很長(zhǎng)一段路要走。

在人教版一上準(zhǔn)備課“比多少”的教學(xué)中，學(xué)生通過情境中每只兔子搬一塊磚，4只兔子與4塊磚，一一對(duì)應(yīng)認(rèn)識(shí)同樣多。隨后教師問：“每只兔子吃1根蘿卜，4只兔子吃4根蘿卜，夠嗎？”某學(xué)生非常肯定地說：“不夠！兔子那么大，蘿卜那么小，肯定吃不飽！”

上述現(xiàn)象的發(fā)生歸根結(jié)底是教師沒有很好地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象過程建構(gòu)數(shù)感。數(shù)感的形成與發(fā)展需要依托具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，立足數(shù)學(xué)本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的重要基礎(chǔ)。通過對(duì)上述教育現(xiàn)象的觀察與分析，引發(fā)筆者對(duì)聚焦數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的幾點(diǎn)思考。

一、于真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量

數(shù)感主要是指對(duì)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系及運(yùn)算結(jié)果的直接感悟。數(shù)感的形成是建立在學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象過程，達(dá)成對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的理解與感悟基礎(chǔ)上的。教學(xué)中教師須創(chuàng)設(shè)蘊(yùn)含豐富數(shù)學(xué)信息的真實(shí)情境，為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感提供物質(zhì)基礎(chǔ)。在引導(dǎo)學(xué)生于真實(shí)情境發(fā)現(xiàn)數(shù)量的過程中，逐步形成和發(fā)展學(xué)生數(shù)感，幫助他們積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。

如“比多少”一課，首先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)教學(xué)情境中不同物體的數(shù)量：小白兔的只數(shù)、蘿卜的根數(shù)、小熊的只數(shù)、木頭的根數(shù)等等。這個(gè)過程中，學(xué)生剝離真實(shí)物體依賴的情境，以及物體本身的顏色、大小等物理屬性，僅保留數(shù)量這一研究對(duì)象。學(xué)生一般通過點(diǎn)數(shù)的方式獲取數(shù)量信息。通過點(diǎn)數(shù)學(xué)生明白獲取數(shù)量信息就是不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出物體的總個(gè)數(shù)，總個(gè)數(shù)的多少與點(diǎn)數(shù)的順序無關(guān)。教學(xué)中常常通過問題“請(qǐng)你用數(shù)學(xué)的眼光觀察情境中各種物體的數(shù)量分別是多少”或“你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息”引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地”觀察，發(fā)現(xiàn)情境中有用的數(shù)學(xué)信息，為進(jìn)一步抽象出探究對(duì)象作準(zhǔn)備。

二、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的全過程

學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的全過程，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般歷程。數(shù)學(xué)是研究千變?nèi)f化中不變的規(guī)律，故從變與不變的視角引導(dǎo)學(xué)生由表及里、由此及彼地對(duì)現(xiàn)象或規(guī)律進(jìn)行去偽存真、去粗取精。這個(gè)認(rèn)知過程就像“剝洋蔥”，一層層剝掉數(shù)學(xué)對(duì)象的“外衣”，一步步逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

“比多少”的教學(xué)，學(xué)生先在情境中抽象出數(shù)量，而后用一一對(duì)應(yīng)的方法比較多少。教師引導(dǎo)學(xué)生比較4只兔子與4塊磚，1只兔子對(duì)應(yīng)1塊磚，沒有多余的兔子也沒有多余的磚，兩者的數(shù)量就同樣多。變換情境，將小白兔變成小灰兔或小黑兔，把磚變更大或者更小，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)其中的變與不變，抓住不變的數(shù)量關(guān)系，認(rèn)識(shí)一一對(duì)應(yīng)與同樣多，建立起4只與4塊同樣多的數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上用一一對(duì)應(yīng)的方法比較5支鉛筆與5個(gè)文具盒、3個(gè)小朋友和3個(gè)書包等同樣多的情況。啟發(fā)學(xué)生思考：這些物體不同、物體的個(gè)數(shù)也不同，為什么都是同樣多呢？引導(dǎo)學(xué)生觀察幾組同樣多的共性，從而明白只要兩種物體一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)沒有剩余，它們的數(shù)量就同樣多，跟物體是什么、有多少?zèng)]有關(guān)系。學(xué)生厘清了比較數(shù)量多少的本質(zhì)是個(gè)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，就不會(huì)出現(xiàn)“4只兔子吃4根蘿卜吃不飽”的現(xiàn)象。如此，初步建立起兩個(gè)數(shù)量之間的一一對(duì)應(yīng)和同樣多的關(guān)系，為以后建立加法模型和乘法模型，學(xué)習(xí)“總量=分量+分量”等數(shù)量關(guān)系埋下伏筆。

