學(xué)生量感不足的表現(xiàn)分析及提升策略

高博豪 吳立寶 郭衎

【摘 要】量感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，分布在各個年級教材內(nèi)容中，整體來看呈現(xiàn)以量感內(nèi)容為明線，以數(shù)學(xué)思維為暗線的安排方式。基于學(xué)生量感不足的表現(xiàn)，教師應(yīng)把握量感的內(nèi)涵與特征，積極采取借用直觀、巧用經(jīng)驗(yàn)、精用對照、活用轉(zhuǎn)換與妙用近似的方式促進(jìn)學(xué)生量感的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】量感;直觀;活動經(jīng)驗(yàn)

【作者簡介】高博豪，天津師范大學(xué)教育學(xué)部在讀碩士研究生;吳立寶（通訊作者），天津師范大學(xué)教育學(xué)部教授，博士生導(dǎo)師;郭衎，北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，博士生導(dǎo)師。

【基金項(xiàng)目】天津市教育科學(xué)規(guī)劃重點(diǎn)課題“中小學(xué)生綜合素質(zhì)評價研究”（BHE210014）

一、引言

量感是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生選用工具進(jìn)行合理測量，估測目標(biāo)物理量，理解統(tǒng)一度量單位，以及合理表達(dá)與應(yīng)用量感的能力。數(shù)學(xué)教材具有可教性與易學(xué)性[1]，就量感內(nèi)容而言是以量感知識為明線，以數(shù)學(xué)思維為暗線。以量感知識為明線主要體現(xiàn)在兩個方面。從橫向來看，量感的內(nèi)容在現(xiàn)行人教版小學(xué)1～6年級的12本數(shù)學(xué)教材中均有體現(xiàn);從縱向來看，量感內(nèi)容的安排呈現(xiàn)出由淺入深，由簡到繁，由實(shí)物到模型的模式。以數(shù)學(xué)思維為暗線有兩個表現(xiàn)：其一，小學(xué)一年級的數(shù)學(xué)知識以數(shù)量感為主，在學(xué)生對數(shù)量的本能認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行理性滲透，并采用類比轉(zhuǎn)換思想將教材中量感遷移至其他物理維度;其二，各維度量感內(nèi)容的安排均從學(xué)生的感性體驗(yàn)入手，逐步發(fā)展學(xué)生理性以及辨析的量感。在培養(yǎng)量感時，有的教師忽視了量感的整體性，將不同維度的量感割裂開來，不利于學(xué)生形成系統(tǒng)、理性、辨析的量感。梁培斌認(rèn)為量感的培養(yǎng)迫切需要從教材的視角進(jìn)行打量、優(yōu)化、挖掘、擴(kuò)展[2]43-45。因此，教師應(yīng)緊貼教材，根據(jù)不同維度量感的共性與特性，結(jié)合學(xué)生量感的表現(xiàn)，合理制訂量感培養(yǎng)策略，促進(jìn)學(xué)生量感由感性到理性再到辨析的整體發(fā)展。

二、學(xué)生量感不足的表現(xiàn)

史寧中認(rèn)為，學(xué)生量感最初的來源是對數(shù)量以及長度的本能認(rèn)知[3]。學(xué)生在學(xué)齡前已經(jīng)具備對客觀世界的認(rèn)知能力，并借助于自身語言系統(tǒng)進(jìn)行表達(dá)[4]，表現(xiàn)為學(xué)生能用籠統(tǒng)的量感語言表達(dá)客觀世界。因此，學(xué)生并非沒有量感意識，而是缺乏科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧扛兴季S與表達(dá)能力。在教學(xué)實(shí)踐中常表現(xiàn)為量感側(cè)重失衡、篇幅失衡、生活失衡，即過度關(guān)注計(jì)算、測量而忽視估測、過程的理解以及現(xiàn)實(shí)應(yīng)用[2]43-45。綜上所述，學(xué)生量感不足的表現(xiàn)體現(xiàn)為以下四個方面。

