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    以“問”驅(qū)研,拓展思維空間

    2022-05-30 13:03:00洪靜
    初中生世界·初中教學研究 2022年11期
    關鍵詞:外角平分線度數(shù)

    洪靜

    數(shù)學課堂以“問題鏈”的形式教學,簡單地說,就是實施“一題多變、一題多解、多題一解”的教學模式,把固化的問題多點化、靈活化,正向思維變?yōu)槟嫦蛩季S等。本文以蘇科版數(shù)學七(下)“證明”習題課為例,談一談題目變式對培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的作用。

    一、 播下思維的“種”——模型呈現(xiàn)

    思維的“種子”是指數(shù)學中的基礎知識點、基本思想方法與基本技能。教師用思維的“種子”解決數(shù)學學習中的基本問題,為培養(yǎng)學生發(fā)散性思維打下堅實的基礎,在數(shù)學基本模型、基本數(shù)學方法上實行分類思想,進行方法教學、模型教學。比如,江蘇省徐州市銅山區(qū)2019年七(下)數(shù)學期末試題第26題(如例題)就很好地詮釋了這一點。

    例 如圖1,在△ABC中,BE、CD分別為∠ABC、∠ACB的角平分線,交點為O。(1)若∠ABC=70°,∠ACB=50°,求∠BOC的度數(shù);(2)若∠A =40°,求∠BOC的度數(shù);(3)若∠BOC=110°,求∠A的度數(shù);(4)若∠A =n°,求∠BOC的度數(shù)。

    本題屬于問題遞進式題目,每一問都層層深入。第(1)問可利用角平分線定義及三角形內(nèi)角和定理解決;第(2)問在第(1)問的基礎上進行了變式,利用三角形內(nèi)角和過渡,進而解決該問題;第(3)問是第(2)問的逆向思考,條件結論互換位置,步驟相反,培養(yǎng)學生逆向思維能力;第(4)問在第(2)問的基礎上,由特殊到一般,只需用n°替代40°就能順利解決。例題通過這樣的設置幫助學生回顧基礎知識點,找到思維的“種子”,為后面問題變換的探索做好鋪墊,從而更好地實現(xiàn)∠A與∠BOC之間關系的探索。

    設計意圖:例題中的“問題串”將各個知識點進行有機融合,幫助學生理解抽象的知識點,并能引導學生從多個角度去解決問題。在此過程中,學生能夠?qū)W會思考、分析,并有意識地發(fā)展自己的發(fā)散思維能力,遵循“逐步推進、螺旋上升、不斷深化”的認識規(guī)律,使探究更具有操作性,能站在更高層次重新領悟所學知識,讓學習變得更加主動、有效和持久。

    二、發(fā)出思維的“芽”——條件改變

    思維的“芽”是指在數(shù)學基本題型已經(jīng)解決的基礎上進行轉化拓展,通過變換題目條件或結論,提出有梯度的問題,但梯度不大,讓學生能運用原題型的思想方法,進行簡單的轉化,充分發(fā)揮學生的自主探究能力,激發(fā)學生解決此類數(shù)學題型的欲望,培養(yǎng)發(fā)散性思維能力。

    變式1 如圖2,在△ABC中,(1)若∠ACB=70°,∠ACD=∠EBC,求∠BOC的度數(shù);(2)若∠A=40°,∠ABC=∠ACB,∠ACD=∠EBC,求∠BOC的度數(shù)。

    變式1中的問題(1)是在例題的第(1)(2)兩問的基礎上進行了主干條件的變化,在思維“種子”的啟發(fā)下,利用轉化與整體的思想方法催生思維的“芽”,促進問題解決;而問題(2)是在問題(1)基礎上逆向轉化成問題(1)的條件,再用整體思想去解決。本題通過變換題目的條件,由局部走向整體,將知識形成系統(tǒng),提升學生思維的靈活性。

    設計意圖:數(shù)學學習是以思維活動為核心的學習。教師的“教”應建立在促進學生深度學習的基礎上,讓學生能夠運用基本知識、基本技能解決數(shù)學問題。恰當?shù)淖兪接柧毑粌H能幫助學生鞏固基礎知識,及時反饋教學信息,還能激勵學生積極參與,激發(fā)學生深入思考,使之創(chuàng)造力發(fā)揮出來,啟迪學生智慧。

    三、抽出思維的“枝”——圖形變換

    思維的“枝”是指枝干問題與主干問題相連,是從主干問題向外延伸的重要途徑。主干與枝干相互聯(lián)系、相互依托,形成一種內(nèi)在思維的脈絡,在圖形變換中,可使學生思維向不同方向延伸、拓展。

