聚焦學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解

錢志新

摘要：數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識理解的過程。如何讓學(xué)生通過對知識的解釋、闡明、應(yīng)用，乃至對知識的洞察、神入與自知實現(xiàn)對知識的理解，是教師教學(xué)的出發(fā)點和目標(biāo)所在。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊《認(rèn)識11～20各數(shù)》一課教學(xué)，以設(shè)計“兩問”掌握學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識理解，以設(shè)計“四標(biāo)”定位學(xué)生要達(dá)到的數(shù)學(xué)知識理解，以設(shè)計“六環(huán)”導(dǎo)航學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解歷程。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);知識理解；再創(chuàng)造；《認(rèn)識11～20各數(shù)》

數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程本質(zhì)上是數(shù)學(xué)知識理解的過程。如何讓學(xué)生通過對知識的解釋、闡明、應(yīng)用，乃至對知識的洞察、神入與自知，實現(xiàn)對知識的理解，是教師教學(xué)的出發(fā)點和目標(biāo)所在。低年級學(xué)生數(shù)學(xué)知識、學(xué)習(xí)經(jīng)驗積累少，數(shù)學(xué)思想方法體悟不深，基于這樣的現(xiàn)實基礎(chǔ)，如何教學(xué)才能更好地促進(jìn)他們理解數(shù)學(xué)知識？蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級上冊《認(rèn)識11～20各數(shù)》一課，筆者做了積極的嘗試。

一、設(shè)計“兩問”，掌握學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識理解

教學(xué)前，教師要掌握學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識理解，應(yīng)做到“兩問”：一問“這節(jié)課的學(xué)習(xí)可以為學(xué)生帶來些什么”，即教材分析；二問“學(xué)生能夠怎樣學(xué)習(xí)這節(jié)課”，即學(xué)情分析。

《認(rèn)識11～20各數(shù)》是小學(xué)生認(rèn)數(shù)學(xué)習(xí)中一節(jié)重要的“種子課”，教學(xué)意義重大。這節(jié)課開啟了十進(jìn)制計數(shù)法的學(xué)習(xí)，對于學(xué)生整個認(rèn)數(shù)體系的建構(gòu)有著極為重要的奠基作用。教師在明確“兩問”時，可從以下幾個方面展開思考：認(rèn)識11到20各數(shù)的核心概念是什么？學(xué)生已有的認(rèn)數(shù)經(jīng)驗有什么？學(xué)生認(rèn)數(shù)的方式應(yīng)該是怎樣的？學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識的過程中可以獲得哪些可遷移的能力？要回答這幾個問題，可以去了解人類創(chuàng)造數(shù)、逐步形成現(xiàn)在的計數(shù)方法的過程。

通過查閱相關(guān)資料，我們梳理概括出這樣一些認(rèn)識：古人在狩獵等勞作活動中產(chǎn)生計數(shù)的需求，最初他們用結(jié)繩、刻痕、擺石子等方式，一一對應(yīng)來記錄獵物的數(shù)量；隨著數(shù)量的增加，一一對應(yīng)的計數(shù)方式顯得比較麻煩，古人逐漸創(chuàng)造出了按群計數(shù)的方法，也就產(chǎn)生了不同的計數(shù)單位；在用結(jié)繩、刻痕等方式計數(shù)的過程中，古人發(fā)明了各種計數(shù)的符號，包括現(xiàn)在廣泛使用的阿拉伯?dāng)?shù)字——阿拉伯?dāng)?shù)字用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值。

可見，人類經(jīng)歷了漫長的時間，從具體的現(xiàn)象中產(chǎn)生了量的感知，從量的表達(dá)中抽象出了數(shù)，創(chuàng)造出了計數(shù)的方法。人類創(chuàng)造計數(shù)方法的歷史中蘊含著認(rèn)數(shù)的幾個重要思想方法：數(shù)是量的抽象表達(dá)；數(shù)通過后繼加1獲得；滿十進(jìn)一是十進(jìn)制計數(shù)法的基本原則；位值概念和位值制。