（一）缺乏理性的量感認(rèn)知能力

學(xué)生早期對事物的認(rèn)知基于純粹的感性經(jīng)驗(yàn)，因此，學(xué)生并非沒有量感，而是缺乏科學(xué)、標(biāo)準(zhǔn)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ㄋ伎剂扛袉栴}以及表征量感結(jié)果。例如學(xué)生可以用很快、很大、很重等籠統(tǒng)的感性語言描述速度、體積、重量等物理量，但無法科學(xué)表達(dá)有多快？有多大？有多重？這種感性認(rèn)識具有個體差異性與非標(biāo)準(zhǔn)性，難以與他人共享并達(dá)成共識，進(jìn)而解決具體問題。再者，學(xué)生缺乏測量意識、方法，例如難以選擇合理的測量工具，對測量結(jié)果的認(rèn)知不清晰等。就估測而言，學(xué)生難以量化估測結(jié)果。測量是學(xué)生產(chǎn)生理性量感的必要步驟，測量能力的缺陷將造成學(xué)生理性量感的缺失。

（二）缺乏靈活的量感辨析能力

學(xué)生缺乏靈活的量感辨析能力是指學(xué)生對客觀規(guī)律的認(rèn)識是主觀的而非客觀的，是主觀認(rèn)識與客觀規(guī)律的矛盾體現(xiàn)，具體表現(xiàn)為以下兩個方面：其一是認(rèn)為看似無關(guān)的物理量就不存在客觀的聯(lián)系，例如難以厘清時間、距離、速度的關(guān)聯(lián);其二是容易將關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的不同量感相混淆，例如求解表面積與體積時會造成混淆。在量感的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，學(xué)生難以靈活判斷、合理應(yīng)用眾多物理?xiàng)l件，是阻礙學(xué)生量感發(fā)展的一大問題。

（三）缺乏熟練的量感運(yùn)算能力

由于估測運(yùn)算能力不足，使得學(xué)生估測結(jié)果與真實(shí)結(jié)果差別較大。出現(xiàn)這樣的問題，原因主要有以下兩個方面：一是學(xué)生對量的單位轉(zhuǎn)換能力較薄弱，尚未形成單位轉(zhuǎn)化的共性思想，如長度單位換算能力薄弱的學(xué)生在面積單位、重量單位的換算中依舊存在問題;二是學(xué)生在多條件的應(yīng)用題中，難以快速、準(zhǔn)確識別對當(dāng)前情境有意義的條件，從而構(gòu)建求解方法。

（四）缺乏合理的量感應(yīng)用能力

學(xué)生缺乏合理的量感應(yīng)用能力表現(xiàn)在缺乏量感應(yīng)用的意識、缺乏量感遷移的能力。客觀來講，教師按照教材教學(xué)在重視學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展的同時忽略了量感的繼承性與共性，重結(jié)果輕過程，重書本輕應(yīng)用，導(dǎo)致學(xué)生缺乏遷移、應(yīng)用意識，難以將量感知識與實(shí)際問題相關(guān)聯(lián)?？陀^實(shí)在性是量感的本質(zhì)，單一模式的書本教學(xué)將量感內(nèi)容局限于用腦算、用筆寫，忽略了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中對量感應(yīng)用意識的要求。

三、學(xué)生量感培養(yǎng)的“五用”策略

量感的培養(yǎng)應(yīng)以課程標(biāo)準(zhǔn)來定向，以教材為依據(jù)，以學(xué)情為基礎(chǔ)。遵循整體性原則，把握教材中量感內(nèi)容的共性;遵循發(fā)展性原則，助力學(xué)生量感動態(tài)發(fā)展;遵循實(shí)用性原則，助力學(xué)生量感應(yīng)用意識的發(fā)展;遵循熟練性原則，引導(dǎo)學(xué)生以量感為直覺，從而快速、近似、準(zhǔn)確地表達(dá)結(jié)果。借用直觀、巧用經(jīng)驗(yàn)、精用參照、活用轉(zhuǎn)換、妙用近似的方式，著力于學(xué)生理性的量感以及辨析的量感形成與發(fā)展，如圖1所示。