    變式2 如圖3,∠A=70°,BO、CO分別是△ABC外角∠CBD、∠BCE的角平分線,它們交于點O,求∠BOC的度數(shù)。

    變式2在例題和變式1的基礎上改變了圖的形狀,將已知條件中兩個內(nèi)角的角平分線轉換為兩個外角的角平分線,培養(yǎng)學生的識圖能力,需要學生用轉化的思想改變思考方式,橫向提高學生發(fā)散思維能力。變式2沿用了探索最基礎的知識和方法——用思維的“芽”來解決,從內(nèi)角問題轉化成外角問題,把主干問題向外延伸,抽出思維的“枝”,從而形成一種內(nèi)在的思維脈絡,最終實現(xiàn)∠A與∠BOC之間關系的探索,建立“兩線兩夾角”模型。

    設計意圖:變式2通過變圖訓練,設計一定“坡度”,提升學生發(fā)散性思維,幫助學生將解題視角由整體走向局部。這種從橫向角度提出問題的方法,不僅對學生的解題能力有幫助,而且有利于培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性。

    四、長出思維的“樹” ——探究發(fā)散

    思維的“樹”是整個枝干由內(nèi)向外展開,深層次地引發(fā)學生思考與探究。學生思考的最大障礙是復雜問題,而思維的“樹”則能把復雜問題簡單化,通過分解與轉化,改變研究方法,快速找出問題的關鍵,提高思維的發(fā)散性與歸納性,從而輕松地解決問題,呈現(xiàn)出完整的思維結構。

    變式3 如圖4,∠A=80°,BO、CO分別是△ABC

    內(nèi)角∠ABC及外角∠ACD的角平分線,它們交于點O。求∠BOC的度數(shù)。

    變式3與前幾題提出的問題探索、求解的方法有所不同,不再求∠OBC與∠OCB度數(shù)的和,而是用到前幾題探討出的結論,啟發(fā)學生思考。此題利用三角形外角的性質(zhì)及等式的性質(zhì)進行變形,從而探索出∠OBC和∠OCB之間的關系,進而求出∠BOC的度數(shù),推進∠A與∠BOC之間關系的探索,把“兩線兩夾角”模型進行了變形。

    設計意圖:本題通過對“兩線兩夾角”模型進行變形,改變了學生在解題時依葫蘆畫瓢的模式,幫助他們克服靜止看問題的習慣,激發(fā)學生探究熱情,改善了學生的思維方式,有利于提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和能力,培養(yǎng)學生思維的敏捷性和批判性。這種承上啟下、由淺入深、由易到難、循序漸進的設計,恰到好處地調(diào)動了學生數(shù)學發(fā)散性思維的探究能力,讓不同水平的學生都能得到一定發(fā)展,體會解題的樂趣。

    五、開出思維的“花”——類比提升

    類比思想是數(shù)學重要的解題思想,通過對題目反復錘煉、變式拓展、類比提升、精心整合,把創(chuàng)造性發(fā)散思維模式向?qū)W生最近發(fā)展區(qū)無限散發(fā),思維的“花”定將綻放。

    變式4 如圖5,∠MON=90°,點A、B分別在OM、ON上運動(不與點O重合),BC是∠ABN的角平分線,BC的反向延長線交∠OAB的角平分線于點D。試問:隨著點A、B的運動,∠D的大小會變嗎?如果不會,求∠D的度數(shù);如果會,請說明理由。

    變式4從圖的形狀上看與變式3有所不同,甚至感覺沒聯(lián)系。但如果把圖5順時針轉動到圖6這個位置,并且延長線段AB,便會發(fā)現(xiàn),此題其實就是變式3的演變。此題通過引導學生運用已有的知識經(jīng)驗,將復雜圖形轉化為簡單的基本圖形,體現(xiàn)基本圖形在解決問題中的作用,鞏固思維成果。

    設計意圖:變式4較變式3難度有所增加,將“兩線兩夾角”模型和旋轉結合起來,再一次升華了“兩線兩夾角”模型,讓學生明白此模型應用的廣泛性,理清題目核心條件之間的聯(lián)系,從而將整體性的結構圖形投射到自己的認知中,在延伸中發(fā)現(xiàn)基本圖形,提升自己的思維品質(zhì)。這不僅體現(xiàn)在題目本身的開放性上,也體現(xiàn)了選題的指向性,提高學生學習能力。

    (作者單位:江蘇省徐州淮海國際港務區(qū)柳新鎮(zhèn)中心中學)

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