學(xué)生認(rèn)數(shù)的認(rèn)知方式與發(fā)展過程與人類創(chuàng)造數(shù)、創(chuàng)造計數(shù)方法的過程非常相似。學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中積累了10以內(nèi)各數(shù)的認(rèn)識經(jīng)驗，感知了數(shù)字的符號意義和數(shù)量意義，初步建立了10以內(nèi)各數(shù)與相應(yīng)量的一一對應(yīng)關(guān)系。同時，他們在生活中也積累了較為豐富的比10更多的量的感知經(jīng)驗，有了用更大的數(shù)表達(dá)量的學(xué)習(xí)需求。

基于上述分析，這節(jié)課可以讓學(xué)生經(jīng)歷從量到數(shù)抽象表達(dá)的過程，通過數(shù)的“再創(chuàng)造”認(rèn)識11到20各數(shù)，激活思維，深度理解知識，建構(gòu)認(rèn)數(shù)體系。這同時也可以幫助學(xué)生感知數(shù)學(xué)文化，體會古人智慧，享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

二、設(shè)計“四標(biāo)”，定位學(xué)生要達(dá)到的數(shù)學(xué)知識理解

目標(biāo)是教學(xué)設(shè)計的核心。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”的“三會”目標(biāo)。宏觀的核心素養(yǎng)需要經(jīng)歷層層分解，轉(zhuǎn)化為學(xué)段、年級、單元、課時目標(biāo)，轉(zhuǎn)化為可落地實施、可對照檢測的表現(xiàn)性行為標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)習(xí)效果標(biāo)準(zhǔn)。

依據(jù)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)指向，聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)知識理解，本課目標(biāo)設(shè)定為：

1.通過數(shù)小棒、捆小棒、散開小棒等活動，認(rèn)識計數(shù)單位“一”和“十”，理解“10個一是1個十”“2個十是20”，體會十進(jìn)制計數(shù)法。

2.通過后繼加1的活動認(rèn)識11～20各數(shù)，知道11～20各數(shù)的大小、順序，初步感知11～20各數(shù)的組成，能正確認(rèn)、讀11～20各數(shù)，體會十進(jìn)制計數(shù)法。

3.經(jīng)歷估數(shù)、數(shù)數(shù)和用數(shù)描述簡單生活現(xiàn)象的過程，體會數(shù)在日常生活中的廣泛應(yīng)用，培養(yǎng)初步的估計意識、應(yīng)用意識，發(fā)展數(shù)感。

4.在認(rèn)數(shù)過程中獲得成功的體驗，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感。

目標(biāo)1指向本課知識理解“解釋與闡明”的層次。學(xué)生應(yīng)當(dāng)把對“一”和“十”的認(rèn)識從量、符號認(rèn)知的層級再上升一個抽象層級，直觀體會到它們作為“計數(shù)單位”的意義。實現(xiàn)這樣的直觀體會，學(xué)生需要借助數(shù)數(shù)活動，借助“1捆”的直觀表象，體會其“散開”與“捆起來”狀態(tài)分別代表“10個一”和“1個十”這兩種不同的“計數(shù)單位”意義。在此基礎(chǔ)上，遷移逐一數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，體驗“十個十個地數(shù)，2個十是20”，開啟十進(jìn)制的感知之門。

目標(biāo)2指向本課知識理解“解釋、闡明與應(yīng)用”的層次。通過擺小棒數(shù)數(shù)的活動，激活學(xué)生的動作思維，在應(yīng)用中進(jìn)一步理解“一”和“十”這兩個計數(shù)單位，感知其組合成數(shù)的特征，理解“1個十和幾個一組成十幾的數(shù)”，借由數(shù)與量的重合體驗，感知數(shù)所含計數(shù)單位的多少與數(shù)大小之間的關(guān)系。