（一）以借用直觀為策略之“眼”，增強(qiáng)學(xué)生量感學(xué)習(xí)的趣味性

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生在作業(yè)中涉及填寫單位時常“語出驚人”;解題過程中結(jié)果與單位的搭配“陰差陽錯”等。學(xué)生在由情境記憶向語義記憶過渡時出現(xiàn)問題是造成上述情形的原因之一。因此，借用直觀是在量感的直觀性基礎(chǔ)上，借助真實(shí)事物或者現(xiàn)代化信息技術(shù)將物理量以外界刺激的方式展示，并納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，助力學(xué)生形成量感表象，將量感可視化。以直觀性作為量感培養(yǎng)策略之“眼”，可以有效增強(qiáng)學(xué)生的感知能力。直觀可視化教學(xué)為運(yùn)用一系列教學(xué)策略呈現(xiàn)出隱藏的教學(xué)內(nèi)容，使其清晰可見，化抽象為直觀，利于學(xué)生理解[5]。例如人教版數(shù)學(xué)二年級“認(rèn)識長度單位”單元，目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識厘米、米等長度單位，進(jìn)而合理表達(dá)長度，即長度量感從感性向理性發(fā)展。部分學(xué)生在本單元學(xué)習(xí)之后未形成長度量感的體系觀，表現(xiàn)為在長度單位轉(zhuǎn)換，計(jì)算應(yīng)用等方面存在缺陷。因此，在本單元起始階段，教師將數(shù)學(xué)元素融入教學(xué)情境可以讓教學(xué)更具生命力[6]。借用直觀的思想可以細(xì)化為以下三個方面。

1.借用直觀提升興趣

現(xiàn)代化信息技術(shù)對學(xué)生往往具有較大的吸引力，可將學(xué)生注意力集中于課堂。就內(nèi)容而言，展示的內(nèi)容既有人的身高、貓的身長等常見實(shí)物，又有跳蚤、星球的大小等不常見情形。在已知與未知，熟悉與陌生的視覺刺激下，學(xué)生將注意力集中于課堂內(nèi)容，達(dá)到借用直觀，提升量感教學(xué)趣味性的目的。

2.借用直觀拓展維度

并非所有的物理量都可以用直觀方式展示，例如重量、溫度、磁場、電流等。針對上述物理量，教師可借助“從毫米到光年”“從克到噸”“從絕對零度到10000度”等視頻，借助現(xiàn)代化信息技術(shù)為教師在其他維度量感教學(xué)提供參考模式，助力學(xué)生對不同維度量感共性的歸納。

3.借用直觀形成體系

未形成量感體系觀念是學(xué)生單位換算、計(jì)算應(yīng)用薄弱的原因之一。因此，教師借用直觀引導(dǎo)學(xué)生形成長度體系觀念尤為重要?，F(xiàn)代化信息技術(shù)可以不受具體事物大小、輕重、多少以及存在場合等影響，將這些實(shí)物根據(jù)需要放在同一個平臺上展示，助力學(xué)生把握本質(zhì)，逐步形成量感體系的觀念。