在感受數(shù)量之間一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，用類似的學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生理解與感悟數(shù)量之間的多少關(guān)系。借助小熊搬木頭的情境，比較3只小熊與4根木頭的多少。引導(dǎo)學(xué)生觀察1只小熊對(duì)應(yīng)1根木頭，小熊沒有多余而有多余的木頭，木頭的根數(shù)就比小熊的只數(shù)多，小熊的只數(shù)比木頭的根數(shù)少。初步建立起3只與4根之間的多少關(guān)系。接著讓學(xué)生選擇圖中物體數(shù)量用一一對(duì)應(yīng)的方法進(jìn)行比較。如比較小熊的只數(shù)（3只）與凳子的個(gè)數(shù)（4個(gè)），小熊的只數(shù)（3只）與花的朵數(shù)（5朵）等。引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，幾次比較多少的相同點(diǎn)，以及比較中確定兩個(gè)物體的數(shù)量誰多誰少的方法。通過找相同的思維活動(dòng)學(xué)生明白，比較數(shù)量的多少都用一一對(duì)應(yīng)的方法，一一對(duì)應(yīng)之后有剩余的數(shù)量比較多，沒有剩余的數(shù)量比較少。從而建立起數(shù)量之間的大小關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)量之間的不等關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

“比多少”一課揭示了小學(xué)階段三種主要數(shù)量關(guān)系：數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、數(shù)量之間的相等關(guān)系和數(shù)量之間的大小關(guān)系。數(shù)感的核心成分是對(duì)數(shù)量關(guān)系的感悟與理解，故本課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的啟蒙課。從上面的教學(xué)可以看出，認(rèn)識(shí)數(shù)量關(guān)系的過程是一個(gè)從特殊到一般的、環(huán)環(huán)相扣、層層遞進(jìn)的抽象過程?；跀?shù)學(xué)對(duì)象，先從一組學(xué)習(xí)材料著手，摒棄其非本質(zhì)屬性，得到具體的數(shù)量關(guān)系，實(shí)現(xiàn)第一次抽象。接著選擇多組類似學(xué)習(xí)材料，比較辨析它們的共性，抽象概括出一般性、普適性的數(shù)量關(guān)系，揭示數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的同時(shí)幫助學(xué)生形成初步的數(shù)感。

三、實(shí)踐運(yùn)用中升華數(shù)感

數(shù)感的形成與發(fā)展是一個(gè)持續(xù)的、循序漸進(jìn)的過程?！氨榷嗌佟币徽n中學(xué)生習(xí)得的三種數(shù)量關(guān)系也需要在解決問題的應(yīng)用中鞏固和內(nèi)化。如解決教材第8頁第4題，比較黃珠子和紅珠子誰的數(shù)量較多。學(xué)生通過黃珠子與紅珠子一一對(duì)應(yīng)的不同表征：圈一圈、連一連、畫一畫、數(shù)一數(shù)等，深刻領(lǐng)會(huì)一一對(duì)應(yīng)的本質(zhì)是數(shù)量上的一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)。在此基礎(chǔ)上教師追問：怎樣把黃珠子與紅珠子的顆數(shù)變得同樣多？怎樣把紅珠子的顆數(shù)變得比黃珠子多？使黃珠子與紅珠子變得同樣多有增加紅珠子或者減少黃珠子兩條路徑，每條路徑的方案都是豐富多樣的——可以增加1顆紅珠子，增加2顆紅珠子和1顆黃珠子；減少1顆黃珠子，減少2顆黃珠子和1顆紅珠子……引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，發(fā)現(xiàn)其中增減變化的規(guī)律：只要紅珠子比黃珠子多增加1顆或者黃珠子比紅珠子多減少1顆，它們就始終保持同樣多的關(guān)系。同理，可以找到把紅珠子顆數(shù)變得比黃珠子多的多樣化策略，只是這個(gè)策略更為開放，因?yàn)榧t珠子顆數(shù)可以比黃珠子多1顆，也可以多2顆、3顆……這樣開放性地解決問題，通過數(shù)量動(dòng)態(tài)變化引起數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)換，學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)量對(duì)于數(shù)量關(guān)系的重要性，厘清了數(shù)量之間對(duì)應(yīng)、相等及多少的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。升華了學(xué)生對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的理解與感悟，數(shù)感也在這個(gè)過程中自然生長(zhǎng)、拔節(jié)。學(xué)生在問題解決過程中，積累了豐富的觀察、比較、分析、歸納、概括等思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成了初步的抽象意識(shí)，為抽象能力的形成奠定了基礎(chǔ)。

（作者單位：重慶市長(zhǎng)壽區(qū)教師發(fā)展中心 本專輯責(zé)任編輯：王彬）