目標(biāo)3指向本課知識理解“洞察、神入與自知”的層次。學(xué)生經(jīng)歷用數(shù)描述簡單生活現(xiàn)象、估數(shù)等豐富的活動，實現(xiàn)知識的融會貫通和深度理解。

目標(biāo)4指向?qū)W習(xí)過程中的興趣、習(xí)慣等品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生良好的情感、態(tài)度和正確的價值觀。

三、設(shè)計“六環(huán)”，導(dǎo)航學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解

無論是教學(xué)設(shè)計發(fā)展演變的進(jìn)程需要，還是學(xué)生數(shù)學(xué)知識理解的現(xiàn)實需要，都呼喚教學(xué)從“教師教的思維”轉(zhuǎn)向“學(xué)生學(xué)的思維”，教師在“學(xué)習(xí)設(shè)計”的前提下展開教學(xué)設(shè)計。

圍繞教學(xué)目標(biāo)，本課設(shè)計了如下六個環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一：故事中感知計數(shù)需要

教師根據(jù)搜集的計數(shù)發(fā)展史資料，組合成適合學(xué)生閱讀的視頻材料，具體內(nèi)容如下：

【故事場景1】遠(yuǎn)古人打獵。旁白：遠(yuǎn)古時代的人類，為了維持生活，每天會外出狩獵和采集果實，他們有時滿載而歸，有時一無所獲。

【故事場景2】遠(yuǎn)古人滿載而歸。遠(yuǎn)古人：今天我抓到了獵物！

【故事場景3】遠(yuǎn)古人空手而歸。遠(yuǎn)古人：今天沒有抓到獵物！

【故事場景4】遠(yuǎn)古人計數(shù)。旁白：生活中這種數(shù)與量上的變化，使遠(yuǎn)古人逐漸產(chǎn)生了數(shù)的意識。后來，他們用小石子檢查放牧回來的羊的只數(shù)，用結(jié)繩的方法統(tǒng)計獵物的個數(shù)，用在木頭上刻道的方法記錄捕魚的數(shù)量。

【故事場景5】早上，遠(yuǎn)古人外出放羊，每放出一只羊，就放進(jìn)一顆石子一一對應(yīng)計數(shù)。遠(yuǎn)古人：我要出去放羊了。

【故事場景6】傍晚，遠(yuǎn)古人放羊回家，每回圈一只羊，就拿起一顆石子一一對應(yīng)計數(shù)。遠(yuǎn)古人：我的羊都回來了！

以動態(tài)視頻加旁白說明的方式，呈現(xiàn)遠(yuǎn)古人狩獵中的計數(shù)故事，學(xué)生不僅可以知道計數(shù)是為滿足人類生產(chǎn)生活的需要而產(chǎn)生的，還可以初步體會一些計數(shù)的基本原理，激發(fā)學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)的主動意愿。

環(huán)節(jié)二：模仿中體會“一一對應(yīng)”

教師首先讓學(xué)生結(jié)合故事情境思考：“遠(yuǎn)古人用小石子表示羊的數(shù)量，你會用小棒模仿古人的方法表示羊的數(shù)量嗎？”這是引導(dǎo)學(xué)生模仿遠(yuǎn)古人表示羊的數(shù)量的方法，經(jīng)歷用小棒和羊一一對應(yīng)的“再創(chuàng)造”過程，體會計數(shù)的基本思想方法。接著追問：“為什么擺9根，你的1根小棒表示幾？”通過對話，學(xué)生體會到1根小棒表示“一”， 1個“一”，2個“一”，3個“一”……像這樣往下數(shù)，9個“一”就是大家原來已經(jīng)認(rèn)識的9，體會數(shù)是后繼加1數(shù)出來的結(jié)果，初步感知計數(shù)單位“一”。