（二）以巧用經(jīng)驗(yàn)為策略之“手”，重視學(xué)生量感形成的基礎(chǔ)性

在調(diào)研中我們發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生雖然善于用自身經(jīng)驗(yàn)解決問題，但缺少關(guān)聯(lián)意識，如教師問學(xué)生：“你的一條胳膊有多長？”很多學(xué)生回答不到一米，如若教師問學(xué)生一個和胳膊長度相似的物體的長度時，有的學(xué)生便回答不出來。人類最初的想象均源于客觀實(shí)物[7]。學(xué)生量感發(fā)展的過程應(yīng)該與人類對度量單位認(rèn)知的過程相一致，即以經(jīng)驗(yàn)入手，因此，將學(xué)生經(jīng)驗(yàn)作為量感培養(yǎng)策略之“手”，強(qiáng)調(diào)可操作性，可巧妙構(gòu)建理性量感與感性經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。例如人教版數(shù)學(xué)三年級“測量”單元，教學(xué)目標(biāo)是強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生測量能力、估測能力以及單位轉(zhuǎn)換能力。教師以學(xué)生“身體尺”為起點(diǎn)，在教學(xué)中巧妙構(gòu)建“目標(biāo)物體—身體比較—結(jié)果表征”的問題解決模式。教師引導(dǎo)學(xué)生用長度單位來近似表達(dá)自身胳膊的長度，形成自身一只胳膊的長度大約是0.8米的判斷，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用胳膊去測量目標(biāo)物體的長度，增強(qiáng)學(xué)生關(guān)聯(lián)意識?！吧眢w尺”的使用不僅依靠教師的講授，更多借助于學(xué)生自身的操作經(jīng)驗(yàn)與生活感悟，這是十分重要的[8]。巧用經(jīng)驗(yàn)的思想可以細(xì)化為以下兩個方面。

1.精巧選用度量工具

精巧選用度量工具主要體現(xiàn)在以下兩個方面。一是巧選度量部位。教師引導(dǎo)學(xué)生定位所要測量或估測的物理量維度，引導(dǎo)學(xué)生選用與目標(biāo)物體物理量大小相近的身體部位作為參照物，通過大小相近快速表征量感結(jié)果，如引導(dǎo)學(xué)生測量書桌的長度可以選用自己的胳膊作為度量工具等。二是巧妙構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，例如教師提問學(xué)生手掌面大約多大，書本正面是幾個手掌面大小等問題時，此時，教師可給出一張面積是1平方分米的紙片，引導(dǎo)學(xué)生將手掌放在紙面上，從而幫助學(xué)生構(gòu)建起手掌面與1平方分米的聯(lián)系。

2.靈巧提升應(yīng)用意識

使用自身身體部位解決問題，可降低難度，增強(qiáng)體驗(yàn)感。因此，教師應(yīng)多將量感問題與學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)結(jié)合，幫助學(xué)生克服畏難情緒，提升量感的應(yīng)用意識。教師在培養(yǎng)學(xué)生量感的過程中，應(yīng)多利用生活中常見的物體，如教材正面長大約是20厘米，寬大約是15厘米，書桌的高度大約是1米，一層樓的高度大約是3米，便攜式礦泉水瓶的容積大約是500毫升等。教師通過提問學(xué)生：“這個物體的重量和什么物體重量類似呢？”引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)未知與已知的聯(lián)系，巧妙提升學(xué)生量感的應(yīng)用意識。

（三）以精用參照為策略之“腦”，促進(jìn)學(xué)生量感表征的科學(xué)性

筆者在調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生的量感結(jié)果表征也不盡如人意。例如有的學(xué)生回答一支筆的長度是15米，天津廣播電視塔的高度是405千米;還有的學(xué)生對長方體表面積與體積的概念產(chǎn)生混淆等。運(yùn)用類比的思想，通過參照物的選擇與對比精準(zhǔn)化學(xué)生量感。將參照性作為量感培養(yǎng)策略之“腦”。精用參照有以下三個含義：其一，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知度量單位及標(biāo)準(zhǔn)量;其二，引導(dǎo)學(xué)生理解單位要參與運(yùn)算;其三，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成與同維度標(biāo)準(zhǔn)量精準(zhǔn)參照的習(xí)慣。例如，（1）在括號中填入合理的單位。天津廣播電視塔的高度是405（ ）。（2）判斷下列各項(xiàng)敘述是否正確。①一本字典的厚度是40厘米;②小明到奶奶家的距離是15千米，她最好走路去奶奶家。對此類問題，學(xué)生主要有以下幾種錯誤：（1）對生活不常見的物體估測能力薄弱，如學(xué)生感知天津廣播電視塔的高度時無法確認(rèn)“很高”的范圍，即無法確定選用405分米還是405米。（2）對太大或太小的單位認(rèn)識不清晰，如1厘米和1毫米對學(xué)生而言都比較小，學(xué)生認(rèn)為40厘米與40毫米都很小，難以做出精細(xì)判斷;（3）對稍復(fù)雜的情境感知能力差，如15千米的距離是否適合走路。究其根本，是學(xué)生對度量單位標(biāo)準(zhǔn)量的感知不精以及參照對比意識的使用不精。精用參照的思想可以細(xì)化為以下三個方面。

