整合分?jǐn)?shù)階等寬波動(dòng)方程的所有單行波解的分類(lèi)

李 釗，蔣志穎

（成都大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，四川 成都 610106）

許多自然科學(xué)和工程技術(shù)中的問(wèn)題通常可以用非線(xiàn)性偏微分方程來(lái)建模。近年來(lái)，非線(xiàn)性偏微分方程備受關(guān)注[1-2]。對(duì)于非線(xiàn)性偏微分方程的研究主要有解的存在唯一性、穩(wěn)定性、初邊值問(wèn)題下整體解的存在性和漸近性、數(shù)值解和精確解等。特別是尋找非線(xiàn)性偏微分方程的精確解是非線(xiàn)性偏微分方程研究的核心問(wèn)題之一[3-5]。但是，由于非線(xiàn)性方程的復(fù)雜性，可能出現(xiàn)高階的非線(xiàn)性偏微分方程或者復(fù)雜的分?jǐn)?shù)階偏微分方程。因此，無(wú)法建立一個(gè)統(tǒng)一的構(gòu)建非線(xiàn)性偏微分方程精確解的方法。但是通過(guò)眾多科學(xué)家的不斷努力，一些行之有效的方法已經(jīng)被提出，如：齊次平衡方法[6]、雙曲函數(shù)展開(kāi)法[7]、首次積分法[8]、平面動(dòng)力系統(tǒng)分析法[9]和多項(xiàng)式完全判別法[10]等。特別是，劉成仕[11]提出了一種被稱(chēng)作多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)的新方法，能夠很好地給出非線(xiàn)性偏微分方程單行波解的分類(lèi)。同時(shí)，該方法被杜興華等[12]進(jìn)一步發(fā)展，被應(yīng)用于尋找具有實(shí)際背景的非線(xiàn)性偏微分方程和方程組的單行波解的構(gòu)造。近年來(lái)，在物理學(xué)和工程技術(shù)中，帶有記憶性的分?jǐn)?shù)階偏微分方程被提出來(lái)，然而，對(duì)于物理工作者和工程研究人員亟待解決的問(wèn)題是：給出這類(lèi)方程的解析解（通常稱(chēng)為精確解）。目前，一些成熟的方法已經(jīng)被提出用于構(gòu)建分?jǐn)?shù)階偏微分方程的精確解，比如：（G'/G）-展開(kāi)法[13]、群分析方法[14]、指數(shù)函數(shù)展開(kāi)法[15]和平面動(dòng)力系統(tǒng)分析方法[16]等。

本文利用多項(xiàng)式的完全判別法考慮如下整合分?jǐn)?shù)階等寬波動(dòng)方程（conformable fractional equal width wave equation）[17]

其中0 ＜α≤1,和分別表示未知函數(shù)u關(guān)于時(shí)間變量t和空間變量x的整合分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，a和b為實(shí)參數(shù)。

定義1[18]設(shè)函數(shù)f:[0,∞)→R

1 方法描述

首先考慮如下的整合分?jǐn)?shù)階時(shí)間分?jǐn)?shù)階偏微分方程

其中u=u(t,x)，P是含有u的關(guān)于變量x的導(dǎo)數(shù)、變量t的導(dǎo)數(shù)、變量t和變量x的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的多項(xiàng)式。

步驟1對(duì)方程（3），引入行波變換u(t,x)=u(ξ)，，其中k，c為待定常數(shù)。則方程（3）轉(zhuǎn)化為非線(xiàn)性常微分方程

步驟2如果上述非線(xiàn)性的常微分方程（4），經(jīng)過(guò)一系列的變換后能夠約化稱(chēng)為如下的常微分形式

式（5）可以寫(xiě)成積分形式

接下來(lái)，我們可以根據(jù)多項(xiàng)式完全判別系統(tǒng)獲得方程（6）的解的分類(lèi)。

2 整合分?jǐn)?shù)階波動(dòng)方程的精確解

對(duì)方程（1）做行波變換

其中k和c為待定常數(shù)。則式（1）被簡(jiǎn)化為

對(duì)式（7）關(guān)于ξ積分一次

其中c1是積分常數(shù)。

在式（8）兩端同時(shí)乘以u(píng)′，可得

對(duì)式（9）兩端同時(shí)積分一次，化簡(jiǎn)可得

其中c2是積分常數(shù)。

令

則式（10）可轉(zhuǎn)化為

則式（11）的積分形式為

為了方便計(jì)算，這里記f(v)=v3+a2v2+a1v+a0，它的完全判別系統(tǒng)為那么根據(jù)三階多項(xiàng)式的完全判別系統(tǒng)，可以得到式（1）的解有以下4種情況：

情況1Δ=0，D1＜0 時(shí)，即

圖1 式(1)的解u1(t,x)三維圖

圖2 式(1)的解u3(t,x)三維圖

情況2Δ=0，D1=0 時(shí)，即

情況3Δ＞0，D1＜0 時(shí)，即

當(dāng)α＜v＜γ時(shí)，作變換

由式（12），可得

3 結(jié)論

本文給出了分?jǐn)?shù)階偏微分方程的三階多項(xiàng)式完全判別法，并且利用該方法給出了整合分?jǐn)?shù)階等寬波動(dòng)方程的所有單行波解的分類(lèi)，這些解主要包括雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解、有理函數(shù)解和Jacobi橢圓函數(shù)解。與文獻(xiàn)[17]相比，本文所利用的方法是新的，并且所獲得的解更加豐富。本文的完全判別法也適用于其他可化簡(jiǎn)為三階多項(xiàng)式（6）的分?jǐn)?shù)階偏微分方程。