數(shù)是人類創(chuàng)造的用來表示量的文字符號，是抽象的產(chǎn)物，幫助學(xué)生實現(xiàn)從量到數(shù)的抽象正是小學(xué)低年級認(rèn)數(shù)教學(xué)的首要任務(wù)。學(xué)生模仿著擺小棒表示羊的數(shù)量，既經(jīng)歷了從量到數(shù)的抽象過程，同時也抽象出了計數(shù)單位“一”，為后續(xù)進(jìn)一步獲得新的計數(shù)單位“十”，并溝通計數(shù)單位“一”和“十”之間的聯(lián)系做好了準(zhǔn)備。

環(huán)節(jié)三：探究中理解“滿十進(jìn)一”

“滿十進(jìn)一”是本課的核心概念，建立“10個一是1個十”的認(rèn)識是本課非常重要的一個環(huán)節(jié)，需要學(xué)生經(jīng)歷充分、深入的探究理解過程。

第一步，教師以“遠(yuǎn)古人又養(yǎng)了一只羊，所以又要放進(jìn)一顆小石子來計數(shù)”的情境，激發(fā)學(xué)生“也要再擺一根小棒”的“再創(chuàng)造”，同時讓學(xué)生體會到：從幾個“一”的角度看， 9個“一”再添1個“一”是10個“一”。

第二步，激活學(xué)生已有“數(shù)滿10根小棒可以捆成1捆” 的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。教師介紹10根小棒捆成1捆，數(shù)學(xué)上就表示1個“十”，并讓學(xué)生經(jīng)歷把10根小棒捆起來變成1個“十”的系列動作思維過程——捆出1個“十”，舉高1個“十”，放下1個“十”，充分感知1個“十”。

第三步，讓學(xué)生觀察不同狀態(tài)下的10根小棒——捆起來的10根、散著的10根，體會從量的角度看都是10根小棒，而從計數(shù)單位的角度看，展開來表示10個“一”，捆起來表示1個“十”。這里，用量溝通這兩個計數(shù)單位之間的聯(lián)系——10個一是1個十，并告訴學(xué)生：“一”和“十”在數(shù)學(xué)上叫計數(shù)單位，計數(shù)單位是人類經(jīng)歷了漫長的過程才發(fā)明的。

第四步，視頻呈現(xiàn)遠(yuǎn)古人用1顆大石子代替10顆小石子的過程，古今溝通，讓學(xué)生體會他們自己創(chuàng)造“10個一是1個十”的過程和古人其實是一樣的。

第五步，讓學(xué)生繼續(xù)“做數(shù)學(xué)”，把剛才捆小棒的橡皮筋取下，1個“十”就變回了10個“一”，反向體會1個“十”也就是10個“一”。

五個步驟的探究環(huán)環(huán)相扣，從古到今、從今到古，不斷打通古今聯(lián)系，構(gòu)成了從量到數(shù)到計數(shù)單位的“再創(chuàng)造”過程。學(xué)生對“十”的認(rèn)識，實現(xiàn)了思維的進(jìn)階和理解的深化。

環(huán)節(jié)四：擺數(shù)中體驗計數(shù)原理

數(shù)是數(shù)出來的，多數(shù)一年級學(xué)生早在幼兒園的時候就會數(shù)11到20各數(shù)了，但如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)中數(shù)數(shù)與生活中“唱數(shù)”的不同，如何讓學(xué)生在數(shù)數(shù)中體會11到20各數(shù)中蘊含的計數(shù)原理，還需要讓學(xué)生“再創(chuàng)造”遠(yuǎn)古人“擺數(shù)”的過程。具體教學(xué)過程如下：