1.精準(zhǔn)定位量感維度

仍以上文天津廣播電視塔的高度一題為例。教師首先引導(dǎo)學(xué)生精準(zhǔn)定位此量感維度是長度，而非面積、重量等。精準(zhǔn)定位量感維度助力學(xué)生排除無關(guān)因素干擾，是借助量感理性解決問題的第一步。教師在教學(xué)中應(yīng)首先明確量感維度，從源頭杜絕單位與實(shí)際意義不匹配的錯誤。

2.精細(xì)挑選度量單位

確定量感維度后，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)單位標(biāo)準(zhǔn)量的大小感知，如引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)強(qiáng)化1厘米，1分米，1米以及1千米大小的感知。例如估測天津廣播電視塔的高度，教師從學(xué)生的錯誤點(diǎn)開始提問，如405分米可以換算為多少米？一層樓的高度是3米左右，那40.5米大概是幾層樓高？那天津廣播電視塔和10層樓差不多高嗎？通過問題逐步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)用405分米描述天津廣播電視塔高度是不合理的，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感知405米的長度，相當(dāng)于100層樓的高度，即3個高層樓房疊加在一起的高度，可以表示天津廣播電視塔的高度。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生借助參照對比的思想，合理化學(xué)生量感結(jié)果，精細(xì)化度量單位的使用。

3.精確進(jìn)行量感運(yùn)算

精確進(jìn)行量感運(yùn)算有以下兩個方面：一是借助量感的參照性與數(shù)字的運(yùn)算法，將不易直接感知的過大或過小的物體進(jìn)行合理的感知;二是量綱檢驗(yàn)，即量感結(jié)果的單位要與題目設(shè)問的物理意義相匹配。例如教師在引導(dǎo)學(xué)生感知1千米的長度時是借助于1米的長度而來，將1000米轉(zhuǎn)換為10個100米。教師引導(dǎo)學(xué)生明確1米的長度并以此感知100米的長度，進(jìn)而參照100米的長度感知10個100米的長度，即1000米的長度。此方法有助于學(xué)生借助參照性精確感知“大”單位千米的意義并形成1千米是多長的量感。再者，學(xué)生根據(jù)長方體的長、寬、高進(jìn)行表面積與體積的感知，認(rèn)識到1立方米與1平方米是無法參照對比大小的，如若求長方體表面積，最終的單位結(jié)果應(yīng)該是面積單位，如10平方米，而不能是10立方米。

（四）以活用轉(zhuǎn)換為策略之“魂”，培養(yǎng)學(xué)生量感辨別的靈活性

在教學(xué)中，有的教師在引導(dǎo)學(xué)生得到“1小時走過的路程是15千米”的結(jié)論時會問學(xué)生速度是多少，部分學(xué)生會反問：“什么是速度？”這是學(xué)生對量感缺乏合理轉(zhuǎn)換的表現(xiàn)。轉(zhuǎn)換思想是學(xué)生理性量感發(fā)展為辨析量感的主要途徑，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過轉(zhuǎn)換思想，用聯(lián)系的眼光看待問題，即以量感的轉(zhuǎn)換性作為量感培養(yǎng)策略之“魂”，增強(qiáng)學(xué)生量感的靈活性。例如采用排水法求不規(guī)則物體體積，關(guān)鍵點(diǎn)在于學(xué)生理解液體體積不受形狀約束，建構(gòu)物體體積—水的體積轉(zhuǎn)化模式。再者，小學(xué)教材中速度的描述采用經(jīng)過多長的路程需要用多久時間的方式，本質(zhì)上是將動態(tài)的速度通過異類量轉(zhuǎn)換的思想借用路程與時間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而降低學(xué)生認(rèn)知難度，有助于學(xué)生形成速度的量感?；钣棉D(zhuǎn)換的思想可以細(xì)化為以下三個方面。

1.靈活識別轉(zhuǎn)換情境

靈活識別轉(zhuǎn)換情境是使用量感轉(zhuǎn)換性的前提，也是教師在培養(yǎng)學(xué)生量感轉(zhuǎn)換意識第一步。教師在進(jìn)行轉(zhuǎn)換思維培養(yǎng)的過程中應(yīng)以學(xué)生熟悉的情境與經(jīng)驗(yàn)為起點(diǎn)，通過構(gòu)建學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與客觀事實(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換的能力。如學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)把手放進(jìn)盛滿水的水池中，水會溢出，且手浸入的體積越大，溢出的水也就越多。教師應(yīng)將此情境作為教學(xué)情境，結(jié)合自身語言或引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)，以啟發(fā)誘導(dǎo)的方式幫助學(xué)生建立水位上升與溢出的體積之和就是物體浸入水中的體積這個觀念，對學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)換意識的培養(yǎng)。

2.靈活抽象轉(zhuǎn)換本質(zhì)

利用量感的轉(zhuǎn)換性解決問題其本質(zhì)在于化繁為簡，化難為易，將學(xué)生難以理解的量感問題轉(zhuǎn)換為易于理解的量感問題。以排水法求不規(guī)則物體體積為例，其本質(zhì)在于將不規(guī)則的無法計(jì)算的體積轉(zhuǎn)化為能夠計(jì)算的體積，教師引導(dǎo)學(xué)生思考什么樣的物體形狀容易變但是體積卻能保持不變，引導(dǎo)學(xué)生想到水。在這個基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生如何將不規(guī)則物體的體積轉(zhuǎn)化為水的體積，使學(xué)生自主建構(gòu)排水法的解決策略，把握轉(zhuǎn)換本質(zhì)，簡化問題求得結(jié)果。

3.靈活歸納轉(zhuǎn)換模式

靈活歸納轉(zhuǎn)換模式可以概括為：若情境中已知與求解的量感不屬于同一維度，則采用異類量轉(zhuǎn)換的模式，如題目問的是速度，題設(shè)中給出的是路程與時間，并沒有描述快慢這樣的題設(shè)，此時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從速度的概念入手，即單位時間內(nèi)物體通過的距離。同時，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生嘗試將不同物理量進(jìn)行組合，并在客觀規(guī)律中檢驗(yàn)其量感結(jié)果。若情境中的物理量是較為熟悉但難以求出時，應(yīng)采用同類量轉(zhuǎn)換的方式，例如學(xué)生無法求不規(guī)則物體的體積，那么教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考如何將不規(guī)則的物體轉(zhuǎn)化為等量體積的規(guī)則物體進(jìn)行求解。

（五）以妙用近似為策略之“心”，降低學(xué)生量感使用的難度

用量感的近似性求解問題是一種補(bǔ)償性措施，即通過合理的近似處理降低題目的難度以及解決問題的成本，損失一部分精確性從而提升問題解決的實(shí)效性[9]。因此，有時量感結(jié)果的表征并不嚴(yán)謹(jǐn)，只要適合當(dāng)下問題解決即可。量感近似性使用的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生理解近似的度，避免過猶不及。以用尺子測量物體長度為例。如圖2所示，學(xué)生需要精確到毫米并在毫米的下一位根據(jù)量感的近似性進(jìn)行估讀，此時估讀的結(jié)果合理即可。另外，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過日常生活中的非標(biāo)準(zhǔn)度量單位進(jìn)行量感結(jié)果的近似表征，如用“一拃”（手掌張開拇指尖到食指尖的距離，對于學(xué)生而言大約是16厘米）來快速近似表達(dá)目標(biāo)物體的長度。妙用近似的思想可以細(xì)化為以下兩個方面。