1.操作對比認(rèn)識11

教師首先讓學(xué)生邊操作邊思考“10根添1根是幾根”，然后觀察不同的擺法，發(fā)現(xiàn)無論是1根1根依次擺，或者是10根和1根稍微分開一點擺，還是擺1捆和1根，10根小棒添1根都是11根，體會10后繼加1可以得到11這個數(shù)。接著讓學(xué)生比較幾種不同的擺法中哪一種看起來更清楚，直觀感受擺1捆和1根的方法既方便擺又方便看。在這一基礎(chǔ)上，介紹“1捆表示1個十，1根表示1個一，1個十和1個一合起來就能得到11”，自然而然地幫助學(xué)生從計數(shù)單位的角度認(rèn)識11的組成。然后請學(xué)生介紹11怎么寫，圍繞“兩個‘1的意思一樣嗎”展開討論，幫助學(xué)生再次體會“11”左邊的“1”表示1個十，右邊的“1”表示1個一，1個十和1個一合起來就是11，使學(xué)生對位值制的理解開始萌芽。

2.類推遷移認(rèn)識十幾和20

教師首先請學(xué)生思考“11繼續(xù)依次添1還能得到哪些數(shù)”，讓學(xué)生擺一擺，說一說。通過不同的形式展開交流，如“11根添1根為什么是12根”“17根是怎么擺的？比17根少1根是幾根，多1根是幾根”等，讓學(xué)生結(jié)合擺的過程表達(dá)自己對十幾的數(shù)的理解和認(rèn)識。然后引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)觀察梳理所有十幾的數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們的共同點——1個十和幾個一合起來就是十幾，完善對十幾的數(shù)的認(rèn)識。最后讓學(xué)生自主遷移“滿十進(jìn)一”原理，認(rèn)識“19添1是20，20是2個十”。

在人類計數(shù)的過程中，計數(shù)單位“十”的發(fā)明是一個創(chuàng)舉。有了它，表達(dá)十幾和幾十的數(shù)就是水到渠成的事情。學(xué)生學(xué)習(xí)也是如此。把認(rèn)識十幾和20的學(xué)習(xí)過程設(shè)計成知識的組合運用與類推遷移，再現(xiàn)人類創(chuàng)造計數(shù)方法的過程，學(xué)生不僅理解得清晰透徹，學(xué)習(xí)的過程還始終興趣盎然，同時思維也得到了較好的發(fā)展。

環(huán)節(jié)五：思辨中感悟位值原理

無論是用大小不同的石子，還是用1捆和1根小棒來表示不同的計數(shù)單位，對古人和低年級學(xué)生而言，都已經(jīng)是偉大的創(chuàng)造了。更偉大的是“位值制”的發(fā)明，把相同的符號擺在不同的位置去表達(dá)不同的值。讓學(xué)生經(jīng)歷位值原理的“再創(chuàng)造”過程也很有挑戰(zhàn)性。

教師創(chuàng)設(shè)問題情境：“我們認(rèn)識了很多表示數(shù)的方法，比如11，可以用一大一小兩顆石子來表示，也可以用1捆和1根小棒來表示。如果給你兩個一樣大小的珠子，能不能表示11呢？ ”在學(xué)生欲說還休、遲疑不定間，教師給學(xué)生提供一個可以串珠子的架子（計數(shù)器原型），讓學(xué)生在嘗試擺放珠子的過程中領(lǐng)悟：同樣的珠子放在不同的位置就可以表示不同的意思，讓其中一顆珠子表示1個十，一顆珠子表示1個一，兩顆珠子就可以表示11了。由此，學(xué)生對位值制的理解從淺層感知性理解走向深度神入性理解。

環(huán)節(jié)六：游戲中洞察知識本質(zhì)

課的最后，教師設(shè)計了系列游戲和實踐活動：通過和“數(shù)寶寶”捉迷藏的游戲，讓學(xué)生說出和12相鄰的數(shù)，找到數(shù)軸上15的位置，比較16和18哪個更接近20，估計蘑菇和花傘的數(shù)量；通過沉浸式場景體驗活動，讓學(xué)生用自己的方法一個一個、兩個兩個、五個五個地數(shù)人數(shù)。由此，學(xué)生在豐富的活動中綜合運用知識，達(dá)成對知識的深刻洞察和自知。