1.巧妙分析近似范圍

近似范圍的確定對量感結(jié)果的準(zhǔn)確性至關(guān)重要。如圖2所示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)目標(biāo)物體長度測量結(jié)果不在刻度線上，此時無法進(jìn)行準(zhǔn)確的讀數(shù)。在此情境中，教師應(yīng)提問學(xué)生：“物體的長度比多少長，又比多少短呢？”引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注點(diǎn)集中到近似處理的方向，并感受近似的范圍，即最后量感的輸出結(jié)果應(yīng)該在3.1～3.2cm之間，超出這個范圍就是錯誤的。接下來，教師繼續(xù)發(fā)問：“那么這個物體在3.1～3.2cm之間的長度部分到這個格子的一半了嗎？四分之一呢？”教師此時關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生借助二分法的思想使用量感的近似性進(jìn)行合理估計(jì)，如果正好在格子一半的位置，那么下一位估讀為5，即3.15cm，如果在四分之一的位置，那么近似估讀為3.12cm或3.13cm，在四分之三的位置估讀為3.17cm或3.18cm。

2.巧妙采取近似措施

了解量感的近似性包括過程近似及結(jié)果近似，因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合理選擇近似方式，降低表征與解決問題的難度。若量感結(jié)果輸出無法準(zhǔn)確表示或太過復(fù)雜，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用量感的結(jié)果近似進(jìn)行結(jié)果表征，如用3.2cm左右這樣的語言表達(dá)量感的結(jié)果。若問題不是依靠單一操作步驟可以解決，且其中包括對結(jié)果影響不大，重要性不高，運(yùn)算復(fù)雜或無法運(yùn)算的部分，此時教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生采用量感的過程近似，忽略煩瑣而非重要的部分，降低問題解決的難度。如估測一個礦泉水瓶子的容積，考慮到瓶蓋部分對整體容器容積的影響不足十分之一，那么此時可以忽略瓶蓋部分的影響將容器看作標(biāo)準(zhǔn)圓柱體，從而降低問題解決的難度，提高問題解決的效率，在近似準(zhǔn)確的條件下解決問題。

四、結(jié)語

學(xué)生量感的培養(yǎng)并非一蹴而就，教師對策略的選擇應(yīng)該緊緊圍繞教材，注意量感的整體性與不同維度量感的差異性?？傮w來看，量感培養(yǎng)的“五用”策略并非要完全體現(xiàn)在某一課時或單元中，而應(yīng)該放眼于義務(wù)教育階段學(xué)生量感統(tǒng)籌培養(yǎng)的過程中，借助“五用”策略將學(xué)生的量感向理性化、辨析化的方向培養(yǎng)。義務(wù)教育階段量感內(nèi)容的安排逐步從具體實(shí)物向抽象圖形過渡，小學(xué)階段更多指向?qū)唧w情境的測量與估測，而初中階段更強(qiáng)調(diào)對抽象圖形的感知與估測，例如八年級學(xué)生剛開始接觸全等三角形的概念時，往往從視覺上借助于量感判斷兩個三角形是否對應(yīng)的邊與角均相等，或是用尺子與量角器對兩個三角形進(jìn)行測量，從而進(jìn)行初步的判斷，這種初步的判斷對學(xué)生在兩個三角形全等的嚴(yán)謹(jǐn)論證方面提供了認(rèn)知的支撐點(diǎn)。由此可見，量感培養(yǎng)策略的制訂應(yīng)在“五用”策略的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展與學(xué)情進(jìn)行合理地演繹，更有針對性地促進(jìn)學(xué)生量感的發(fā)展。

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（責(zé)任編輯：陸順演）